原子物理学——薛定谔方程

§3.4 薛定谔方程

一、薛定谔方程的建立

1．自由粒子的薛定谔方程

i(自由粒子的波函数:rpEti0e)(xpxypyzpzEt)0e 对x、y、z分别求二次偏导：

2p2xxipx x2ipxx2

yip2y y2ip2ypyy2

zi2pz z2ipp2zzx2

三者相加：

2221x2y2z222p222(pxpypz)2 2拉普拉斯算符：

222x2y2z2 1

(1)

p22 (2)

2iEiE对t求一次偏导：t t (3)

1p2p22EmE22m 2m (4) 自由粒子，

p2i由(3)(4)式: t2m (5)

(2)式代入(5)得:

22it2m ――自由粒子的薛定谔方程。 (6)

2．一般粒子的薛定谔方程

V(r,t)表示力场，则粒子在力场中受到的力为：一般粒子常受到力场的约束，用

FV(r,t)，（r,t)（r,t)仍满足方程：假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为，假设

p222iEt

p2EV2m但此时 (7)

2

p2即一个质量为m动量为p,在势场V中运动的非相对论粒子的能量:动能(2m)+势能(V).

22iV2m则有：t (8)

――处在以势能V表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。 如果已知V和微观粒子的初始条件0，原则上，可以求出粒子在任何时刻t的状态。可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。

二、定态薛定谔方程

能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能V中不显含时间t，将其代入方程：

22iVt2m (9)

则(9)式的解可以表达为坐标的函数和时间的函数的乘积,即波函数可分离变量：

(r,t)u(r)f(t)

idf(t)122[uVu]Ef(t)dtu2m E为一常数(要相等必等于常数)

22[V]uEu2m 定态薛定谔方程 (10)

3

22HV(r)2m其中： 为哈密顿算符

p2V(在经典力学中,能量以动量和坐标表示的式子: 2m称为哈密顿函数)

df(t)idf(t)EdtiEf(t)dt f(t)

iEtCe解出：f(t)

Et(r,t)u(r)e ――定态波函数 (11)

i 与(1)式相比较,E就是能量: 0ei(rpEt)

1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量

2．定态中粒子的几率密度不随时间变化

EtEt(r,t)(r,t)*u(r)eu(r)*euu*, 发现粒子的几率密度也与时间无关

ii22[V]uEu3．2定态薛定谔方程

4．态迭加原理

4

如果1、2n是方程的解，那么它们的的线性组合

c11c22cnncnnn也是方程的解，ci为任意常数。

cnnn即如果1、2n是体系可能的状态，那么它们的的线性组合一个可能的状态。

也是体系

三、薛定谔方程的讨论

(r,t)(r,t)V(r1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态在势场,t)中随时间变化t的

规律。

2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。

V(r,t)V(r3．具体的势场决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数,t)的具体形式，

只要我们知道了微观粒子初始时刻的状态(r0,t0)。原则上说，只要通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态(r,t)。

2(r,t)(r,t)(r,t)4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以一般是复数形式。表示概率波，是表示粒子在时刻t、在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。

p2EV(r,t)2m5．在薛定谔方程的建立中，应用了，所以是非相对论的结果；同时方

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程不适合一切m0的粒子，这是方程的局限性。

22iV2m (t)

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