2019-2020学年广东省深圳市福田区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的是） 1．（3分）﹣2的相反数是（ ） A．2
11
B．﹣2 C．−2 D．
2
2．（3分）2015年10月29日，中共十八届五中全会公报决定，实施普遍二孩政策，中国共1980年开始，推行了35年的城镇人口独生子女政策真正宣告终结，“未来中国人口不会突破15亿？”是政策调整决策中的重要考量，“经过高、中共、低方案反复测算”，未来中国人口不会突破”15亿用科学记数法表示为（ ） A．15×109 B．1.5×108 C．1.5×109 D．1.59 3．（3分）下列调查方法合适的是（ ） A．为了了解冰箱的使用寿命，采用普查的方式 B．为了了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式 C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D．对“神舟十一号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式 4．（3分）下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2x2y和﹣yx2 B．ax2和a2x
C．﹣32和3
𝑥𝑦
D．3𝑥𝑦和−2
5．（3分）从n边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线． A．n
B．n﹣1
C．n﹣2
D．n﹣3
6．（3分）有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列各式不成立的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．|b|＞a D．ab＜0 7．（3分）下面说法，错误的是（ ）
A．一个平面截一个球，得到的截面一定是圆
B．一个平面截一个正方体，得到的截面可以是五边形
C．棱柱的截面不可能是圆
D．甲、乙两图中，只有乙才能折成正方体
8．（3分）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（ ） A．80元
B．85元
C．90元
D．95元
9．（3分）方程（a﹣2）x|a|﹣1+3=0是关于x的一元一次方程，则a=（ ） A．2
B．﹣2 C．±1 D．±2
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．长方形的长是a米，宽比长短25米，则它的周长可表示为（2a﹣25）米 B．6h表示底为6，高为h的三角形的面积
C．10a+b表示一个两位数，它的个位数字是a，十位数字是b
D．甲、乙两人分别从相距40千米的两地相向出发，其行走的速度分别为3千米/小时和5千米/小时，经过x小时相遇，则可列方程为3x+5x=40
11．（3分）关于x、y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含有二次项，则k=（ ） A．3
1
B． 3
1
C．4
D．
4
12．（3分）已知|a|=3，b2=16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（ ） A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7
二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）比较大小：﹣8 ﹣9（填“＞”、“=”或“＜“）． 14．（3分）若a﹣b=1，则整式a﹣（b﹣2）的值是 ．
15．（3分）在时钟的钟面上，九点半时的分针与时针夹角是 ． 16．（3分）若x是不等于1的实数，我们把
11−𝑥
称为x的差倒数，如2的差倒数
1111是=﹣1，﹣1的差倒数为=，现已知x1=﹣，x2是x1的差倒数，x31−21−(−1)23
是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2015= ．
三、解答题：（本题共8小题，其中第17题11分，第18题8分，第19题6分，
第20题6分，第21题6分，第22题7分，第23题8分，共52分） 17．（6分）计算
137（1）（1﹣1﹣+）×（﹣24）
2812
（2）﹣42×（﹣2）+[（﹣2）3﹣（﹣4）]．
12
19．（5分）先化简，再求值：2x2﹣3（﹣x2+xy﹣y2）﹣3x2，其中x=2，y=﹣1．
33
20．（8分）解方程． （1）5x﹣2（3﹣2x）=﹣3 （2）
𝑥−35
𝑥−43
−=1
21．（6分）校学生会体育部为更好的开展同学们课外体育活动，现对学生最喜欢的一项球类运动进行了随机抽样调查，根据调查的结果绘制成如图①和②所示的两幅不完整的统计图，其中 A．喜欢篮球 B．喜欢足球 C．喜欢乒乓球，D．喜欢排球，请你根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）本次一共调查了 名学生； （2）把图①汇总条形统计图补充完整；
（3）求图②中表示“D．喜欢排球”部分所在扇形的圆心角的度数；
（4）若该校有3000名学生，请你估计全校可能有多少老学生喜欢足球运动． 22．（6分）如图是小强用八块相同的小立方体搭成的一个几何体，从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图（在答题卡上画完图后请用黑色签字笔描图）
23．（6分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°． （1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；
1
（2）若∠COM=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．
4
24．（7分）为了进行资源的再利用，学校准备针对库存的桌椅进行维修，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳14套，乙每天比甲多7套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天．学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． （1）请问学校库存多少套桌凳？
（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你选哪种方案，为什么？
25．（8分）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16厘米，AC=12厘米，BC=20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA=AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于
1三角形ABC面积的；
4
