一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
π3π
1．已知α∈(2，π)，sinα＝5，则tan(α＋4)等于( ) 1A.7 1C．－7
B．7 D．－7
2．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是( ) A．2π πC.4
B．4π πD.2
3．“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
ππ
4．函数y＝2sin(3－x)＋cos(6＋x)(x∈R)的最小值等于( ) A．－3 C．－1
B．－2 D．－5
5．已知△ABC的周长为4(2＋1)，且sinB＋sinC＝2sinA，则角A的对边a的值为( )
A．2 C.2
B．4 D．22
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )
1A．－2 C．－1
1B.2 D．1
ππ
7．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－3，4]上的最小值是－2，则ω的最
.
.
小值等于( )
2A.3 C．2
3B.2 D．3
πππ1πβ3
8．(2011·浙江)若0<α<2，－2<β<0，cos(4＋α)＝3，cos(4－2)＝3，则cos(αβ
＋2)＝( )
3A.3 53C.9 3
B．－3 6
D．－9 1－sinθ
的值是( )
θθcos2－sin2
θ1
9．已知θ为第二象限角，且cos＝－，那么
22
1B.2 D．2
A．－1 C．1
10．(2013·大纲全国)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( ) A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称 3
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
ππ
11.把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)的图像向左平移3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为( )
π
A．1，3 π
B．1，－3 .
.
π
C．2，3 π
D．2，－3 12．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小π
正周期为6π，且当x＝2时，f(x)取得最大值，则（ )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，则cos2θ＋sin2φ的值为________．
π
14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________. 15．(2013·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.
16．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π. kπ
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝2，k∈Z}．
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点． ππ
④把函数y＝3sin(2x＋3)的图像向右平移6得到y＝3sin2x的图像． π
⑤函数y＝sin(x－2)在[0，π]上是减函数．
其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
6cos4x＋5sin2x－4
已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求
cos2x其值域．
.
.
18．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝
sinx－cosxsin2x
. sinx
(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间． 19．(本小题满分12分)
(2013·大纲全国)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B； (2)若sinAsinC＝
3－1
4，求C.
20．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ac＝a2＋c2－b2. (1)求角B的大小；
→－BC→|＝2，求△ABC面积的最大值． (2)若|BA
21．(本小题满分12分)
→·→＝8，∠BAC
在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，ABAC＝θ，a＝4.
(1)求bc的最大值及θ的取值范围．
π
(2)求函数f(θ)＝23sin2(4＋θ)＋2cos2θ－3的最值． 22．(本小题满分12分)
1ππ
已知函数f(x)＝(1＋tanx)sin2x＋msin(x＋4)sin(x－4)． π3π
(1)当m＝0时，求f(x)在区间[8，4]上的取值范围； 3
(2)当tan α＝2时，f(α)＝5，求m的值．
.
.
答案
一、选择题1． 答案，A
π343πtanα＋1
解析，∵α∈(2，π)，sinα＝5，∴cosα＝－5，tanα＝－4.∴tan(α＋4)＝
1－tanα1＝7.
2． 答案，D
12ππ
解析，y＝sin2xcos2x＝2sin4x，所以最小正周期为T＝4＝2. 3． 答案，B
解析，若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2kπ，或α＋γ＋2β＝π＋2kπ，k∈Z；若α，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β成立．
4． 答案，A
ππππππ
解析，y＝2sin(3－x)＋cos(6＋x)＝2cos[2－(3－x)]＋cos(6＋x)＝2cos(6＋x)＋ππ
cos(6＋x)＝3cos(6＋x)．
5
当x＝6π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－3. 5． 答案，B
解析，因为sinB＋sinC＝2sinA，所以由正弦定理得b＋c＝2a，又周长为4(2＋1)，所以a＝4.
6． 答案，D
解析，∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B.
.
.
