一次函数压轴题

1．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

3（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说

4明理由．

12．如图，直线yx4与坐标轴分别交于点A、B，与直线yx交于点C．在线段OA上，动点Q以

2每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

3．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x214x480的两个实数根． （1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

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4．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2(31)x30的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2 （1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于H，AC交y轴于M．已知点A（﹣3，4）． （1）求AO的长；

（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；

（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②求S的最大值．

6．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由； （3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

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7．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论； （3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．

②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

8．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C． （1）若直线AB解析式为y2x12，直线OC解析式为yx，

①求点C的坐标； ②求△OAC的面积．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数yxm（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y3xn（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．

（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

11（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表

2达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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10．如图，一次函数y3x3的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°． （1）求△ABC的面积；

3（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC

2面积相等时m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

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答案

1．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标； （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于明理由．

？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说

分析： （1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解． （2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标． （3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）： ①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值． ②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①． ③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②． 综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值． 解答： 解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得： BF=OE=2，OF==， ∴点B的坐标是（，2） ． 设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有解得． x+4； ∴直线AB的解析式是y= （2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO， ∴∠DAP=∠BAO=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴DP=AP=． Page 5 of 20

如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH． 方法（一） 在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°． ∴BG=BD•cos60°=×=． DG=BD•sin60°=×=． ∴OH=EG=，DH= ∴点D的坐标为（，） 方法（二） 易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG， ∴△ABE∽△BDG， ∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4， 则有，解得BG=，DG=； ∴OH=，DH=； ∴点D的坐标为（，）． （3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于． 设点P为（t，0），下面分三种情况讨论： ①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t， ∴DH=2+t． ∵△OPD的面积等于， ∴， 解得，（舍去） ∴点P1的坐标为（，0）． ②∵当D在y轴上时，根据勾股定理求出BD==OP， ∴当＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t， ∴GH=BF=2﹣（﹣t）=2+t． ∵△OPD的面积等于， ∴， 解得，， ∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（，0）． Page 6 of 20

③当t≤∴DH=﹣时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣t﹣2． ， t）]=， ，0）， t， ∵△OPD的面积等于∴（﹣t）[﹣（2+解得∴点P4的坐标为（（舍去），综上所述，点P的坐标分别为P1（P4（，0）． ，0）、P2（，0）、P3（，0）、 2．如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点

P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

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（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

分析： （1）根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出==，据此可以求得点P的运动速度；

（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可； （3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可． 解答： 解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B， ∴x=0时，y=4，y=0时，x=8， ∴==， 当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t， ∵EP∥BO， ∴==， ∴AP=2t， ∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动， ∴点P运动的速度是每秒2个单位长度； （2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形， 则∵OQ=FQ=t，PA=2t， ∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t， ∴8﹣3t=t， 解得：t=2； 如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形， ∵OQ=t，PA=2t， ∴OP=8﹣2t， ∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8， ∴t=3t﹣8， 解得：t=4； （3）如图1，当Q在P点的左边时， ∵OQ=t，PA=2t， ∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t， 2∴S矩形PEFQ=QP•QF=（8﹣3t）•t=8t﹣3t， 当t=﹣=时， =， S矩形PEFQ的最大值为：如图2，当Q在P点的右边时， ∵OQ=t，PA=2t， ∴2t＞8﹣t， Page 8 of 20 ∴t， ∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8， 2∴S矩形PEFQ=QP•QF=（3t﹣8）•t=3t﹣8t， ∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动， ∴＜t≤4， 当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大， 2∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×4﹣8×4=16， 综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16． 3．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B

2

点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

分析： （1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值； （3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答． Page 9 of 20

2解答： 解：（1）解方程x﹣14x+48=0得 x1=6，x2=8． 2∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根， ∴OC=6，OA=8． ∴C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）． 由（1）知，OA=8，则A（8，0）． ∵点A、C都在直线MN上， ∴解得，， ， ∴直线MN的解析式为y=﹣x+6； （3）∵A（8，0），C（0，6）， ∴根据题意知B（8，6）． ∵点P在直线MNy=﹣x+6上， ∴设P（a，﹣a+6） 当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）； ②当PC=BC时，a+（﹣a+6﹣6）=64， 解得，a=，则P2（﹣222，），P3（2，）； ③当PB=BC时，（a﹣8）+（a﹣6+6）=64， 解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）． ，）P3（，），P4（，﹣）． 综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣ 4．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是