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
4
1
2016-2017学年广东省深圳市福田区七年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的是） 1．（3分）﹣2的相反数是（ ） A．2
11
B．﹣2 C．−2 D．
2
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2， 故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）2015年10月29日，中共十八届五中全会公报决定，实施普遍二孩政策，中国共1980年开始，推行了35年的城镇人口独生子女政策真正宣告终结，“未来中国人口不会突破15亿？”是政策调整决策中的重要考量，“经过高、中共、低方案反复测算”，未来中国人口不会突破”15亿用科学记数法表示为（ ） A．15×109 B．1.5×108 C．1.5×109 D．1.59
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15亿=15 0000 0000=1.5×109， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列调查方法合适的是（ ） A．为了了解冰箱的使用寿命，采用普查的方式 B．为了了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式 C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D．对“神舟十一号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、为了了解冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式，故A错误； B、为了了解全国中学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故B错误； C、为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式，故C正确； D、对“神舟十一号载人飞船”零部件的检查，采用普查的方式，故D错误； 故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（3分）下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2x2y和﹣yx2 B．ax2和a2x
C．﹣32和3
𝑥𝑦
D．3𝑥𝑦和−2
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可作出判断．
【解答】解：A、D所含字母相同，相同字母的指数相同，故A选项、D选项都是同类项；
C、﹣32和3都是常数项，故C选项为同类项； B、相同字母的次数不同，故B选项不是同类项． 故选：B．
【点评】本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
5．（3分）从n边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线． A．n
B．n﹣1
C．n﹣2
D．n﹣3
【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个．
【解答】解：n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引n﹣3条对角线． 故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，是需要熟记的内容．
6．（3分）有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列各式不成立的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．|b|＞a D．ab＜0
【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再逐个判断即可． 【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣b＞0，|b|＞a，ab＜0， 故选：A．
【点评】本题考查了数轴，能根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键．
7．（3分）下面说法，错误的是（ ）
A．一个平面截一个球，得到的截面一定是圆
B．一个平面截一个正方体，得到的截面可以是五边形 C．棱柱的截面不可能是圆
D．甲、乙两图中，只有乙才能折成正方体
【分析】用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个平面截一个球，得到的截面一定是圆，正确，不合题意； B、一个平面截一个正方体，过5个面时得到的截面可以是五边形，正确，不合题意；
C、过棱柱的几个面得到的截面就是几边形，都不会出现圆，正确，不合题意； D、甲、乙两图中，甲、乙都能折成正方体，故此选项错误，符合题意； 故选：D．
【点评】此题主要考查了截一个几何体以及展开图折叠成几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
对于这类题，最好是动手动脑相结合，从中学会分析和归纳的思想方法．
8．（3分）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（ ） A．80元
B．85元
C．90元
D．95元
【分析】商品的实际售价是标价×90%=进货价+所得利润（20%•x）．设该商品的进货价为x元，根据题意列方程得x+20%•x=120×90%，解这个方程即可求出进货价．
【解答】解：设该商品的进货价为x元， 根据题意列方程得x+20%•x=120×90%， 解得x=90． 故选：C．
【点评】解决本题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．亦可根据利润=售价﹣进价列方程求解．
9．（3分）方程（a﹣2）x|a|﹣1+3=0是关于x的一元一次方程，则a=（ ） A．2
B．﹣2 C．±1 D．±2
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）． 【解答】解：由题意，得 |a|﹣1=1，且a﹣2≠0， 解得a=﹣2， 故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数
的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．长方形的长是a米，宽比长短25米，则它的周长可表示为（2a﹣25）米 B．6h表示底为6，高为h的三角形的面积
C．10a+b表示一个两位数，它的个位数字是a，十位数字是b
