2020-2021重庆市九年级数学下期中第一次模拟试卷(及答案)

一、选择题

1．已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为（ ）

A．29.7cm B．26.7cm C．24.8cm D．无法确定

2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（ ）

A． B． C． D．

3．如图所示，在△ABC中， cos B＝

32，sin C＝，BC＝7，则△ABC的面积是( )

52

21 2A．B．12 C．14 D．21

4．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=

k（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（ ） x

A．y=

12 xB．y=

24 xC．y=

32 xD．y=

40 x5．如图，在△ABC中，DE∥BC ，

AD1，DE=4，则BC的长是（ ） DB2

A．8 6．对于反比例函数y=

B．10 C．11 D．12

1，下列说法正确的是（ ） xB．图象关于y轴对称

D．当x＜0时，y随x的增大而减小

A．图象经过点（1，﹣1） C．图象位于第二、四象限

7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠

AEDEADAE，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与ACABABBC△ACB一定相似的有（ ）

B，②∠ADE＝∠C，③

A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤

8．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC＝12m，则坡面AB的长度是（ ）

A．15m

B．203m

C．24m

D．103m

9．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（ ）

A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：4

10．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 AC 的长为（ ）

A．43 B．42

C．6

D．4

11．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（ ） A．

B．

C．

D．

2的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-xx+m的图象上，则m的取值范围是（ ）

12．若反比例函数yA．m＞22

B．m＜-22 D．-22＜m＜22

C．m＞22或m＜-22二、填空题

-tan30°sin60°=______． 13．计算：cos245°

14．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个建筑的高度是_____m．

15．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝

3的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是_____； x

16．在ABC中，若B45o，AB102，AC55，则ABC的面积是______．

k（x＜0）图象上的点，过点A作y轴x的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ______ ．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y

18．如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m，则玲

玲的身高约为________m．（精确到0. 01m）（参考数据：sin55°≈0.8192，

cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.

19．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组

成这个几何体的小正方块最多有________．

20．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm．

三、解答题

21．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

22．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB． （1）求证：△ABE∽△ACB；

（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．

23．如图，直线y=

1kx+2与双曲线y=相交于点A（m，3），与x轴交于点C． 2x（1）求双曲线的解析式；

（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

24．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在轴，

轴的正半轴上．函数y2x的图象与CB交于点D，函数

k（k为常数，k0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y2x的图象在x第三象限内交于点F，连接AF、EF． y

k的表达式，并直接写出E、F两点的坐标． x（2）求△AEF的面积． 25．已知：如图，在VABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是VABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．

（1）求函数y 1求证：四边形ADCE为矩形；

2当VABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． 3在2的条件下，若ABAC22，求正方形ADCE周长．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A

【解析】 【分析】

设A4纸的高度为xcm，对折后的矩形高度为例列方程求解. 【详解】

xcm，然后根据相似多边形的对应边成比2xcm， 2∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， 21x=∴x21 2设A4纸的高度为xcm，则对折后的矩形高度为解得x21229.7 故选A. 【点睛】

本题考查相似多边形的性质，熟记相似多边形对应边成比例，找到对应边列出方程是关键.

2．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解． 【详解】 连接AB，

由图可知：OA=0B，AO=AB

∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， =． ∴cos∠AOB=cos60°故选B． 【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

【详解】

试题分析：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=32，sinC=，AC=5，∴

52cosB=

3ADAD2BD==，∴∠B=45°，∵sinC==，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则AB5AC521121×AD×BC=×3×（3+4）=．故选A． 222△ABC的面积是：

考点：1．解直角三角形；2．压轴题．

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC，AB∥OC，OA∥BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B点的坐标，把B的坐标代入y=kx求出k即可． 【详解】

过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N， 则∠AMO=∠BNC=90°， ∵四边形AOCB是菱形，

∴OA=BC=AB=OC,AB∥OC,OA∥BC， ∴∠AOM=∠BCN， ∵A(3,4)，

∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5， 即OC=OA=AB=BC=5， 在△AOM和△BCN中

AMOBNCAOMBCN， OABC∴△AOM≌△BCN(AAS)， ∴BN=AM=4，CN=OM=3， ∴ON=5+3=8， 即B点的坐标是(8,4)，

把B的坐标代入y=kx得：k=32，

32， x故答案选C. 【点睛】

即y=

本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】 根据

AD1DEADAD1=，可得=，再根据DE∥BC，可得=； DB2BCABAB3接下来根据DE=4，结合上步分析即可求出BC的长. 【详解】 ∵∴

AD1=， DB2AD1=， AB3∵在△ABC中，DE∥BC，

DEAD1==. BCAB3∵DE=4， ∴BC=3DE=12. 故答案选D. 【点睛】

∴

本题考查了平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理.

