2021年湖南省长沙市中考数学试卷

2021年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四个实数中，最大的数是( ) A．3

B．1

C．

D．4

2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为( ) A．1.004106

B．1.004107

C．0.1004108

D．10.04106

3．（3分）下列几何图形中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

4．（3分）下列计算正确的是( ) A．a3a2a5

B．2a3a6a

C．a8a2a4

D．(a2)3a5

5．（3分）如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，AGE100，则DHF的度数为( )

A．100

B．80

C．50 D．40

6．（3分）如图，点A，B，C在O上，BAC54，则BOC的度数为( )

A．27

B．108

C．116

D．128

7．（3分）下列函数图象中，表示直线y2x1的是( )

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A． B．

C． D．

8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是( ) A．24，25

B．23，23

C．23，24

D．24，24

9．（3分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是( ) 1A．

9B．

1 6C．

1 41D．

310．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是( )

A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：x22021x ．

12．（3分）如图，在O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则AOC的度数为 ．

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13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，点E是边AB的中点，若OE6，BD相交于点O，则BC的长为 ．

14．（3分）若关于x的方程x2kx120的一个根为3，则k的值为 ．

15．（3分）如图，在ABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E，若BC4，DE1.6，则BD的长为 ．

16．（3分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 ．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、

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证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：|2|2sin45(13)028．

118．（6分）先化简，再求值：(x3)2(x3)(x3)2x(2x)，其中x．

219．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第3536页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知：ABC． 求作：△ABC，使得△ABCABC． 作法：如图． （1）画BCBC； （2）分别以点B，C为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A； （3）连接线段AB，AC，则△ABC即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）: 证明：由作图可知，在△ABC和ABC中， BCBCAB() AC()△ABC ．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号） ①AAS ②ASA ③SAS ④SSS

20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每

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个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

21．（8分）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAB是等边三角形，AB4． （1）求证：ABCD是矩形； （2）求AD的长．

22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

23．（9分）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，延长BC至E，使得CECA，BDCD，连接AE．

（1）求证：BACB；

（2）若AB5，AD4，求ABE的周长和面积．

24．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

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4(x0)x（1）若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数” y的图象上的2txx0,t0,t是常数一对“T点”，则r ，s ，t （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于x的函数ykxp(k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“T函数” yax2bxc(a0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l:ymxn(m0，n0，且m，n是常数）交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，当x1，x2满足(1x1)1x21时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

25．（10分）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ． （1）求sinAOQ的值； （2）求

AM的值； MN（3）令MEx，QDy，直径AB2R(R0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

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2021年湖南省长沙市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四个实数中，最大的数是( ) A．3

B．1

C．

D．4

【解答】解：314，

最大的数是4，

故选：D．

2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为( ) A．1.004106

B．1.004107

C．0.1004108

D．10.04106

【解答】解：100400001.004107． 故选：B．

3．（3分）下列几何图形中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C．是中心对称图形，故本选项符合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：C．

4．（3分）下列计算正确的是( ) A．a3a2a5

B．2a3a6a

C．a8a2a4

D．(a2)3a5

【解答】解：A．a3a2a5,故此选项符合题意；

B．2a3a5a,故此选项不合题意；

C．a8a2a6,故此选项不合题意；

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D．(a2)3a6,故此选项不合题意；

故选：A．

5．（3分）如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，AGE100，则DHF的度数为( )

A．100 B．80

C．50 D．40

【解答】解：

AB//CD，

CHGAGE100， DHFCHG100．

故选：A．

6．（3分）如图，点A，B，C在O上，BAC54，则BOC的度数为(

A．27

B．108

C．116

D．128【解答】解：A54， BOC2A108，

故选：B．

7．（3分）下列函数图象中，表示直线y2x1的是( )

A． B．

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)

C． D．

【解答】解：k20，b10时，

直线经过一、二、三象限．

故选：B．

8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是( ) A．24，25

B．23，23

C．23，24

D．24，24

【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，

这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，

故选：C．

9．（3分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是( ) 1A．

9B．

1 6C．

1 41D．

3【解答】解：列表如下：

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，

两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为

41， 369故选：A．

10．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡

第9页（共20页）

片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是( )

A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9

【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，

每人手里的数字不重复．

由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6； 由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；

由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9； 由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4； 由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；

丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9． 各选项中，只有A是正确的，

故选：A．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：x22021x x(x2021) ． 【解答】解：x22021xx(x2021)． 故答案为：x(x2021)．

12．（3分）如图，在O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则AOC的度数为 45 ．

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【解答】解：OCAB, ACBCOC2,

11AB42, 22AOC为等腰直角三角形， AOC45，

故答案为：45．

13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，点E是边AB的中点，若OE6，BD相交于点O，则BC的长为 12 ．

