高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

fxx2x31gxx1与函数x1相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

x312gxfxxx1x1函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gx是不同∴与

的函数。

2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．

错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列xn1是有界数列，但极限不存在

n4、nlimana，nlimana．

nlim(1)n1lim(1)na1错误 如：数列n，n，但n不存在。

5、如果xlimfxA，则fxA（当x时，为无穷小）．

正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

1

第一章 函数与极限 复习题

6、如果～，则o．

1，是

正确 ∵

lim∴

limlim10，即是的高阶无穷小量。

7、当x0时，1cosx与x是同阶无穷小．

2xx2sinsin1cosx2lim2121limlimx0x0x04x2x2x22正确 ∵

228、

limxsinx011limxlimsin0xx0x0x．

错误 ∵x0limsin1x不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

1lim1ex09、 x．

x1lim1ex错误 ∵x

x10、点x0是函数

yxx的无穷间断点．

2

第一章 函数与极限 复习题

错误 x00limxxlimxxxlimlim11x00x，x00xx00x ∴点x0是函数

yxx的第一类间断点．

11、函数fx1x必在闭区间a,b内取得最大值、最小值．

错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，fx1x在x0处不连续

∴函数fx1x在闭区间a,b内不一定取得最大值、最小值

二、填空题：

1、设yfx的定义域是0,1，则

xfe（１）的定义域是（ (,0) ）；

xxk,xk(kZ)2f1sinx2（２）的定义域是（ ）；

（３）flgx的定义域是（ (1,10) ）．

x答案：（1）∵0e1

2（2）∵01sinx1

3

第一章 函数与极限 复习题

（3）∵0lgx1

2、函数

x22x0fx0x0x230x4的定义域是（ 2,4 ）．

222fxsinxxx1fxsinx1 ）3、设，，则（ ．

24、nlimnsinxn＝（ x ）．

limnsinnxlimnnsin∵

xxsinnlimnxxn1xnn

1xxfxcos2x15、设

x11x1x1，则

x10limfx（ 2 ），x10limfx（ 0 ）．

∵x10limfxlim(1x)2x10，x10limfxlimx10x10

1cosxfxx2a6、设

x0x0，如果fx在x0处连续，则a（

12 ）．

1cosx11cosx1limf0a22fxx0x02，如果2xx∵在x0处连续，则 lim7、设

x0limfxfxxx0是初等函数定义区间内的点，则（

4

fx0 ）．

第一章 函数与极限 复习题

limfxfxfxxx00 ∵初等函数在定义区间内连续，∴

8、函数

1y1x12当x（ 1 ）时为无穷大，当x（

1 ）时为无穷小．

∵

limx1x12，

limxx120

12 ）．

9、若

xlimxx1axb02，则a（ 1 ），b（

∵xlimxx1axb2limxx2x1axbx2x1axbx2x1axb

222x2x1axb1ax12abx1blimlimxx2x1axbxx2x1axb

221a0，∴a1， 欲使上式成立，令

上式化简为

21b12ab12abx1b212abxlimlimlim2xx11bx1axx1axb12axxx∴a1，

1b12ab0，2

5

第一章 函数与极限 复习题

fx110、函数

11x的间断点是（ x0,x1 ）．

11、

fxx2x2x24x3的连续区间是（ ,1,1,3,3, ）．

limax2sinx12、若xx2，则a（ 2 ）．

limax2sinxxxlimxa2sinxxlimxa0a02 ∴a2

sinx13、xlimx（ 0 ），limxxsin1x（ 1 ），

kxlim1x1x（ e1 ），limx11xx0（ ek ）．

sinxlim1sin1xlim1xlimx11∵xlimxxsinxxxsinx0 x

kxklim1x1lim1x(1)e1 lim1xxx0x01(x)x11xlimx(1x)ek