6．D

解析：D 【解析】

A选项：∵1×（-1）=-1≠1，∴点（1，-1）不在反比例函数y=

1的图象上，故本选项错x误；

B选项：反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项错误； C选项：∵k=1＞0，∴图象位于一、三象限，故本选项错误； D选项：∵k=1＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故是正确的． 故选B．

7．A

解析：A 【解析】

①AEDB，且DAECAB， ∴VADE∽VACB，成立． ②ADEC且DAECAB， ∴VADE∽VACB，成立． ③④

AEDE，但VAED比一定与ÐB相等，故VADE与VACD不一定相似． ABBCADAE且DAECAB， ACAB∴VADE∽VACB，成立．

⑤由AC2ADAE，得

ACAE无法确定出VADE， ADAC故不能证明：VADE与VABC相似． 故答案为A．

点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】

解：Rt△ABC中，BC＝12cm，tanA＝1：3； tanA＝123cm， ∴AC＝BC÷

∴AB＝122(123)2＝24cm． 故选：C． 【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．

9．A

解析：A 【解析】

试题解析：∵ED∥BC，

VDOE∽VCOB，VAED∽VACB.

QVDOE∽VCOB，SVDOE:SVBOC4:9，

ED:BC2:3. QVAED∽VACB，ED:BCAE:AC.

QED:BC2:3,?ED:BCAE:AC，

AE:AC2:3，AE:EC2:1. 故选A.

点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

由已知条件可得VABCVDAC,可得出【详解】

解：由题意得：∠B=∠DAC，∠ACB=∠ACD,所以VABCVDAC，根据“相似三角形对应边成比例”，得故选B. 【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．

ACBC,可求出AC的长． DCACACBC，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=42, DCAC11．C

解析：C 【解析】 【分析】

把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断． 【详解】

A．变成等积式是：xy=6，故错误；

B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误； C．变成等积式是：2x=3y，故正确；

D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误． 故选C． 【点睛】

本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意可知反比例函数y此可知反比例函数y

22的图象上的点关于y轴的对称的点在函数y上，由

xx2

的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得x

关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案. 【详解】

∵反比例函数y∴反比例函数y

2上有两个不同的点关于y轴对称的点在一次函数y=-x+m图象上， x2

与一次函数y=-x+m有两个不同的交点， x

2y2yxm， 联立得，消去得：xxyxm整理得：x2mx20， ∵有两个不同的交点

∴x2mx20有两个不相等的实数根， ∴△=m2-8＞0，

∴m＞22或m＜-22， 故选C. 【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.

二、填空题

13．0【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案【详解】=故答案为0【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值正确记忆相关数据是解题关键

解析：0 【解析】 【分析】

直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案． 【详解】

cos245tan30sin60=(故答案为0. 【点睛】

223311)0 . 23222此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

14．24米【解析】【分析】先设建筑物的高为h米再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可【详解】设建筑物的高为h米由题意可得：则4：6=h：36解得：h=24（米）故答案为24米【点睛】本题

解析：24米． 【解析】 【分析】

先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可． 【详解】

设建筑物的高为h米，由题意可得： 则4：6=h：36， 解得：h=24（米）． 故答案为24米． 【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．

15．【解析】【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H根据反比例函数解析式求出A的坐标点B的坐标求出AHBH根据勾股定理求出AB根据菱形的面积公式计算即可【详解】作AH⊥BC交CB的延长线于H∵反比例函数y 解析：42 【解析】 【分析】

作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】

作AH⊥BC交CB的延长线于H，

∵反比例函数y＝

3的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3， x∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，

1），

∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2， 由勾股定理得，AB＝2222 ＝22， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝22，

AH＝42， ∴菱形ABCD的面积＝BC×故答案为42． 【点睛】

本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．

16．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25

解析：75或25 【解析】 【分析】

过点A作ADBC于点D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC的面积． 【详解】

解：过点A作ADBC，垂足为D，如图所示．

在RtABD中，ADABsinB10，BDABcosB10； 在RtACD中，AD10，AC55， ∴CDAC2AD25，

1BCAD75或25． 2∴BCBDCD15或BCBDCD5， ∴SABC故答案为：75或25．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．

17．-2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积=得到|k|=2即可

得到结论【详解】解：∵AB⊥y轴∴AB∥CO∴∴∵∴故答案为：-2【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义明确是解题的关