D．甲、乙两人分别从相距40千米的两地相向出发，其行走的速度分别为3千米/小时和5千米/小时，经过x小时相遇，则可列方程为3x+5x=40
【分析】根据各个选项中的语句可以列出相应的代数式或者列出方程，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：长方形的长是a米，宽比长短25米，则它的周长可表示为2a+2（a﹣25）=（4a﹣50）米，故选项A错误；
6ℎ2
表示底为6，高为h的三角形的面积，故选项B错误；
10a+b表示一个两位数，它的个位数字是b，十位数字是a，故选项C错误； 甲、乙两人分别从相距40千米的两地相向出发，其行走的速度分别为3千米/小时和5千米/小时，经过x小时相遇，则可列方程为3x+5x=40，故选项D正确； 故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程、列代数式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11．（3分）关于x、y的代数式（﹣3kxy+3y）+（9xy﹣8x+1）中不含有二次项，则k=（ ） A．3
1
B． 3
1D．
4
C．4
【分析】原式去括号合并后，根据结果不含二次项，确定出k的值即可． 【解答】解：原式=﹣3kxy+3y+9xy﹣8x+1=（9﹣3k）xy+3y﹣8x+1， 由结果不含二次项，得到9﹣3k=0， 解得：k=3， 故选：A．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）已知|a|=3，b2=16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（ ） A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±7
【分析】首先根据|a|=3，可得a=±3；再根据b2=16，可得b=±4；然后根据|a+b|≠a+b，可得a+b＜0，据此求出a、b的值各是多少，即可求出代数式a﹣b的值为多少．
【解答】解：∵|a|=3， ∴a=±3； ∵b2=16， ∴b=±4； ∵|a+b|≠a+b， ∴a+b＜0，
∴a=3，b=﹣4或a=﹣3，b=﹣4， （1）a=3，b=﹣4时， a﹣b=3﹣（﹣4）=7； （2）a=﹣3，b=﹣4时， a﹣b=﹣3﹣（﹣4）=1； ∴代数式a﹣b的值为1或7． 故选：A．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）比较大小：﹣8 ＞ ﹣9（填“＞”、“=”或“＜“）． 【分析】本题为简单的比较大小问题，直接进行比较即可． 【解答】解：∴|﹣8|=8，|﹣9|=9， ∴8＜9，
∴﹣8＞﹣9． 故答案为：＞．
【点评】本题考查简单的有理数比较大小，对题中数字进行比较即可．
14．（3分）若a﹣b=1，则整式a﹣（b﹣2）的值是 3 ．
【分析】先化简，再整理，使结果中出现a﹣b的形式，再代入计算即可． 【解答】解：a﹣（b﹣2）=a﹣b+2， ∵a﹣b=1， ∴a﹣b+2=1+2=3． 故答案是3．
【点评】本题考查了整式的化简求值．解题的关键是整体代入．
15．（3分）在时钟的钟面上，九点半时的分针与时针夹角是 105° ． 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
17
【解答】解：九点半时的分针与时针相距3+=份，
22
7
九点半时的分针与时针的夹角是30×=105°，
2
故答案为：105°．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．
16．（3分）若x是不等于1的实数，我们把
11−𝑥
称为x的差倒数，如2的差倒数
1111是=﹣1，﹣1的差倒数为=，现已知x1=﹣，x2是x1的差倒数，x31−21−(−1)23
3
是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2015= ．
4【分析】根据已知条件可以先计算出几个x的值，从而可以发现其中的规律，求出x2015的值．
【解答】解：由已知可得，
1x1=﹣，
313x2=1=， 1−(−3)4
x3=
3=4， 1−41
1
x4==﹣， 1−43
1
可知每三个一个循环， 2015÷3=671…2，
3故x2015=．
4
【点评】本题考查实数的性质，解题的关键是发现其中的规律，求出相应的x的值．
三、解答题：（本题共8小题，其中第17题11分，第18题8分，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题7分，第23题8分，共52分） 17．（6分）计算
137（1）（1﹣1﹣+）×（﹣24）
2812
（2）﹣42×（﹣2）+[（﹣2）3﹣（﹣4）]．
【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=﹣24+36+9﹣14=7； （2）原式=32﹣8+4=28．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（5
分）先化简，再求值：2x2﹣3（﹣
122
x+xy﹣y2）﹣3x2，其中x=2，y=﹣1． 33
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=2x2+x2﹣2xy+3y2﹣3x2=﹣2xy+3y2， 当x=2，y=﹣1时，原式=4+3=7．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）解方程． （1）5x﹣2（3﹣2x）=﹣3
（2）
𝑥−35
−
𝑥−43
=1
【分析】（1）先去括号，再移项，化系数为1，从而得到方程的解．
（2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：（1）5x﹣6+4x=﹣3（1分） 9x=﹣3+6（3分）
1
x=（5分） 3
（2）3（x﹣3）﹣5（x﹣4）=15（1分） 3x﹣9﹣5x+20=15（2分） ﹣2x=15+9﹣20（3分） x=﹣2（5分）
【点评】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
21．（6分）校学生会体育部为更好的开展同学们课外体育活动，现对学生最喜欢的一项球类运动进行了随机抽样调查，根据调查的结果绘制成如图①和②所示的两幅不完整的统计图，其中 A．喜欢篮球 B．喜欢足球 C．喜欢乒乓球，D．喜欢排球，请你根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）本次一共调查了 200 名学生； （2）把图①汇总条形统计图补充完整；
（3）求图②中表示“D．喜欢排球”部分所在扇形的圆心角的度数；
（4）若该校有3000名学生，请你估计全校可能有多少老学生喜欢足球运动．
【分析】（1）利用“喜欢篮球”的人数及其占别调查人数的百分比可得答案； （2）根据各项目人数之和等于总数可得B的人数，即可补全条形图； （3）用“D．喜欢排球”所占百分比乘以360°可得答案；
