数学必修五数列知识点解题技巧

数列部分知识点梳理

一数列的概念

S1(n1)1）数列的前n项和与通项的公式①Sna1a2an； anSnSn1(n2)

2）数列的分类：①递增数列:对于任何nN,均有an1an.②递减数列:对于任何nN,均有an1an.③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使anM,nN.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM.

一、等差数列

n(a1an)1）通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d为公差。前n项和公式Sn或

21Snna1n(n1)d.

22）等差中项：2Aab。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列；⑵中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列.

4）等差数列的性质：

⑴数列an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.

⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，a0)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

S⑸若等差数列an的前n项和Sn，则n是等差数列；

nSa⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,偶n1；

S奇anS偶n12n1(nN) 当项数为. ，则S奇S偶an,S奇n (7)设 (8)设

；

(9)

是等差数列，则

，

（是常数）是公差为

，

的等差数列；

，则有

是等差数列的前项和，则；

，公差为，前项和为

；

）为等差数

，则

(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列 ①． ②．

为等差数列，公差为

（即

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列，公差；

③．（即）为等差数列，公差为.

二、等比数列 1）通项公式：ana1qn1，a1为首项，q为公比 。前n项和公式：①当q1时，Snna1②当q1a1(1qn)a1anq时，Sn. 1q1q2）等比中项：G2ab。

3）等比数列的判定方法：⑴定义法：

2；

an1q（nN，q0是常数）an是等比数列；⑵中an项法：an1anan2(nN)且an0an是等比数列. 4）等比数列的性质：

⑴数列an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列； （2）

（3）若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

（4）若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列. （5）设 （6）设

，

是等比数列，则

也是等比数列。

则

也是等比数列（即等比数列中等距

anamqnm(n,mN)

是等比数列，是等差数列，且

离分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设 （8）设

是正项等比数列，则

，

是等差数列； ，

，公比为，前项和为

；

）为等比数列，公比，则有，则

；

（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列 ①．

②．为

；

为等比数列，公比为

（即

三、解题技巧： A、数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）

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即把每一项都乘以bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数

111111()，列和（其中等差）。可裂项为：anaadaann1nn1anan1anan111(an1an)

anan1dB、等差数列前n项和的最值问题：

1、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。

an0（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大；

a0n1（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最大； 2p2、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值

a0（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小n；

an10（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近q的非零自然数时Sn最小； 2pC、根据递推公式求通项： 1、构造法：

1°递推关系形如“an1panq”，利用待定系数法求解

【例题】已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.

2°递推关系形如“，两边同除pn1或待定系数法求解 【例题】a11,an12an3n，求数列an的通项公式. 3°递推已知数列an中，关系形如“an2pan1qan”，利用待定系数法求解 【例题】已知数列an中，a11,a22,an23an12an，求数列an的通项公式.

（ 4°递推关系形如\"anpan1qanan1p,q0),两边同除以anan1

（ 【例题】已知数列an中，anan12anan1n2),a12，求数列an的通项公式. 2an(nN)，求数列an的通项公式. 【例题】数列an中，a12,an14an2、迭代法：

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1

【例题】已知数列an中，a12,anan12n1(n2)，求数列an的通项公式

aaaaa b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.annn1n232a1an1an2an3a2a1

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【例题】已知数列an满足：3、给出关于Sn和am的关系

ann1(n2),a12，求求数列an的通项公式； an1n1 【例题】设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n(nN)，设bnSn3n， 求数列bn的通项公式．

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