中考最值问题解题策略
垂线段最短在最值问题中的应用
模型一 点到直线的所有线段中，垂线段最短
点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直线l的最短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”．
1、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段
OM的取值范围是_______________。
2、如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC， M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________． 3. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝32，⊙O的半径为1，点P 是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)， 则线段PQ的最小值为________．
模型二 “胡不归”问题
基本模型：两定一动，动点在定直线上
A M B O
问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使最小．
解决：过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN，在直角三角形中将22AP转化为PE，使得AP222AP＋BP2＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．
此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；
第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形； 第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用
“垂线段最短”找到最小值的位置．
4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线
1BD上的一个动点，则BP＋PC的最小值是( )
2333 A. 3 B. C. 3 D.3 22精选文档.
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5. 如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，
1连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
2
6、如图6－2－4，二次函数y＝ax2＋2ax＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO＝2．⑴此二次函数的解析式为：______________________________________;
⑵动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针方向旋转，到与直线AB重合时终止运动，直线l与线段BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长_________________________________________.
②点D与B、C不重合时，过点Dy y 作DE⊥AC， DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．
C D A P O A B x 图6-2-4 O B x C
7．如图6－2－5，等边△ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2＝y，则y与x的函数图象大致是（ ）
C y y y y N A M B O A
x O B
图6-2-5
x O C
x O D
x 8．如图6－2－6，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A、B是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA＝OB＝10． ⑴则A、B两点的坐标分别为__________、______________；
⑵画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．
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图6-2-6
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9．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝
5 13探究：如图6－2－7①，AH⊥BC于点H，AH＝____________,AC＝___________，△ABC的面积S△ABC＝___________________．
拓展如图6－2－7②，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n（当点D与A重合时，我们认为S△ABD＝0）
⑴用x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
⑵求（m＋n）与x的函数关系式，并求（m＋n）的最大值及最小值；
⑶对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
对称性质在最值问题中的应用
模型一 两点一线 类型1 异侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 问题解决：
A A F E D B H 图6-2-7①
C B 图6-2-7②
C
结论：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长． 类型2 同侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 问题解决：
结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA＋PB最小值为AB′．
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类型3 同侧差最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小． 问题解决：
结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0. 类型4 同侧差最大值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 问题解决：
结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，则|PA－PB|的最大值为线段AB的长．
类型5 异侧差最大值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 问题解决：
结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA－PB|的最大值为AB′. 1.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N是对角线AC上一动点，则线段DN＋MN的最小值为________．
2.如图，点C的坐标为(3，y)，当△ABC的周长最小时， 则y的值为________．
3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°， P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．
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D P C E A P N B C M 图6-1-1④
A D P E A 图6-1-1③ B C B
D 图6-1-1⑤
4、如图6－1－1④，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝ .
5、如图6－1－1⑤，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点，CD＝3，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 .
6.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC中，AB＝6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB＋PE的值最小，最小值为 .
（2）如图6－1－2②，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是 ； A A A
C E D E P B O P
C B B C D 图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③
（3）如图6－1－2③，点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，P在BC边上，则△PDE周长的最小值为 .
7.（1）如图6－1－3①，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（1，0），点P 为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为 .
（2）如图6－1－3② ，菱形ABCD中AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为 . C
A y B D
K P D
Q M
O C A A B x B P C N 图6-1-3① 图6-1-3②
图6-1-3③
（3）如图6－1－3③，锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，
M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 .
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8.（1）如图6－1－4①，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB
上的动点，则△PQR周长的最小值是 . （2）如图6－1－4②，点A（a，1）、B（－1，b）都在双曲线y＝3(x<0)上，点P、Q分
x别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ在直线的解析式是（ ）.