2

一元二次方程x﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2 （1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

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分析： （1）通过解一元二次方程x2﹣（+1）x+=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标； （2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式； （3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标． 2解答： 解：（1）x﹣（+1）x+=0， （x﹣）（x﹣1）=0， 解得x1=，x2=1， ∵OA＜OB， ∴OA=1，OB=， ∴A（1，0），B（0，）， ∴AB=2， 又∵AB：AC=1：2， ∴AC=4， ∴C（﹣3，0）； （2）∵AB=2，AC=4，BC=2， 222∴AB+BC=AC， 即∠ABC=90°， 由题意得：CM=t，CB=2． ①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）； ②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）； （3）存在． ①当AB是菱形的边时，如图所示， 在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0）， 在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2）， 在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2）， ②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4， 设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP4=AO+P4O，即x=1+（所以Q4（1，）． ）． 22222

﹣x），解得x=2， 综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q4（1， Page 11 of 20

5．如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于H，AC交y轴于M．已知点A（﹣3，4）． （1）求AO的长；

（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；

（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②求S的最大值．

分析： （1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可； （2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可； （3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案． 解答： （1）解：∵A（﹣3，4）， ∴AH=3，OH=4， 由勾股定理得：AO==5， 答：OA的长是5． （2）解：∵菱形OABC， ∴OA=OC=BC=AB=5， 5﹣3=2， ∴B（2，4），C（5，0）， 设直线AC的解析式是y=kx+b， 把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，

解得：， ∴直线AC的解析式为， Page 12 of 20

当x=0时，y=2.5 ∴M（0，2.5）， 答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）． （3）①解：过M作MN⊥BC于N， ∵菱形OABC， ∴∠BAC=∠OCA， ∵MO⊥CO，MN⊥BC， ∴OM=MN， 当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4﹣2.5=， S=×BP×MH=×（5﹣2t）×=﹣t+∴， ， 当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在； 当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t﹣5）×=t﹣∴， （0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）． ， 答：S与t的函数关系式是 ②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=∴S的最大值是答：S的最大值是， ． ， ， 6．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由； （3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

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分析： （1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG； （2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系； （3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式． 解答： （1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°， ∴在Rt△AOG和Rt△ADG中， ∵， ∴△AOG≌△ADG（HL）； （2）解：PG=OG+BP． 由（1）同理可证△ADP≌△ABP， 则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG， 又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°， 所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°， 故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°， ∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP， ∴DG=OG，DP=BP， ∴PG=DG+DP=OG+BP； （3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD， 又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC， 又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°， ∴∠1=∠2=30°， 222在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG=AO+OG， ∴OG=，则G点坐标为：（，0）， CG=3﹣，在Rt△PCG中， PG=2CG=2（3﹣），PC==3﹣3，则P点坐标为：（3，3设直线PE的解析式为y=kx+b， 则，解得， x﹣3． ﹣3）， 所以，直线PE的解析式为y= Page 14 of 20

7．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论； （3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围． ②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

分析： （1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又∵AB=，t=AB﹣BC=﹣1； （2）过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可； （3）根据题意可直接得出b=1﹣t；当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1，1），P（1，1﹣），但t=0时，点C不在第一象限，所以不符合题意． 解答： 解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1， 又AB=， 所以t=AB﹣BC=﹣1； （2）OC=CP． 证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H． ∵PC⊥OC， ∴∠OCP=90°， ∵OA=OB=1， ∴∠OBA=45°， ∵TH∥OB， ∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°， ∴△CHB为等腰直角三角形， ∴CH=BH， ∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°， ∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH， ∴OT=CH， ∵∠TCO+∠PCH=90°， ∠CPH+∠PCH=90°， ∴∠TCO=∠CPH， Page 15 of 20