（4）用总人数乘以“喜欢足球”的人数占被调查人数的百分比可得答案． 【解答】解：（1）∵60÷30%=200， ∴本次一共调查了200名学生， 故答案为：200；
（2）根据题意知，“喜欢足球”的人数为200﹣（60+30+10）=100， 补全条形图如下：
（3）图②中表示“D．喜欢排球”部分所在扇形的圆心角的度数为360°×5%=18°；
100（4）3000×=1500（人），
200
答：估计全校可能有1500名学生喜欢足球运动．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（6分）如图是小强用八块相同的小立方体搭成的一个几何体，从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图（在答题卡上画完图后请用黑色签字笔描图）
【分析】从前面看，左面看，上面看的课得出结论． 【解答】解：三视图如下：
【点评】此题是作图﹣﹣三视图，掌握实物图的三视图的画法是解本题的关键．
23．（6分）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM=90°，∠DON=90°． （1）若∠COM=∠AOC，求∠AOD的度数；
1
（2）若∠COM=∠BOC，求∠AOC和∠MOD．
4
1
【分析】（1）根据∠COM=∠AOC可得∠AOC=∠AOM，再求出∠AOM的度数，
2
然后可得答案；
（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°，进而可得∠BOM=3x°，从而可得3x=90，然后可得x的值，进而可得∠AOC和∠MOD的度数． 【解答】解：（1）∵∠COM=∠AOC，
1
∴∠AOC=∠AOM，
2
∵∠BOM=90°，
∴∠AOM=90°， ∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=180°﹣45°=135°；
（2）设∠COM=x°，则∠BOC=4x°， ∴∠BOM=3x°， ∵∠BOM=90°， ∴3x=90， x=30，
∴∠AOC=60°，∠MOD=90°+60°=150°．
【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补．掌握方程思想的应用．
24．（7分）为了进行资源的再利用，学校准备针对库存的桌椅进行维修，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳14套，乙每天比甲多7套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天．学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． （1）请问学校库存多少套桌凳？
（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你选哪种方案，为什么？
【分析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即甲乙单独修完桌椅的数量相同，列方程求解即可；
（2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案．
【解答】解：（1）设乙单独做需要x天完成，则甲单独做需要（x+20）天，由题意可得：
14（x+20）=21x， 解得：x=40，
总数：21×40=840（套），
答：乙单独做需要40天完成，甲单独做需要60天，一共有840套桌椅；
（2）方案一：甲单独完成：60×80+60×10=5400（元）， 方案二：乙单独完成：40×120+40×10=5200（元）， 方案三：甲、乙合作完成：840÷（14+21）=24（天）， 则一共需要：24×（120+80）+24×10=5040（元）， 故选择方案三合算．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
25．（8分）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16厘米，AC=12厘米，BC=20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA=AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于
1三角形ABC面积的；
4
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
4
1
【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12﹣t，由AQ=AP，可得方程12﹣t=2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ=t，则AQ=12﹣t，根据三角形QAB的面积等
1
于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题．
4
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可． 【解答】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ=t，AP=2t，
则AQ=12﹣t， ∵AQ=AP， ∴12﹣t=2t， ∴t=4．
∴t=4s时，AQ=AP．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ=t，则AQ=12﹣t，
1
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，
4
111
∴•AB•AQ=וAB•AC， 24211
∴×16×（12﹣t）=×16×12，解得t=9． 28
1∴t=9s时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的．
4
（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12﹣t，BP=16﹣2t，
1
∵AQ=BP，
41
∴12﹣t=（16﹣2t），解得t=16（不合题意舍弃）．
4
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ=t，则AQ=12﹣t，BP=2t﹣16，
1
∵AQ=BP，
4132
∴12﹣t=（2t﹣16），解得t=．
43
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时， ∵AQ=t﹣12，BP=2t﹣16，
1
∵AQ=BP，
41
∴t﹣12=（2t﹣16），解得t=16，
4
321
综上所述，t=s或16s时，AQ=BP．
34
【点评】本题考查三角形综合题，三角形面积、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
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