太原市2019 届高三上学期期末考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝｛xN｜0≤x≤3｝，B＝｛xR｜－2＜x＜2｝则 A∩B
A、{0,1} B、{1} C、[0,1] D、[0,2)
2.设复数 z 满足(1i)z1i，则 z
A、1 B、i C、1 D、 i 3.已知sinα－ A、
0，则
4444 B、－ C、 D、－ 335514.函数f(x)|x|的大致图像为
x
5.设（1） 若 m （3） 若
；
则真命题个数为
为两个不同平面，m , n为两条不同的直线，给出以下命题：（ ） , n
， 则 m n；（2） 若，n， 则 m n；（4） 若 mm n, m ， 则 m , n ； ， 则
m A、1 B、2 C、3 D、4
6.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF 2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）
A、
2132744 B、 C、 D、 13713727.将函数f(x)3sinxcosxcosx的图象向左平移
个单位得到函数 g ( x) 的图6象，则
函数 g ( x ) 的一个对称中心是（） A、（
11511，） B、（－，－） C、（，） D、（，－）
21221224248． 设向量 a ，b，c都是单位向量， 且2a＝b－3c， 则a ，b的夹角为（）
2 B、 C、 D、
3643xy59.已知实数 x, y满足0x3，若不等式 ax y 0恒成立，则实数 a 的取值范围
0y4 A、为
A、（－∞，
242） B、（4，＋∞） C、（，4） D、（，4） 33310.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
A、8 B、4 C、 D、
8316 32x， x111.已知数列{ an } 为等差数列，an1(nN*),a1a2019=1， 若f(x)则f(a1)f(a2)f(a2019)＝（ ）
A、 22019 B、22020 C、2 2017 D、22018
12.已知定义在 R 上的可导函数 f (x) ，对于任意实数 x 都有f(x)f(x)2x成立，且当
x (－∞,0]时，都有f'(x)2x1成立，若f(2m)f(m1)3m(m1)， 则实数 m 的取值范围为（） A、（－1，
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。） 13.一串数字代码是 7 个1和 3 个 0 组成，则这样的不同数字代码的个数为： （用数字作答） 14.命题“
”是真命题，则实数 a 的取值范围为：
11） B、（－1,0） C、（－∞，－1） D、（－，+∞） 3315.在三棱锥 P ABC中，顶点P在底面ABC 的投影 H 是 ABC 的垂心， PB PC BC 2 ， 侧面PBC 与底面ABC所成二面角的大小为 16.已知函数等式 f (x
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 已知等比数列{ an } 的公比 q 1, 的等差中项，数列{ a n b n } 的前 n 项和为 Sn n n （1） 求数列{ an }的通项公式； （2） 求数列{ bn } 的前n项和Tn
18.（本小题满分 12 分） 已知 a , b, c,分别是 ABC 的内角 A, B , C , 所对的边，
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ABC 的面积为3，求 ABC 周长的最小值。
2
， 则三棱锥 PABC的体积为：
， 不
，其中 a , b R，若对于任意
恒成立，则实数 a 的取值范围
19.（本小题 12 分）为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车” ，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由以下两部分组成： ①根据行驶里数按1元/公里计费;②当租车时间不超过 40 分钟时，按0.12 元/分钟计费;当租车时间超过 40 分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费;③租车时间不足1分钟，按1分钟计算。 已知张先生从家里到公司的距离为15 公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t 20,60（单位： 分钟） .由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t 是一个随机变量， 现统计了他50 次路上租车时间，整理后得到下表: 租车时间 t（分[20， 30] 钟） 频数 2 18 20 10 （30， 40] （40， 50] （50， 60] 将上述租车时间的频率视为概率.
(1)写出张先生一次租车费用 y (元)与租车时间t (分钟)的函数关系式;
(2)公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月(按 22天计算)给800元车补.从经济收入的角度，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车?
(3)若张先生一次租车时间不超过 40 分钟为“路段畅通” ，设ξ 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通” 的次数， 求ξ 的分布列和期望;
20.（本小题 12 分）
如图（1），在 ABC 中， AB 3， DE 2， AD 2 ， BAC 将
， DE/ / AB，
CDE 沿 DE 折到如图（2） 中C 1DE 的位置，点 P 在C1 E1 上.
（1）求证：平面 PAB 平面 ADC1; （2）若
ADC1 ，且 AP 与平面 ABED 所成角的正弦值为
42， 求二面角 P AD 7 B 的余弦值.
21.已知函数
（I）讨论函数 f ( x) 的单调性；
（II）若函数 f (x) 有两个极值点 x1, x 2，求证：
0
22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直曲线C1 的参数方程为（ t 为参数a
0），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为
0，曲线C1 ， C 2有且只有一个公共点.
（1）求 a的值
（2）设点 M 的直角坐标为
a，若曲线C1与C3 （为参数） 的交点为 A ,
B两个不同的点，求｜MA｜·｜MB｜的值
23.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数（1） 当 m
1时，解不等式 f (x
；
[0,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围
（2） 若不等式f(x)3x对任意的 x
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