利用欧拉思想巧涂色

３６　中学数学教学　２００９年第５期　利用欧拉思想巧涂色　河北省临西一中　江银吕　（邮编：０５４９００）　高中阶段的涂色问题是排列组合部分的一　即区域１、２、３颜色确定以后，区域４、５、６都　重要应用类型，它具有较强的实践操作策略，它　有５种涂法，所以共有不同的栽种方法为Ａｊ×５　能培养学生严谨的思维形式和思维策略．空间图　—１２０种．　形的涂色问题由于其空间位置的特点，处理问题　时容易受空间想像的限制，使问题变得很不直　观，若利用欧拉定理的思想与方法，通过图形的　变换转化为平面图形的涂色问题，可使一类空间　回＠　涂色问题得以简化而使问题变得直观，并能引导　图１　图２　学生的发散思维与创新意识的养成．下面给出几　例２　将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜　例来看欧拉思想在涂色问题中的应用．　色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有５种颜　例１　某城市在中心广场建造一个扇环形花　色可供使用，求不同的涂色方法总数（图３）　圃，花圃分为６个部分，（如图１）现要栽种４种不同　解　本题如果将棱锥的顶点往下作投影，或　颜色的花，每一部分栽种一种且相邻部分不能栽　者是将四棱锥看成是可以拉伸的薄膜状表面进　种同样颜色的花，问有多少种不同的栽种方法？　行拉伸，变成平面图形（图４），则空间图形的涂色　解　将左侧图形利用欧拉思想进行拉伸变　就能变成平面图形的涂色，继而将点扩展为平面　形，可使图ｌ变形为右侧图２，这两种图形的涂色　区域，则又可变为平面内圆形区域的涂色问题　其实质是一样的．我们不妨用１、２、３、４代表四种　（图５）．　颜色，在右侧图形中，先在１、２、３区域涂上１、２、３　方法同例一，解略．有４２０种涂色方法．　三种颜色，然后依次涂第４、５、６三个区域，涂区域　４可用２、４颜色．　ｃ①若区域４涂颜色２，则５、６区域依次有　１２３２４３；１２３２３４两种涂法　②若区域４涂颜色４，则５、６区域依次有　＠　图３　图４　图５　ｌ２３４３４；１２３４２４；１２３４２３三种涂法　＆　４－ｂ　＋ｃ　４－ｄ　一４，　一、　１　１　ｄ（１＋＆。＋ｂ　）　乐址：　丁＝Ｆ　十　丁干　万十　＼　丽　再７干　丽干　一　一、、）　ｆ（１＋ｄ。＋口　）‘　（１＋口　＋ｂ。），／３‘　干　４　了　＿　本题直接从均值不等式人手，与原证法相　比，其简单自然便不言而喻・　一　≥　４　依设易知瓣≤１）・　证明　依题设，　丁干　＋　（收稿日期：２ｏｏ９一ｏ８一ｌ２）　１　。　１　．　ｂ（１＋Ｃ２＋ｄ　）‘Ｃ（１　４－ｄ　＋ａ　）。　２００９年第５期　中学数学教学　３７　条件概率问题的“转型＂求解Ⅲ　安徽省临泉二中　李长伟侯世祥　（邮编：２３６４００）　合肥师范学院数学系　赵玉华　（邮编：２３００６１）　鉴于条件概率问题的“条件”学生不易判断，另　的重量合格，那么它的长度合格的概率是多少”？　外在求解过程中需要计算Ｐ（Ａ）、Ｐ（Ｂ）、Ｐ（ＡＢ）的麻　分析　这个问题就是研究９Ｏ件重量合格的　烦，本文旨在将条件概率问题“转型”为古典型概率　产品的长度，其中８５件长度合格，从９０件产品中　问题求解，以达到快捷，准确求解之目的．　任取一件，其长度合格的概率问题．显然是古典　北师大版《数学选修２—３》第二章概率的第　概型，其概率Ｐ—Ｃ　１　／Ｃ　。一８５／９０．　３节《条件概率与独立事件》，在教学时学生感到　再看一个问题（教材第４４页）：“从一副扑克　条件概率问题的“条件”难以判断，有时模糊不　牌（去掉大、小王，共５２张）中随机取出一张，用Ａ　清．教材第４５页论述中有这么一句话“在实际应　表示取出的牌是‘Ｑ’，用Ｂ表示取出的牌是红　用中，我们常常根据实际问题的条件．利用直觉　桃”，求取出的牌是红桃‘Ｑ’的概率．　来判断事件间的‘相互独立性’，更让学生感到一　分析　这里研究的仅仅是红桃牌问题，为什　头雾水——到底何时是“条件概率问题”呢？何　么关心其他花色的牌呢？去掉其他花色的牌，问　时是“相互独立事件问题”呢？在教学中我们发现　题就转化为“从１３张红桃牌中任取一张，这张牌　学生常常出错，为此我们探索“条件概率”的“转　是红桃‘Ｑ’的概率是多少”，这是古典型概率问　型”处理方法，愿与同行商榷．　题，于是易得其概率Ｐ—Ｃ　／Ｃ　１。一１／１３．　问题提出（教材第４３页）：“ｌＯＯ件产品中有９３件　下面我们继续探讨几个类似问题：　产品的长度合格，９Ｏ件产品的重量合格，８５件产品　例１　某个家庭中有２个小孩，已知其中一个　的长度、重量都合格．现在，任取一件产品，若已知它　是男孩，则另一个也是男孩的概率为　．　例３　用５种颜色给正方体ＡＢＣＤ—　的一种，故有６种涂法，三是只有一种颜色与前面　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　各面涂色，要求相邻两个面不同色，现　所涂相同，有ａ种，剩余涂为两种其它颜色，故　己将过顶点Ａ的３个面涂了颜色，那么其余３个　也有６种涂法，综上有１３种．　面涂色方法有多少种？　例４　现用４种颜色给三棱柱的６个顶点涂　解　用１、２、３、４、５代表５种颜色，设过Ａ点　色，要求同一条棱的两端点的颜色不同，４种颜色　的三个面己涂了３种颜色，不妨设为１、２、３三色．　全部用上，问有多少种不同的涂色方案？　Ｃ　解　将左侧图形拉伸为右侧图形，则中间三点　不同色，不妨为三颜色１、２、３，又４种颜色全用上，故　Ｃ　外围三点中一定有一点涂第４种颜色，在此情况下　从其余三色中任挑两色，另外两点都只有一种涂法．　故共有Ｃ］ＡｉＣ　Ｃ；一２１６种涂法．　将左侧正方体表面通过拉伸变成右面图形，　Ａ　右侧ＡＢＣＤ外面区域即为涂上颜色２．通过分步、　２　分类涂色，可知其中有１３种涂色方法．　法二：分三类，一是剩余三面的颜色与以Ａ　４　（收稿日期：２００９—０８—１１）　［１］合肥师范学院教研项目ｊＹＹ２ＯＯ６Ｏ１３