海南省文昌中学2015届高三上学期期考(期末)数学(理)试题

海南省文昌中学2015届高三上学期期考（期末）

数学(理)试题

（满分150分，完成时间：120分钟）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答

案的代号，涂在答题卡上）

1．设全集UR,Ax|2x(x2)1,Bx|yln(1x)，则阴影部分表示的集合为



A．x|x1

B．x|1x2

D．x|x1

C．x|0x12．已知a6,b3,ab12，则向量a在b方向上的投影为 A．4

B．4

C．2

D．2

3．现有5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 A．480 B．240 C．120 D．96

4．设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若bc2a，3sinA5sinB，则角CA.2

3

B. 3

C.3

4

D.5

6

1

5．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a6、a9、a15依次为等比数列{bn}的连续三项，若数列{bn}的首项b1＝，2则数列{bn}的前5项和S5等于 31

A．

2

31

B．

32

C．31

D．32

频率 ——— 组距 6．某路段的雷达测速区检测点，对过往汽车的车速进行检果进行抽样分析，并绘制如图所示的时速（单位km/h）直方图，若在某一时间内有200辆汽车通过该检测点，直方图的数据估计在这200辆汽车中时速超过65km/hA.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 7．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y

0.04 0.03 0.02 0.01 测所得结频率分布请你根据的约有

＝sin x(0

40 50 60 70 80 时速

≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是 A.3 C. 4B.2 D.1 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形， 则该几何体的外接球的表面积为 A.64

3C.16

3B.48

3D.8

33xy60,9．已知P是平面区域 ，则OPa的最小值为 xy20,内的动点，向量a=（1,3）

x0A．-1

B．-12

C．-6

D．-18

10．若直线l:yx1m与曲线 C:y|4x2|有且仅有三个交点，则m的取值范围是 22

B．(1,2) D．(2,21) A．(21,21) C．(1,21)

11．抛物线的焦点为F，点A,B在抛物线上，且∠AFB=，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为

A．

B．

C． D．

12. 已知定义在R上的可导函数fx满足：f'xfx0，则

fmm2em2m1与f1的大小关系是

A.

fmm2em2m1f1 f1

B.

fmm2em2m1f1

C.

fmm2em2m1 D.不确定

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．若(x1)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为.

x14．函数y2cosxsin(x)的最小值是.

3x2y2

15．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相

ab

交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于.

16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。

17．已知Sn为数列{an}的前n项和，且2an＝Sn＋n.

（1）若bn＝an＋1，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{Sn}的前n项和Tn.

18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机

抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，

其中某班级的正确率为p2，背诵错误的的概率为q1，现记“该班级完成n首背诵后总得分为Sn”.

33（1） 求S620且Si0i1,2,3的概率； （2）记S5，求的分布列及数学期望.

19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （1）求证：AA1⊥平面ABC； （2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求BD的值.

BC1

2220．已知椭圆C：xy1ab0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线

22abxy10与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设P为椭圆上一点，若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足

OSOTtOP（O为坐标原点），求实数t的取值范围.

21．已知函数f(x)=alnx-ax-3（a＜0）．

（1）求函数（2）若函数

f(x)的单调区间；

45°，对于任意的t∈[0，1]，函数

y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为

g(x)=x3+x2 [f′(x)+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′(x)为f(x)的导函数，求实数m的取值范围．

四、选考题（从下列三道解答题中任选一题做答，做答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分）。(本

题满分10分)

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED. （1）证明：CD∥AB；

（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，

证明：A，B，G，F四点共圆．

23．选修4－4：坐标系与参数方程

1x1t,xcos,2C:已知直线l：为参数), 曲线 （为参数）. (t1 3ysin,yt.2（1）设l与C1相交于A,B两点,求|AB|；

（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的1倍，纵坐标压缩为原来的3倍，得到曲线C2,设点P是曲线

22C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.

24．选修4—5：不等式选讲

设f(x)=x-a，a∈R

（1）当a=5，解不等式f(x)≤3； （2）当a=1时，若

xR，使得不等式

f(x－1)+f(2x)≤1－2m成立，求实数m的取值范围．

2014—2015学年度第一学期

高三年级数学(理科)期考试题参考答案 第Ⅰ卷 选择题（共60分）

二、

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

三、解答题（本大题共5小题，满分60分）

17. (1) 证明：n＝1时，2a1＝S1＋1，∴a1＝1.