A.y＝x B.y＝x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝x＋3 B A y B a R
P
Q A b
O O x Q A P B 图6-1-4① 图6-1-4② 图6-1-5
9. 如图6－1－5已知，直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230，试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝（ ） A.6 B.8 C.10 D.12
10、如图6－1－13③，一次函数y＝－2x＋4的图象与x、y轴分 别交于点A，B，D 为AB的中点，C、A关于原点对称．P为OB
C 上一动点，请直接写出︱PC－PD︱的范围：__________________．
O A x 图6-1-13③ y A P D 11．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是____________________． 12．在⊙O所在的平面上有一点A，它到⊙O的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O的半径为________________．
13．在A、B均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15，若P是x轴上使得︱PA－PB︱的值最大的点，OP＝__________________.
y B A O O 图6-1-14
x 图6-1-15
x A O 图6-1-16 B x y A B y C
14．如图6－1－16，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B．⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;
⑵点D所在抛物线的对称轴上，求︱DB－DC︱的最大值．
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模型二 一点两线
类型1 一定点与两条直线上两动点问题
问题：点P在∠AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C，使得△PCD周长最小． 问题解决：
结论：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可，则△PCD周长最小为线段的长． 类型2 两定点与两条直线上两动点问题
问题：点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小． 问题解决：
结论：将问题转化为类型1即可，PC＋CD＋DQ的最小值为线段P’Q’长，则四边形PQDC的周长的最小值为P’Q’＋PQ的值．
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．
2.如图，在直角坐标系中，已知A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．
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模块四 “小虫爬行问题”
例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC＝2cm，宽BC＝1cm，A′ 高AA′＝4cm，一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点的最短路径是多少？
【规律】“小小相加凑一边时路径最短.” （2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm、底面 周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为多少cm?
【规律】“一点内一点外要用轴对称.” 练习：
A蚂蚁
C′蜜蜂
A D′ C′
B′
D 图6－1
C B
1.（1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，最短距离是（ ） A.521 B.25 C.105＋5 D.35
B′ 5 C′ 20 OC′ AA图6-1-7②
B′ A图6-1-7 ③
A 图6-1-7④ B E′ B′ HF′ G15 图6-1-7① C （2）6－1－7②，底面半径为3cm的圆锥的主视图是个正三角形，C是母线OB的中点，则从圆锥表面从A到C的最短距离等于 cm.
（3）6－1－7③,圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（ ）cm.
A.20 B.10 C.14 D.无法确定
（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH是个无上底长方体容器，M在容器内侧，位于侧棱BF上，已知AB＝5，BF＝9，FM＝3，则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于 . 2.如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？
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A′ 20 2 3 B′ 图6－1－8
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模块五 折叠最值
【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合情推理能力.方法是： （1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值. 1、如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点M、N分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10，设AE＝x，则x的取值范围是 . 【规律】A、E重合时x最小为0，折痕的两端点在AB、CD上，得到满足条件的x最大值；
2.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图6－1－11，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、QP、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 .
模块六 圆中最长弦是直径
解法归一：求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它．
1、如图6－3－1，等腰直角△ABC斜边长为4，D为是斜边AB的中点，直角∠FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小A 值是_________________．
2．如图6－3－2，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且 ∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交点 G、H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为____________．
模块七、求两正数和的最小值[9]
解法：①由（a－b）2≥0得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时成立；
②对任意正数m,n可设m＝a2、n＝b2(a、b为正数)，则有m＋n＝a2＋b2≥2ab＝2mn， 即m＋n≥2mn，当且仅当m＝n时等号成立．
这是高中两个最重要的不等式．求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值．
1、阅读理解：对任意实数a，b，
∵（a－b）2≥0，∴a－2ab＋b≥0，∴a＋b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立． 根据上述内容，回答下列问题：
1有最小值______________； m2⑵若n＞0，只有n＝_____时n＋有最小值_____________；
nG O F B D 图6-3-1 C F E B C A′ Q
图6－1－11
D′
B′ P′ B′ 图6－1－9
C′
A′ D′
不合题意，向下移动N到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，
A′ C′
E A 图6-3-2
H ⑴若m＞0，只有m＝____时m＋
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⑶若x＞0，只有x＝______时，8x2＋
2有最小值___________________; 2xC 2、如图6－4－1，AB为半圆O的直径，C为半圆上与点A、B不重合的任意一点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝a，DB＝b．请用本题图验证a＋b≥2ab,并指出等号成立时的条件．
3、如图6－4－2，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲
12线y＝(x＞0)上任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y
x轴于点D，求四边形ABCD的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
B 图6-4-2 D A y O 图6-4-1
D B
P A O C x 4、公式：对于任意正数a、b，总有a＋b≥2ab，并且只有当a＝b时，等号成立． 直接应用或变形应用
1⑴已经y1＝（xx＞0），y2＝（x＞0），则当x＝____________时，y1 ＋y2取得最小值___________.
