用待定系数法求解概率递推关系

（青海师范大学，青海

西宁810008）Pn=

5121

Pn－1+（1－Pn－1）=Pn－1+，n≥2，6636

1

2

n=2，3，…．[()]，1+

2

3

n－1

【摘要】用全概率公式求解概率问题常常得到概率递推

b≠0，1）．本文用待定系数法得出关系Pn+1=aPn+b（a≠1，

使用该公式能使该类问题的运了该概率递推关系的公式，

算得到简化．

【关键词】概率；概率递推关系；待定系数法

b≠0，1），若概率｛Pn｝满足：Pn+1=aPn+b（a≠1，设Pn+1+λ=a（Pn+λ），∴b=（a－则Pn+1=aPn+（a－1）λ，bbb

=aPn+1）λ即λ=，∴Pn+1+，所以

a－1a－1a－1

由上述公式可得Pn=例3

2个白球、甲口袋有1个黑球、乙口袋有3个白

每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋．求球，

黑球扔在甲口袋中的概率．交换几次后，

，解设事件Ai=“第i次交换后黑球仍在甲口袋中”

i=0，1，2，…．记Pi=P（Ai），

21

P（Ai+1|Ai）=，P（Ai+1|Ai）=，则有P0=1，

33由全概率公式

P（An）=P（An－1）·P（An|An－1）+P（Ai+1）·P（An|An－1）=Pn－1×

12

+（1－Pn－1）·，33

11

Pn－1+，n≥1，33

n=1，2，…．[1+()]，

1

3

n

(){Pn+1+

bb

，为等比数列，首项为P1+公比为a．

a－1a－1

bb

·an－1，=P1+即｛Pn｝的通项公式a－1a－1

n－1

}∴Pn+为Pn

(b

=(P+·a

a－1)1

)－

b．a－1

下面举例说明该公式的应用．例1m个人相互传球，球从甲开始传击，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m－1个人中的任何一个，求第n次传球时仍由甲传击的概率．

，设事件Ai=“第i次传球时由甲传击”

i=1，2，…．记Pi=P（Ai），解

1P（Ai+1|Ai）=0，P（Ai+1|Ai）=．则有P1=1，

m－1由全概率公式

P（An）=P（An－1）·P（An|An－1）+P（Ai+1）·P（An|An－1）=Pn－1×0+（1－Pn－1）·

1，m－1

得递推关系Pn=

1

由上述公式可得Pn=

2例4

假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨，若已

明天天气保持不变的概率为P，变得概知今天的天气情况，

率为1－P．设第一天无雨，试求第几天也无雨的概率．

，设事件Ai=“第i天也无雨”i=1，2，…．记Pi=P（Ai），解

P（Ai+1|Ai）=P，P（Ai+1|Ai）=1－P，则有P1=1，

由全概率公式

P（An）=P（An－1）·P（An|An－1）+P（Ai+1）·P（An|An－1）=Pn－1·P+（1－Pn－1）·（1－P），

n≥2，得递推关系Pn=（2P－1）Pn－1+1－P，由上述公式可得

1Pn=［1+（2P－1）

2

n－1

得递推关系

11Pn－1+Pn=，n≥2，

m－11－m由上述公式可得11

Pn=1－

1－mm

］，n=2，3，…．

[(n=2，3，…．)]，

n－2

甲、乙掷击，两人轮流掷一颗骰子，甲先掷，每当则交给对方掷，否则此人继续掷．试求第n某人掷击1点时，次由甲掷的概率．

，设事件Ai=“第i次传球时由甲掷骰子”i=1，2，…．记Pi=P（Ai），解

P（Ai+1|Ai）=则有P1=1，

51

，P（Ai+1|Ai）=，66

例2

通过上述例题我们可以看出待定系数法为解决概率递

推问题提供了极大便利．

【参考文献】［1］．魅力中陈兆权．与递推数列有关的概率问题［J］2009（26）：204．国，

［2］．数学通讯，章庭远．概率与递推数列的交汇题［J］2010（Z1）：46－47．

［3］．数理化学习常军．用递推思想探求概率问题［J］（高中版），2007（24）：6－8．［4］．当代经理人，2006吴美捷．浅谈待定系数法［J］（5）：186－187．

所以由全概率公式

P（An）=P（An－1）·P（An|An－1）+P（An－1）·P（An|An－1），

得递推关系

数学学习与研究2019.15