解析：-2 【解析】 【分析】

根据已知条件得到三角形ABC的面积=【详解】 解：∵AB⊥y轴， ∴AB∥CO， ∴S三角形ABC∴k2， ∵k＜0， ∴k2， 故答案为：-2． 【点睛】

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确SVABC1AB•OB=1 ，得到|k|=2，即可得到结论． 2111AB•OB1xgyk ， 2221AB•OB=1是解题的关键． 218．79【解析】【分析】身高影长和光线构成直角三角形根据tan55°=身高：影长即可解答【详解】解：玲玲的身高=影长×tan55°=125×1428≈179（m）故答案为179【点睛】本题考查了解直角三

解析：79 【解析】 【分析】

=身高：影长即可解答． 身高、影长和光线构成直角三角形，根据tan55°【详解】

解：玲玲的身高=影长×tan55°=1.25×1.428≈1.79（m）． 故答案为1.79． 【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用、正切的概念、计算器的使用．

19．6【解析】符合条件的最多情况为：即最多为2+2+2=6

解析：6 【解析】

符合条件的最多情况为：

即最多为2+2+2=6

20．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm

解析：10 【解析】 【分析】

如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论． 【详解】 如图，

记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D， ∴OC⊥AB，BD=

1AB， 2由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm， ∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r， 在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2， ∴r2=36+（r﹣2）2， ∴r=10cm， 故答案为10． 【点睛】

本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．

三、解答题

21．观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米． 【解析】 【分析】

过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题． 【详解】

过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x， 在Rt△DEB中，tan∠DBE=∵∠DBC=65°，

DE， BE∴DE=xtan65°． 又∵∠DAC=45°， ∴AE=DE． ∴132+x=xtan65°， ∴解得x≈115.8， ∴DE≈248（米）．

∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．

22．（1）详见解析；（2）AC=9，CD=【解析】 【分析】

15. 2（1）根据相似三角形的判定证明即可； （2）利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】

证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB； （2）∵△ABE∽△ACB， ∴

ABAE， ACAB∴AB2＝AC•AE， ∵AB＝6，AE＝4，

AB2∴AC＝9，

AE∵AB∥CD，

∴△CDE∽△ABE， ∴

CDCE， ABAEAB•CEAB•ACAE6515 ． AEAE42【点睛】

∴CD此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．

23．（1）y【解析】

6

（2）(-6,0)或(-2,0). x

分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；

（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标． 详解：（1）把A点坐标代入y=

11x+2，可得：3=m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A226； x点也在双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y= （2）在y=

1x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设21×3|t+4|．∵△ACP的面积2P点坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=为3，∴

1×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）． 2点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键． 24．（1）y【解析】 【分析】

（1）先得到点D的坐标，再求出k的值即可确定反比例函数解析式；

（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．由E、F两点的坐标，得到AE=1，FG=2-（-1）=3，从而得到△AEF的面积． 【详解】

解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y=2， 将y=2代入y=2x，得到x=1， ∴点D的坐标为（1，2）． ∵函数y∴函数y

23，E（2，1），F（-1，-2）；（2）． x2kk的图象经过点D，∴2，∴k=2，

1x

k2

的表达式为y．

xx

（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．

根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称 ∴点F的坐标分别为（-1，-2）， 把x=2代入y

2

得，y=1； x

∴点E的坐标（2，1）； ∴AE=1，FG=2-（-1）=3， ∴△AEF的面积为：

113AE•FG=13 222.

25．（1）证明见解析；（2）BAC90o且ABAC时，四边形ADCE是一个正方形；证明见解析；（3）8； 【解析】 【分析】

（ 1 ）根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAD=∠CAE=

1∠ BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD+ 21（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA，根据矩形2的判定，可得答案；

（ 2 ）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案；

（ 3 ）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案． 【详解】

1∵ABAC，ADBC，垂足为点D，

∴CAD1BAC． 21CAM． 2∵AN是VABC外角CAM的平分线， ∴CAE∵BAC与CAM是邻补角， ∴BACCAM180o， ∴CADCAE1BACCAM90o． 2∵ADBC，CEAN， ∴ADCCEA90o， ∴四边形ADCE为矩形；

（2）BAC90o且ABAC时，四边形ADCE是一个正方形， ∵BAC90o且ABAC，ADBC， ∴CAD1BAC45，ADC90o， 2∴ACDCAD45o， ∴ADCD．

∵四边形ADCE为矩形， ∴四边形ADCE为正方形；

3由勾股定理，得

AD2CD2AB，ADCD，

即2AD22，

AD2，

正方形ADCE周长4AD428． 【点睛】

本题考查了的正方形的判定与性质,(1)利用了等腰三角形的性质,矩形的判定;(2)利用了正方形的判定;(3)利用了勾股定理,正方形的周长,灵活运用是关键.