专升本高等数学(一)-147
(总分150, 做题时间90分钟) 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题
(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.
若∫f(x)dx=xln(x+1)+C，则SSS_SINGLE_SEL等于______
A 2 B -2 C -1
D 1
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:A
[考点] 本题考查了一元函数的导数及其极限的知识点． [解析] 因∫f(x)dx=xln(x+1)+C，所以 2. 若f(x-1)=x 2 -1．则f′(x)等于______
SSS_SINGLE_SEL A 2x+2 B x(x+1) C x(x-1)
D 2x-1
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:A
[考点] 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．
[解析] 因f(x-1)=x 2 -1，故f(x)=(x+1) 2 -1=x 2 +2x，则f′(x)=2x+2． 3.
设函数f(x)满足f′(sin 2 x)-cos 2 x，且f(0)=0，则f(x)=______ A． B． C． D． A SSS_SIMPLE_SINB C D
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:D
[考点] 本题考查了已知导函数求原函数的知识点．
[解析] 由f′(sin 2 x)=cos 2 x，知f′(sin 2 x)=1-sin 2 x． 令u=sin 2 x，故f′(u)=1-u． 所以 由f(0)=0，得C=0．
所以 4.
函数z=x 2 -xy+y 2 +9x-6y+20有______
SSS_SINGLE_SEL A 极大值f(4,1)=63 B 极大值f(0,0)=20 C 极大值f(-4,1)=-1
D 极小值f(-4,1)=-1
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:D
[考点] 本题考查了函数的极值的知识点． [解析] 因z=x 2 -xy+y 2 +9x-6y+20，
令 得驻点(-4,1)．又因 故对于点(-4,1)，A=2，B=-1，C=2，B 2 -AC=-3＜0，且A＞0，因此z=f(x,y)在点(-4,1)处取得极小值，且极小值为f(-4,1)=-1． 5.
当x→0时，与x等价的无穷小量是______ A． B．ln(1+x) C． D．x 2 (x+1) A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:B
[考点] 本题考查了等价无穷小量的知识点． [解析] 对于选项A， 选项B， ，故 是在x→0时的比x低阶的无穷小；对于
SSS_SIMPLE_SIN，故ln(1+x)是x→0时与x等价的无穷小；对于选项C，
，故 是x→0时与x同阶非等价的无穷小；对于选项D， (x+1)是x→0时的比x高阶的无穷小． 6. 2
．故x
使 A． 成立的f(x)为______ B． C．e -x D． SSS_SIMPLE_SIN A B C D 该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:A
[考点] 本题考查了反常积分的敛散性的知识点． [解析] 对于选项A， 不存在； 对于选项C， ，故此积分收敛，且收敛于1；对于选项B， ，故此积分收敛，但收敛于e -1 ；对于选项D， ，故选A．
，故此积分收敛，但收敛于 7. 级数是______ SSS_SINGLE_SEL A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散
D 无法确定敛散性
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:A
[考点] 本题考查了级数的绝对收敛的知识点．
[解析] 因 ，故原级数等价于 ，所以级数绝对收敛． 8.
方程z=x 2 +y 2 表示的曲面是______
SSS_SINGLE_SEL A 椭球面 B 旋转抛物面 C 球面
D 圆锥面
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:B
[考点] 本题考查了二次曲面(旋转抛物面)的知识点． [解析] 旋转抛物面的方程为z=x 2 +y 2 ． 9.
已知f(xy,x-y)=x 2 +y 2 ，则 SSS_SINGLE_SEL等于______
A 2 B 2x C 2y
D 2x+2y
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:A
[考点] 本题考查了复合函数的偏导数的知识点．
[解析] 因f(xy,x-y)=x 2 +y 2 =(x-y) 2 +2xy，故f(x,y)=y 2 +2x． 从而 10.
微分方程y″-7y′+12y=0的通解为______
SSS_SINGLE_SEL A y=C1e3x+C2e-4x B y=C1e-3x+C2e4x C y=C1e3x+C2e4x
D y=C1e-3x+C2e-4x
该题您未回答:х 该问题分值: 4 答案:C
[考点] 本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点．
[解析] 因方程y″-7y′+12y=0的特征方程为r 2 -7r+12=0，于是有特征根r 1 =3，r 2 =4，故微分方程的通解为y=C 1 e 3x +C 2 e 4x ． 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题 1. SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 4
e -2 [考点] 本题考查了函数的极限的知识点． [解析] 2. SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 4 x [考点] 本题考查了利用 [解析] 3. 若 求极限的知识点．
，则y′=______． SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 4 [考点] 本题考查了一元函数的一阶导数 [解析] 注：用对数求导法可解之如下：
两边对x求导得 4. 由 ，求f(x)的导数等于______． SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 4 [考点] 本题考查了一元函数的导数的知识点． [解析] 由 5. 函数 在[0,3]上满足罗尔定理，则ξ=______．
两边对x求导，得
SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 4 2 [考点] 本题考查了罗尔定理的知识点． [解析] 由 ，得f(0)=f(3)=0．又因
故f′(ξ)=0，所以ξ=2． 6. SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 4 [考点] 本题考查了定积分的知识点． [解析] 7.
∫sec 2 5xdx=______． SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 4 [考点] 本题考查了不定积分的知识点． [解析] 8.
已知z=(1+xy) y ， SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 4 1+2ln2 [考点] 本题考查了二元函数在一点处的一阶偏导数的知识点． [解析] 由z=(1+xy) y ，两边取对数得lnz=yln(1+xy)， 注：将x=1代入z=(1+xy) y ， 9. 若将 改变积分顺序，则I=______．
SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 4 [考点] 本题考查了改变积分顺序的知识点． [解析] 因积分区域
D={(x,y)|1≤x≤e，0≤y≤lnx} ={(x,y)|0≤y≤1，e y ≤x≤e}，
所以 注：画出草图就能清楚地看出积分区域的特征． 10.
方程y′-e x-y =0的通解为______． SSS_FILL 该题您未回答:х 该问题分值: 4 e y =e x +C [考点] 本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点． [解析] y′-e x-y =0，可改写为e y dy=e x dx， 两边积分得e y =e x +C． 三、解答题 1. 若函数 在x=0处连续，求a． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 8 又因f(0)=a，所以当a=-1时，f(x)在x=0连续． 2.
函数y=y(x)由方程e y =sin(x+y)确定，求dy． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 8 将e y =sin(x+y)两边对x求导，有e y ·y′=cos(x+y)(1+y′)， 3. 求∫x 2 e x dy． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 8
∫x 2 e x dx=∫x 2 de x =x 2 e x -∫2xe x dx =x 2 e x -2∫xde x
=x 2 e x -2(xe x -∫e x dx) =x 2 e x -2xe x +2e x +C． 4. SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 8 5. 已知z=y lnxy ，求 ． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 8 由z=y lnxy ， 6. 计算 ，其中D为x 2 +y 2 ≤1，且x≥0，y≥0所围区域．
SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 10 用极坐标解(积分区域和被积函数均适宜用极坐标处理)． 7. 在t=1处的切线方程． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 10 所以 而t=1时，y=a， ，即 故切线方程为 8.
求幂级数 的收敛区间． SSS_TEXT_QUSTI 该题您未回答:х 该问题分值: 10 当
1，即x 2 ＜2时，所给级数收敛，因此，收敛区间为
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