∵HB⊥x轴，TH∥OB， ∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH， ∴△OTC≌△CHP， ∴OC=CP； （3）①∵△OTC≌△CHP， ∴CT=PH， ∴PH=CT=AT=AC•cos45°=∴BH=OT=OA﹣AT=1﹣t， t， ∴BP=BH﹣PH=1﹣t， ∴；（0＜t＜） ②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合， PB=BC，则﹣t=|1﹣t|， 解得t=1或t=﹣1（舍去）， ∴当t=1时，△PBC为等腰三角形， 即P点坐标为：P（1，1﹣）． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C． （1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，直线OC解析式为y=x， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

分析： （1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标． ②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可． Page 16 of 20

（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3． 解答： 解：（1）①由题意，（2分） 解得所以C（4，4）（3分） ②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分） 所以．（6分） （2）存在； 由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ， ∵OQ平分∠AOC， ∴∠AOQ=∠COQ， 又OQ=OQ， ∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分） ∴PQ=MQ， ∴AQ+PQ=AQ+MQ， 当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小． 即AQ+PQ存在最小值． ∵AB⊥ON，所以∠AEO=∠CEO， ∴△AEO≌△CEO（ASA）， ∴OC=OA=4， ∵△OAC的面积为6，所以AM=12÷4=3， ∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分） 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数； （2）若四边形PQOB的面积是

，且CQ：AO=1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表

达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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分析： （1）已知直线解析式，令y=0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P的坐标．推出AO=QO，可得出∠PAB=45°． （2）先根据CQ：AO=1：2得到m、n的关系，然后求出S△AOQ，S△PAB并都用字母m表示，根据S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式． （3）本题要依靠辅助线的帮助．求证相关图形为平行四边形，继而求出D1，D2，D3的坐标． 解答： 解：（1）在直线y=x+m中，令y=0，得x=﹣m． ∴点A（﹣m，0）． 在直线y=﹣3x+n中，令y=0，得∴点B（，0）． 由， ．

得， ∴点P（，）． 在直线y=x+m中，令x=0，得y=m， ∴|﹣m|=|m|，即有AO=QO． 又∵∠AOQ=90°， ∴△AOQ是等腰直角三角形， ∴∠PAB=45°． （2）∵CQ：AO=1：2， ∴（n﹣m）：m=1：2， 整理得3m=2n， ∴n=m， ∴==m， m=2而S四边形PQOB=S△PAB﹣S△AOQ=（+m）×（m）﹣×m×m=解得m=±4， ∵m＞0， ∴m=4， ∴n=m=6， ∴P（）． ， Page 18 of 20

∴PA的函数表达式为y=x+4， PB的函数表达式为y=﹣3x+6． （3）存在． 过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3． ①∵PD1∥AB且BD1∥AP， ∴PABD1是平行四边形．此时PD1=AB，易得②∵PD2∥AB且AD2∥BP， ∴PBAD2是平行四边形．此时PD2=AB，易得③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形． ∵BD3∥AP且B（2，O）， ∴yBD3=x﹣2．同理可得yAD3=﹣3x﹣12 ， ； ； 得， ∴． 10．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°． （1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，

），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC

面积相等时m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

分析： （1）先求出A、B两点的坐标，再由一个角等于30°，求出AC的长，从而计算出面积； （2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，先求出梯形ODPB的面积和△AOB的面积之和，再减去△APD的面积，即是△APB的面积；根据△APB与△ABC面积相等，求得m的值； （3）假设存在点Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q点的坐标即可． Page 19 of 20

解答： 解： （1）∵一次函数的解析式为函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A（1，0），B（0，）， ∴AB=2， 22设AC=x，则BC=2x，由勾股定理得，4x﹣x=4， 解得x=，S△ABC==； （2）过P作PD⊥x轴，垂足为D， S△APB=S梯形ODPB+S△AOB﹣S△APD=﹣=，解得m==2， ； =， （3）∵AB=∴当AQ=AB时，点Q1（3，0），Q2（﹣1，0），Q3（0，﹣）； 当AB=BQ时，点Q4（0，+2），Q2（0，﹣2），Q2（﹣1，0）； 当AQ=BQ时，点Q6（0，综上可得：（0，），Q2（﹣1，0）， ），（﹣1，0）（3，0），（0，），（0，） ），（0， Page 20 of 20