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1. 7． 答案，B
ππTπππ3
解析，方法一：画图知[－3，]内包含最小值点，∴≤，即≤，∴ω≥
4432ω32. ππ
方法二：∵f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－3，4]上的最小值是－2时，ωx＝2kπω≥8k－2，π2kπππ2kπππ
－2，x＝ω－2ω(k∈Z)，∴－3≤ω－2ω≤4，得－12k＋3
ω≥2
8． 答案，C
ππ3πβπππ22
解析，根据条件可得α＋4∈(4，4π)，4－2∈(4，2)，所以sin(α＋4)＝3，πβ6sin(4－2)＝3. βππβ
所以cos(α＋2)＝cos[(4＋α)－(4－2)] ππβππβ＝cos(4＋α)cos(4－2)＋sin(4＋α)sin(4－2) 1322653＝3×3＋3×3＝9. 9． 答案，C
θθ1θ
解析，由θ为第二象限角知2在第一、三象限，又由cos2＝－2<0知2是第三θθ
象限角，且cos2>sin2.
1－sinθθθ＝cos2－sin2
θθ2θθcos2－sin2cos2－sin2θθ＝θθ＝1. cos2－sin2cos2－sin2
3
⇒ω≥2.
故
10． 答案，C
解析，由题意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)sinx.
.
.
令t＝sinx，t∈[－1,1]，则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3. 3
令g′(t)＝2－6t2＝0，得t＝±3. 当t＝±1时，函数值为0； 343当t＝－3时，函数值为－9； 343
当t＝3时，函数值为9. 4343
∴g(t)max＝9，即f(x)的最大值为9.故选C. 11. 答案，D
12π7ππππ
解析，由题知，4×ω＝12－3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(3，0)，∴2(3＋ππ)＋φ＝π.∴φ＝－33.故选D.
12． 答案，A
2π2π1
解析，∵T＝6π，∴ω＝T＝6π＝3. π1ππ
又∵f(2)＝2sin(3×2＋φ)＝2sin(6＋φ)＝2， πππ
∴6＋φ＝2＋2kπ，k∈Z，即φ＝3＋2kπ，k∈Z. πxπ
又∵－π<φ≤π，∴φ＝3.∴f(x)＝2sin(3＋3)．
5ππ7
∴f(x)的单调递增区间为[－2π＋6kπ，2＋6kπ]，单调递减区间为[2＋6kπ，2π＋6kπ]，k∈Z.
观察各选项，故选A. 二、填空题13．答案，0 解析，由tan2θ＝2tan2φ＋1，得
cos2θ－sin2θ1－tan2θtan2φ
cos2θ＝2＝＝－2.
cosθ＋sin2θ1＋tan2θtanφ＋1
.
.
tan2φ
∴cos2θ＋sinφ＝－2＋sin2φ＝－sin2φ＋sin2φ＝0.
tanφ＋1
2
25
14．答案，，5，210
sinA2π
解析，∵tanA＝cosA＝2，∴sinA＝55.又∵b＝5，B＝4，根据正弦定理，bsinA得a＝sinB＝25×5522
＝210.
25
15．答案，－5
解析，f(x)＝sinx－2cosx＝5(令cosα＝
12
sinx－cosx)， 55
12
，sinα＝－，则f(x)＝5sin(α＋x)． 55
π
当x＝2kπ＋2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，即θ＝2kππ
＋2－α(k∈Z)，
ππ225
所以cosθ＝cos(2kπ＋2－α)＝cos(2－α)＝sinα＝－＝－5. 516． 答案，①④
解析 考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π. ②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．
③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图像只有一个交点． ππ
④y＝3sin(2x＋)图像向右平移个单位得
36ππ
y＝3sin[2(x－6)＋3]＝3sin2x.