由题意，得2an＝Sn＋n,2an＋1＝Sn＋1＋(n＋1)，

两式相减可得2an＋1－2an＝an＋1＋1， ………………………… 2分 即an＋1＝2an＋1.

于是an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn， ………………………… 4分 又b1＝a1＋1＝2.

所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列． ……………………6分 (2) 解：由(1)知：bn＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1， ………………………8分

∴Sn＝2an－n＝2n＋1－n－2， …………………………9分 ∴Tn＝S1＋S2＋„＋Sn＝(22＋23＋„＋2n＋1)－(1＋2＋„＋n)－2n

22－2n＋2nn＋15n1

＝－2－2n＝2n＋2－4－2－2n2. ……………… 12分

1－2

（2）∵S5的取值为10，30，50，又p21„„„„„„„6分 ,q,32

214032312∴P(10)C5, ()()C52()2()3333381213012114 P(30)C54()4()1C5()()333381111525„„„„„„„„„„„9分P(50)C5()C50()5.3381

∴的分布列为：

 p 10 30 50 403011 8181814030111850∴E10. „„„„„„„„„12分 305081818181

（2）由（1）知，AA1⊥AC, AA1⊥AB.

由题意知AB3,BC5,AC4，所以ABAC.

z如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz, 则. B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4) 设平面A1BC1的法向量为nx,y,z， 则令zyxnA1B0,nAC110.即3y4z0,

4x0,3，则x0,y4，所以n0,4,3. „„„„„„„„„„„„6分

同理可得，平面B1BC1的法向量为m3,4,0.

所以cos=m·nm·n=16 . 25由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为16. „„8分

25（3）设Dx,y,z是直线BC1上的一点，且BDBC1.

所以x,y3,z4,3,4，解得，x=4λ,y=3-3λ,z=4λ

所以AD4,33,4. „„„„„„„„„„„„„„10分 由ADA1B0，即9250，解得9. 25因为90,1，

25所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，此时BD9. „„12分

BC125

（2）由题意知直线L的斜率存在，设直线L方程为yk(x2)，设px0,y0

将直线方程代入椭圆方程得：12k∴64k412k42x28k2x8k220 „„„„6分

1 228k2216k280，∴k228k8k22设Sx1,y1,Tx2,y2，则x1x2 „„„„8分 ,x1x22212k12k当k=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0，OSOTtOP成立， 故，t=0符合题意。

当t0时

得

tyyyk(xx4)4k01212212k8k2tx0x1x212k2

18k214k∴x0 „„„„„„„„„„„„„„„„10分 ,y022t12kt12k32k416k2将上式代入椭圆方程得：221 2222t(12k)t(12k)16k2整理得：t 212k21知0t24 2（2，2）所以t „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

由k2

（2）∵f(2)a1，∴a2， „„„„„„„„„„„„5分 2∴fx＝－2lnx＋2x－3. ∴g(x)x(m2)x2x，

∴g(x)3x(2m4)x2. „„„„„„„„„„„„„„6分 ∵gx在区间t,2上总不是单调函数，且g(0)2，

232∴g(t)0 „„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

g(2)0由题意知：对于任意的t0,1，g(t)0恒成立，

g(0)0∴g(1)0 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 g(2)0∴95m. 22故实数m的取值范围为（－错误！未找到引用源。） „„„„„„„„„„„„12分

四、选考题（10分）

22. 证明:（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，

所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA， 所以CD∥AB. „„„„„„5分

（2）由（1）知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. „„„„„„„„„„7分 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA， 所以∠AFG＋∠GBA＝180°，

故A，B，G，F四点共圆． „„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

x（2）C2的参数方程为y21cos,2(为参数). 3sin.22故点P的坐标是(1cos,3sin), 从而点P到直线l的距离是 |d=33cosθ－sinθ－3|3π22[2sin(θ－)+2] ＝

244由此当sin()1时,d取得最小值,且最小值为6(21). „10分 44