2006年全国卷高考理科数学解析版

一、选择题：

61、 已知向量a、b满足|a| = 1，|b| = 4，且ab2，则a与b夹角为

A、 B、

24 C、

3 D、

2

2、 设集合M= {x|xx0},N = { x | |x|2},则

A、M∩N=Φ B、M∩N=M、 C 、M∪N=M D、M∪N=R 3、已知函数y = ex的图像与函数y = f（x）的图像关于直线 y =x对称，则

A、f(2x)e22xx(xR) B、f(2x)ln2lnx(xR) D、f(2x)ln2lnx(x0) (x0)

C、f(2x)2e24、双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，则m =

A、14 B、- 4 C、4 D、

14

5、设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S735，则a4

A、8 B、7 C、6 D、5 6、函数f(x)tan(xA、(kC、(k24)的单调增区间为

234,k2),kZ B、(k,(k1)),kZ ),kZ D、(k,k244,k34),kZ

7、从圆x2xy2y10外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为

A、

1214 B、

35 C、

32 D、0

8、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。若a、b、c成等比数列，且c = 2a，则cosB =

A、

B、

34 C、

24 D、

23

9、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A、16π B、20π C、24π D、32π 10、在(x12x)10的展开式中，x的系数为

A、- 120 B、120 C、- 15 D、15 11、抛物线yx上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是

A、

142 B、

34 C、

85 D、3

12、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但是不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

A、85 cm2 B、610 cm2 C、355 cm2 D、20cm2 二、填空题：

13、已知函数f(x)a121x，若f（x）为奇函数，则a =

14、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为26，则侧面与底面所成的二面角等于

2xy115、设 z = 2y – x ，式中变量x、y满足条件3x2y23，则z的最大值为

y116、安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日。不同的安排方法共有 种（用数字作答） 三、解答题：

17、（本题满分12分）已知{an}为等比数列，a32,a2a4

18、（本题满分12分）△ABC的三个内角A、B、C，求当A为何值时，cosA2cosBC2203，求{an}的通项公式。

取得最大值，

并求出这个最大值。 19、（本题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为效的概率为

1223，服用B有

。

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。 20、（本题满分12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线线段， 点A、B在l1上，C在l2上，AM = MB = MN。

（Ⅰ）证明AC⊥NB； （Ⅱ）若∠ACB = 60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

21、（本题满分12分）设P是椭圆

xa22l2 C

l1 A M B N

y21(a1)短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值。

32222、（本题满分14分）设a为实数，函数f(x)xax(a1)x在(,0)和(1,)都是增函数，求

a的取值范围。

参考答案

一．选择题： 题号 答案 1ab=， 1．向量a、b满足a1,b4,且a.b2,设a与b的夹角为θ，则cosθ=|a||b|21 C 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 B 9 C 10 C 11 A 12 B ∴ θ=

3，选C.

22．集合M{x|xx0}{x|0x1},N{x||x|2}{x|2x2},∴ MNM,选B. 3．函数ye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，所以f(x)是ye的反函数，即f(x)=lnx，∴ f2xln2xlnxln2(x0)，选D.

xx4．双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为选A.

5．Sn是等差数列an的前n项和，若S77a435, ∴ a45，选D. 6．函数fxtanx22x24y21，∴ m=14，

4的单调增区间满足k2x4k2，

∴ 单调增区间为k2234,k,kZ，选C. 47．圆x2xy2y10的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM的夹角的正切值等于

2tan1124，该角的余弦值等于3，选B. 153412，所以两切线夹角的正切值为

8．ABC中，a、b、c成等比数列，且c2a，则b=2a，

acb2ac222cosB=

a4a2a4a222234，选B.

9．正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为26，∴ 球的半径为6，球的表面积是24，选C.

10．在(x12x)10的展开式中，x4项是C10(x)(37212x)=－15x，选C.

34

11．设抛物线yx上一点为(m，－m2)，该点到直线4x3y80的距离为m=

23|4m3m528|，当

时，取得最小值为

43，选A.

212．用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为610cm，选B.

二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 π1

13. 14. 15. 11 16.2400

2313．函数f(x)a121x.若f(x)为奇函数，则f(0)0，即a121y00，a=

12.

14．正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面

C所成的二面角的正切tanα=3, ∴ 二面角等于60°。

2xy115．3x2y23，在坐标系中画出图象，三条线的交点分

y1BAOx别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足z2yx的最大值是点C，代入得最大值等于11.

16．先安排甲、乙两人在后5天值班，有A5=20种排法，其余5人再进行排列，有A5=120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。 三．解答题：

a32

17.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q

qq2201

所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,

q33

11－18－

当q1=, a1=18.所以 an=18×()n1=n－1 = 2×33n.

33322－

当q=3时, a1= , 所以an= ×3n－1=2×3n3.

99

B+CπAB+CA

18.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

22222

25B+CAAA

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin

2222A13

=－2(sin － )2+

222

A1πB+C3

当sin = , 即A= 时, cosA+2cos取得最大值为

22322

19. 解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只\" , i=0,1,2, Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只\" , i=0,1,2, 124224111依题意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,

339339224111

P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)

2221414144

= × + × + × = 4949299

4604(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－)3=

9729

20.解法一: (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知

AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影. ∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角. 3AB3HB6

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

NB32

AB2

z l2 C

l1

A M B H N

l2 C l1 A M B x H y N 解法二: 如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1, 则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面ABN. l2平行于z轴. 故可设→→→→

C(0,1,m).于是 AC=(1,1,m), NB=(1,－1,0). ∴AC·NB=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.

→→→→

(Ⅱ)∵AC =(1,1,m), BC=(－1,1,m), ∴|AC|=|BC|, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2). →

连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN=(0,1－λ,－2λ),

1→→→

MC=(0,1, 2). HN·MC = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

3

122212→→

∴H(0, , ), 可得HN=(0,, － ), 连结BH,则BH=(－1,, ), 33333322→→→→

∵HN·BH=0+ － =0, ∴HN⊥BH, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

99→

∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN=(－1,1,0), 4

→→3BH·BN6

∴cos∠NBH= = = →→23|BH|·|BN|×23

21. 解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=x2+(y－1)2 ,又因为Q在椭圆上, 所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2 =(1－a2)(y－

1122

2 )－2+1+a . 1－a1－a

a2a2－111

因为|y|≤1,a>1, 若a≥2, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值2 ;

1－a21－a2a－1若122. 解: f ' (x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2.

6aa

(ⅰ)若△=12－8a2=0,即 a=±, 当x∈(－∞,), 或x∈( , +∞)时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数. 所以

2336

a=±.

2

3

(ⅱ)若△=12－8a2<0, 恒有f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数, 所以a2> ,

2即 a∈(－∞,－

2

66

)∪( , +∞) 22

a－3－2a2a+3－2a266

(ⅲ)若△12－8a>0,即－ 2233

当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+ ∞)时, f '(x)>0, f(x)为增函数; 当x∈(x1,x2)时 , f '(x)<0,f(x)为减函数. 依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得a≥3－2a2 ,解得 1≤a<由x2≤1得3－2a2 ≤3－a, 解得 － 综上,a的取值范围为(－∞,－

6

2

6666666

]∪[ , +∞) ∪[1, ),即a∈(－∞,－ ]∪[1,∞). 2222