π
⑤y＝sin(x－2)＝－cosx在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题． 三、解答题17．
11
答案，偶函数，{y|－1≤y<2或2 . πkππ 解析，由cos2x≠0，得2x≠kπ＋2，解得x≠2＋4，k∈Z. kππ 所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2＋4，k∈Z}． 因为f(x)的定义域关于原点对称， 6cos4－x＋5sin2－x－4 且f(－x)＝ cos－2x6cos4x＋5sin2x－4＝＝f(x)， cos2x所以f(x)是偶函数． kππ 当x≠2＋4，k∈Z时， 6cos4x＋5sin2x－4f(x)＝ cos2x 2cos2x－13cos2x－12＝＝3cosx－1， cos2x11 所以f(x)的值域为{y|－1≤y<2或2 (2)[kπ＋8，kπ＋8](k∈Z) 解析，(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)． 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． sin2x 因为f(x)＝(sinx－cosx)sinx ＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 π ＝2sin(2x－4)－1， 2π 所以f(x)的最小正周期T＝2＝π. π3π (2)函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋2，2kπ＋2](k∈Z)． ππ3π 由2kπ＋2≤2x－4≤2kπ＋2，x≠kπ(k∈Z)， . . 3π7π 得kπ＋8≤x≤kπ＋8(k∈Z)． 3π7π 所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋8，kπ＋8](k∈Z)． 19． 答案，(1)120° (2)15°或45° 解析，(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b21由余弦定理，得cosB＝2ac＝－2，因此B＝120°. (2)由(1)知A＋C＝60°， 所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝3－113cos(A＋C)＋2sinAsinC＝2＋2×4＝2. 故A－C＝30°或C－A＝30°，因此C＝15°或C＝45°. 20． π 答案 (1)3，(2)3 解析 (1)∵在△ABC中，ac＝a2＋c2－b2， a2＋c2－b21 ∴cosB＝2ac＝2. π∵B∈(0，π)，∴B＝3. →－BC→|＝2，∴|CA→|＝2，即b＝2. (2)∵|BA∴a2＋c2－ac＝4. ∵a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c＝2时等号成立， ∴4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4. 13 ∴△ABC的面积S＝2acsinB＝4ac≤3. ∴当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值为3. 21． π 答案 (1)16,0<θ<3 (2)f(θ)min＝2 f(θ)max＝3 →·→＝8，∠BAC＝θ，∴bc· 解析 (1)∵ABACcosθ＝8. . . 又∵a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42，即b2＋c2＝32. 又b2＋c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16. 88 而bc＝cosθ，∴cosθ≤16. 1π ∴cosθ≥2.又0<θ<π，∴0<θ≤3. π (2)f(θ)＝23sin2(4＋θ)＋2cos2θ－3 π ＝3·[1－cos(2＋2θ)]＋1＋cos2θ－3 π ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋6)＋1. πππ5π ∵0<θ≤3，∴6<2θ＋6≤6. 1π ∴2≤sin(2θ＋6)≤1. π5ππ1 当2θ＋6＝6，即θ＝3时，f(θ)min＝2×2＋1＝2； πππ 当2θ＋6＝2，即θ＝6时，f(θ)max＝2×1＋1＝3. 22． 答案 (1)[0， 1＋2 2] (2)－2 解析 (1)当m＝0时，f(x)＝sin2x＋sinxcosx 112π1＝2(sin2x－cos2x)＋2＝2sin(2x－4)＋2. π3ππ5ππ2 又由x∈[8，4]，得2x－4∈[0，4]，所以sin(2x－4)∈[－2，1]，从而f(x)1＋22π1 ＝2sin(2x－4)＋2∈[0，2]． 1－cos2x1mm1 (2)f(x)＝sinx＋sinxcosx－2cos2x＝＋sin2x－cos2x＝ 2222[sin2x－(1 2 1 ＋m)cos2x]＋2， 由tanα＝2，得sin2α＝ 2sinαcosα2tanα4 ＝＝， sin2α＋cos2α1＋tan2α5 . . cos2α－sin2α1－tan2α3 cos2α＝2＝＝－5. sinα＋cos2α1＋tan2α31431 所以5＝2[5＋(1＋m)5]＋2，得m＝－2. . 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容