xa⑵已知函数y＝x＋(a＞0，x＞0)，当x＝______________时，该函数有最小值_____________．
xy⑶已知函数y1＝x＋1与函数y2＝(x＋1)2＋4，当x＞－1时，求2的最小值，并指出相应的x
y1的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
模块八 二次函数最值
解法归一：“二次整数ax2＋bx＋c最值”完全可以借助二次函数y＝ax2＋bx＋c最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a,b,c为常数，且a≠0） 1、 ⑴x2－2x＋6的最小值是_______________________;
A D 2
⑵二次函数y＝－x＋6x的最大值是______________________．
2、如图6－6－1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是E
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B 图6-6-1
P
C
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BC上任意一点（P不与B、C重合），过点P作AP⊥PE交CD于点Ｅ．设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
3、如图6－6－2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点B（1，0），Cy l （5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M．
A ⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标; 4 ⑵在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，
B M 使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请1 O 说明理由.
4、如图6－6－3，把一张边长为4的正方形ABCD折叠，使B点A 落在AD上的E处，折痕为MN，设AE＝x，问x为何值时，折起的四边形MNFE面积最小，并求出这个最小面积的值．
M
模块九 几何探究最值类[8]
B 图6-6-3
C 5 x 图6-6-2
E D F N C 1、请阅读下列材料：问题：如图6－7－1①，圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm，BC是
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底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．
小明设计了两条路线：
路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC）． 路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB＋BC的长）
B D A 图6-7-1①
C
沿AB剪开 摊平
B D C A 此长方形的长等于底面周长 图6-7-1②
设路线1的长度为l1，设路线2的长度为l2，则l12＝AC2＝AB2＋BDC l22＝(AB＋BC)2，将AB＝5，BC＝10，半圆弧BDC长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：
l12＝AC2＝ ； l22＝(AB＋BC)2＝ ； l12－l22＝ . ∴l12>l22 ∴l1>l2 ∴选择路线2较短.
（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm,高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l12＝AC2＝ ；
路线2：l22＝(AB＋BC)2＝ ；
∵l12 l22，∴l1 l2（填>或<），所以选择路线 （填1或2）较短. （2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
22、在河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm(a>1)现计划在河岸上建一抽水站P向两个村庄供水.
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：
图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d，且d1＝PB＋BA(km)(其中PB⊥l于P点)；
图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2,且d2＝PA＋PB(km)(其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P).
A 观察与计算（1）在方案一中， d1＝ km(用含a的式子表示)；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路图6-7-2① 计算，d2＝ km(用含a的式子表示).
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A B P l C A′ 图6-7-2②
P A B K l C A′ 图6-7-2③
P B l .
探索归纳：（1）①当a＝4时，比较大小：d1 d2（填“>”或“＝”或“<”）； ②当a＝6时比较大小：d1 d2（填“>”或“＝”或“<”）；
（2）请你就a（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
3、（1）如图6－7－3①，把矩形AA′ B′ B′ B卷成以AB为高的
圆柱形，则点A与 重合，点B与 A′ B’′
B′ B′ 重合.
图6-7-3① 图6-7-3③ 图6-7-3②
探究与发现
（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm；（丝线的粗细忽略不计）
（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A处沿侧面缠绕4圈直到顶部B处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？
B′ 创新与应用：（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sinα＝ .
A′ B′ A′ F′ E′ D′ C′
图6-7-3⑤
图6-7-3④
A’′
A′ A′ αα
4、如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
ADNM图6-7-4①
B′ 图6-7-4②
C′
A图6-7-4
（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
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