三角形全等之动点问题(习题及答案)

三角形全等之动点问题（习题）

 例题示范

例1：已知：如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB-BC-CD方向运动，到达点D时停止运动．连接AP，DP．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ADP的面积为6．

【思路分析】

1．研究背景图形，标注

四边形ABCD是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段

①分析运动过程：动点P的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．

(2/s) P：A2sB2sC2sD0≤t≤6

②根据状态转折点分为三段：0≤t≤2，2t≤4，4t≤6，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式

①当0≤t≤2时，即点P在线段AB上，

ADPBC

此时AP=2t，AD=4，

S1△ADP2ADAP，

即61242t，

t32，符合题意．

②当2t≤4时，即点P在线段BC上，

1

ADPBCADBCADBC

ADBPC

此时S11△ADP2ADAB2448，

不符合题意，舍去．

③当4t≤6时，即点P在线段CD上，

ADPBC

此时DP=12-2t，AD=4，

S1△ADP2ADDP，

即6124(122t)，

t92，符合题意． 综上，当t的值为32或92时，△ADP的面积为6．

 巩固练习

1. 已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一点，

2

APBDC

且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．

2. 如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒1

个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．

3. 已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10 cm，点D为边AB

上一点，AD=6 cm．点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设

3

ADPEBQCADQk'BPC

点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．

ADm'CBl'4. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，

4

点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

ADQBPAC DQBPC

5. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接

DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．

（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．

5

（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

 思考小结

1. 动点问题的处理方法：

①______________________；

②______________________，________；

6

ADBFCE

ADBFCE

ADBFCE

③______________________，________． 2. 分析运动过程包括4个方面（四要素）：

①起点、________、__________； ②_________________________； ③根据_____________分段； ④所求目标．

3. 当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成几个较为简单的

问题来进行考虑，动点问题也是如此．

具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．

【参考答案】

1. 当t为4秒时，△BPA≌△ADC

82. 当x为秒时，△PBE≌△QBE

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3. ①当t为

58秒时，△BPD≌△CPQ，此时Q的速度为cm/s． 25②当t为3秒时，△BPD≌△CQP，此时Q的速度为2cm/s． 4. （1）①全等

②Q的速度为4cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等 （2）经过24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇． 5．（1）

0t≤3，s4t 3t≤5，s125t8，s4t32（2）t为1秒或7秒时，△ABF与△DCE全等

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