【解答】解：四边形ABCD是菱形， ABBCCDAD，且BDAC，

又点E是边AB的中点， OEAEEB1AB， 2BCAB2OE6212，

故答案为：12．

14．（3分）若关于x的方程x2kx120的一个根为3，则k的值为 1 ． 【解答】解：把x3代入方程x2kx120得：93k120， 解得：k1， 故答案为：1．

15．（3分）如图，在ABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，DEAB，垂足为E，若BC4，DE1.6，则BD的长为 2.4 ．

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【解答】解：CDDE， DE1.6， CD1.6，

BDBCCD41.62.4．

AD平分BAC，DEAB，C90，

故答案为：2.4

16．（3分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 50 ．

【解答】解：3025%120（份)，

一共抽取了120份作品，

此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：12030281250（份)，

故答案为：50．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：|2|2sin45(13)028． 【解答】解：原式222116 2第12页（共20页）

2214

5．

118．（6分）先化简，再求值：(x3)2(x3)(x3)2x(2x)，其中x．

2【解答】解：原式x26x9x294x2x2 2x,

1当x时，

21原式2()

21．

19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第3536页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知：ABC． 求作：△ABC，使得△ABCABC． 作法：如图． （1）画BCBC； （2）分别以点B，C为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A； （3）连接线段AB，AC，则△ABC即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）: 证明：由作图可知，在△ABC和ABC中， BCBCAB() AC()△ABC ABC(SSS) ．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ．（填序号）

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①AAS ②ASA ③SAS ④SSS

【解答】解：（1）由作图可知，在△ABC和ABC中， BCBCABAB, ACAC△ABCABC(SSS)．

故答案为：ABC(SSS)．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS, 故答案为：④．

20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

【解答】解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为（2）设袋子中白球的数量为x， 则

120.25， 12x150000.25； 60000解得x36，

经检验x36是分式方程的解且符合实际， 所以估计纸箱中白球的数量接近36．

21．（8分）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAB是等边三角形，AB4． （1）求证：ABCD是矩形； （2）求AD的长．

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【解答】（1）证明：AOB为等边三角形， BAOAOB60，OAOB，

四边形ABCD是平行四边形 OBOD11BD，OAOCAC， 22BDAC， ABCD是矩形；

（2）解：ABCD是矩形，

BAD90， ABO60，

ADB906030， AD3AB43．

22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(251x)道题， 依题意得：4x(251x)86， 解得：x22．

答：该参赛同学一共答对了22道题．

（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25y)道题， 依题意得：4y(25y)90， 解得：y23．

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答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．

23．（9分）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，延长BC至E，使得CECA，BDCD，连接AE．

（1）求证：BACB；

（2）若AB5，AD4，求ABE的周长和面积．

【解答】解：（1）证明：在ADB和ADC中： ADADADBADC， BDCDADBADC(SAS)， BACB；

（2）在RtADB中，BDAB2AD252423, BDCD3,ACABCE5， BE2BDCE23511，

在RtADE中，AEAD2DE2428245， CABEABBEAE511451645，

11SABEBEAD11422．

2224．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

4(x0)x（1）若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数” y的图象上的2txx0,t0,t是常数一对“T点”，则r 4 ，s ，t （将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于x的函数ykxp(k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T第16页（共20页）

点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“T函数” yax2bxc(a0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l:ymxn(m0，n0，且m，n是常数）交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，当x1，x2满足(1x1)1x21时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【解答】解：（1）s1，r4，

A，B关于y轴对称，

A的坐标为(1,4)，

把A(1,4)代入是关于x的“T函数”中，得：t4， 故答案为r4，s1，t4； （2）当k0时，有yp， 此时存在关于y轴对称得点， ， ykxp是“T函数”

当k0时，不存在关于y轴对称的点， ； ykxp不是“T函数”（3）

yax2bxc过原点，

c0，

yax2bxc是“T函数”， b0，

yax2，

联立直线l和抛物线得： yax2， ymxn即：ax2mxn0， x1x2mn，x1x2， aa又

(1x1)1x21，

化简得：x1x2，

第17页（共20页）



mn，即mn， aaymxnmxm，

当x1时，y0，

直线l必过定点(1,0)．

25．（10分）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ． （1）求sinAOQ的值； （2）求

AM的值； MN（3）令MEx，QDy，直径AB2R(R0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）如图，连接OP． 四边形MNPQ是正方形，

OMNONP90，MQPN，

OQOP，

OMQONP(HL)， OMON，

设OMONm，则MQ2m，OQOM2MQ25m，

sinAOQ

MQ2m25． OQ55m（2）由（1）可知OMONm，OQOA5m，MN2m，

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AMOAOM5mm，



AM5mm51MN2m2． （3）

AB2R，

OAOBOQr， QM2MO， OM5R5，MQ25R5，

AB是直径，

ACBDCE90， CEDAEM，

AD，

AMEDMB90，

AME∽DMB，



AMDMEMBM， R5R5xy25R，

5R5R5y4R225R5x5， 当点C与P重合时，AMEMANPN，R5R

5R5Rx25R， 55x3555R， 

3555Rx255R．

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