14、xlimsin(arctanx)（ 不存在 ），xlimsin(arccotx)（三、选择填空：

6

0 ）

第一章 函数与极限 复习题

1、如果nlimxna，则数列xn是（ b ）

a.单调递增数列 b．有界数列 c．发散数列

2fxlogxx1是（ a ） a2、函数

a．奇函数 b．偶函数 c．非奇非偶函数

fxlogax(x)21loga∵

1xx21

logaxx1fx

2x3、当x0时，e1是x的（ c ）

a．高阶无穷小 b．低阶无穷小 c．等价无穷小

4、如果函数fx在x0点的某个邻域内恒有fxM（M是正数），则函数fx在该邻域内

（ c ）

a．极限存在 b．连续 c．有界

11x在（ c ）条件下趋于.

5、函数fxa．x1 b．x10 c．x10

7

第一章 函数与极限 复习题

sinx6、设函数fxx，则limx0fx（ c ） a．１ b．－１ c．不存在

sinx∵xlim00xxlimsinx00xxlimsinx00x1

sinxxlimsinx00xxlim00x1

根据极限存在定理知：limx0fx不存在。

7、如果函数fx当xx0时极限存在，则函数fx在x0点（ c a．有定义 b．无定义 c．不一定有定义

∵fx当xx0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。1118、数列１，１，2，２，3，３，…，n，n，…当n时为（a．无穷大 b．无穷小 c．发散但不是无穷大 9、函数fx在x0点有极限是函数fx在x0点连续的（ b ）a．充分条件 b．必要条件 c．充分必要条件

8

）

c ）

第一章 函数与极限 复习题

10、点x0是函数

arctan1x的（ b ）

a．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点

11limarctanx2 x00x2

∵x00limarctan根据左右极限存在的点为第一类间断点。

1x的（ c ）

11、点x0是函数

sina．连续点 b．第一类间断点 c．第二类间断点

四、计算下列极限：

n1lim1、n3n

nn111(1)n1limlim()n33n3n3 解 nntan3x2、x0sin2x

limtan3x3x3limlimx0sin2xx02x2 （∵x0,sin2x～2x,tan3x～3x） 解

9

第一章 函数与极限 复习题

limxxxxx 3、

xlimxxxx

limxxxxxxxxxxxxx

limx2xxxxx

11111xx1

2limx4、nlimn2n1n2n

lim解

nn2n1n2nnlimn2n1n2nn2n1n2n

n2n1n2nlimn122n1nlim1111n2n1n2nn121nnn

x3x2limx00xsinx5、

10

第一章 函数与极限 复习题

x3x2x1xlimlimlimx00xsinxx00xsinxx001x1sinx21x

6、

limxsinx1x21

x0limx0xsinx1x12limx0x21x21(1x1)(1x1)22limx0x21x21x2

limx01x212

7、

limx1x1

x0limx1x1xxx0limx0x1x1x1limx0x11

8、x1x1

limlimxxx1x1limxx1x1x11

tanxsinxx39、x0

lim 11

第一章 函数与极限 复习题

12xxsinx1cosxtanxsinx112limlimlim333x0x0x0xxcosxxcosx2

x0,1cosx(∵

x1cos2x

12x2,sinx)

10、

x00limx00limx1cos2xlimx122x2x0012

解

12xx0,1cosx(∵～2)

x1limxx1 11、

x11x1x1e1xlimlim2xxx1eex11x解

1limxln1xx 12、

x

12

第一章 函数与极限 复习题

解

111limxln1limln1lnlim11xxxxxx

limxxxcosx13、xxcosx

cosx1xcosxx1limlimxxcosxxcosx1x解

12lim2x1x1x1 14、11x112lim2lim2limx1x1x1x1x11xx12 解

415、

limx44x32 x341444x4xlimlim1x33x2x3123limx解 16、

4sinx1cosx

x00 13

第一章 函数与极限 复习题

x00lim解

sinxsinxlim2lim2x00x1cosxx0012x2

sinx111111lim17、

limn1223nn1 解

n1223lim1n12121311nn114

nn1 lim1n1n11