高考数学复合函数知识点归纳

高考数学复合函数知识点归纳

高考数学中，复合函数是一个十分重要的知识点。在数学的各个领域都有广泛的应用，理解和掌握复合函数的概念和方法，对于学生以后的数学学习和应用能力都有很大的帮助。在这篇文档中，我们将归纳总结一下关于高考数学复合函数的知识点。

一、复合函数的概念

复合函数是指一个或多个函数按照一定次序相互嵌套而形成的新函数。设有两个函数f(x)和g(x)，则g(x)的定义域必须包含f(x)的值域，此时，f(x)和g(x)可以组合成一个新的函数，记作f(g(x))，也可以写成g(x)的复合函数f(x)。其中，g(x)称为内函数，而f(x)称为外函数。

例如：设f(x)=x+1，g(x)=x^2，则f(g(x))=g(x)+1=x^2+1，g(f(x))=f(x)^2=(x+1)^2。

二、复合函数的性质

1. 复合函数是函数，其定义域是内函数的定义域。 2. 复合函数的值域由外函数的值域决定。 3. 复合函数不满足交换律，即f(g(x))≠g(f(x))。 4. 复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=f(g(h(x))。

5. 对于任意的函数f(x)，都有f(x)=f(g(g^{-1}(x)))，即f(x)可以看作是f(g(g^{-1}(x)))的复合函数。

6. 对于恒等函数f(x)=x，任何内函数g(x)都可以看作f(x)的复合函数，即g(x)=f(g(x))。

7. 对于常数函数f(x)=c，任何内函数g(x)都可以看作f(x)的复合函数，即g(x)=f(g(x))=c。

三、复合函数的求导法则

1. 链式法则：设y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，则复合函数y=f(g(x))的导数为：y'=f'(g(x))g'(x)。

例如：设f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，则f(g(x))=sin(x^2)，f'(x)=cos(x)，g'(x)=2x，因此：f'(g(x))=cos(x^2)，f(g(x))'=cos(x^2)*2x=2x*cos(x^2)。

2. 复合函数的求导顺序：根据链式法则，我们在计算复合函数的导数时，需要按照内函数到外函数的顺序计算导数。例如，对于函数y=sin(x^2)，要先计算sin(x)，再计算x^2的导数。

3. 高阶导数的计算：链式法则同样适用于高阶导数的计算，只需根据公式依次进行求导即可。

例如：设f(x)=sin(x)，g(x)=x^2，则f'(x)=cos(x)，f''(x)=-sin(x)，g'(x)=2x，g''(x)=2，因此：

f(g(x))''=f'(g(x))g''(x)+f''(g(x))g'(x)^2=-2xsin(x^2)+4xcos(x^2)。

复合函数是高考数学中重要的知识点之一，掌握复合函数的概念、性质和求导法则可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。希望本篇文档能够帮助大家更好地掌握这个知识点。