数字信号处理试卷

武汉理工大学考试试卷（A卷） 2010 ~2011 学年 2 学期 《数字信号处理》 课程 闭卷 时间120分钟， 64 学时， 2 学分，总分100分，占总评成绩 70 % 2010年6月2 日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 合计 满分 10 5 12 6 5 12 12 10 8 8 12 100 得分 得分 一、判断并说明理由（10分） 1、判断序列x(n)Acos(37n8)是否为周期序列，如果是，求其周期。（4分） 2、判断系统y(n)x(3n1)是否为线性、时不变，因果、稳定系统，说明理由。其中，x(n)与y(n)分别为系统的输入与输出。（6分） 得分 二、有一理想抽样系统，抽样频率为s8，抽样后经理想低通滤波器Ha(j)还原，其中： H)1/4,4a(j 0,4有两个输入信号xa1(t)cos2t,xa2(t)cos5t，问输出信号ya1(t),ya2(t)是否有失真？（5分） 1

得分 三、假设某离散时间系统由下面的差分方程描述 y(n)0.6y(n1)0.16y(n2)x(n)x(n1) 试求 1、求系统函数H(z)，并讨论H(z)的收敛域及系统的因果和稳定性。（6分） 2、求稳定系统对应频率响应和单位脉冲相应h(n)。（6分） n得分 1n 四、求序列3u(n)u(n1)的z变换，并画出零极点及收敛域图。9（6分） 2

得分 1五、求下列信号x(n)的N（偶数）点DFT，其中0nN （5分） 2n 六、一个5点的序列x(n)={1,0,2,1,3} 得分 1、试画出x(n)*x(n)（3分） 2、试画出x(n)⑤x(n)（3分） 3、试画出x(n)⑩x(n)（3分） 4、试说明如何用线性卷积结果计算N点圆周卷积，若x(n)同x(n)的某个N点圆周卷积同线性卷积相同，试问N的最小值是多少？（3分） 3

得分 七、已知以一秒为周期均匀采样得到x(n)={1,0,2,1}。 1、求频域X(k)，并做出蝶形图。（6分） 2、试进行谱分析，即求出振幅谱、相位谱和功率谱。（6分） 得分 得分 4 12z12z2z3八、设IIR数字滤波器系统函数为： H（z)12z1z3试画出系统的级联和并联的信号流图。 （10分） …………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线………… …… ……试卷 装名 订 线姓 ……………… 装订线内 不号要 答学题，不要填 写考生信 息级…班…业…专………试卷 装订线 … …院…学… 得分 九、设x(n)=n+3，0≤n≤9，h(n)={1,2,3,4},按N=4用重叠相加法计算线性卷积y(n)=x(n)﹡h(n)（8分） 得分 得分 十、模拟低通滤波器的系统函数为H1a(s)s23s2，抽样周期T=0.5。试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别设计数字滤波器，求系统函数得分 。（8分） 1、由脉冲响应不变法，将Ha(s)展开成部分分式 z=z(E-st) H1a(s)s23s21(s2)(s1)A1s2A2s1 其中：A11s1|1 A1s22s2|s11 因此 H11a(s)s2s1 Ha(s)有2个实极点，映射到z平面极点为z1e2T，z2eT，则数字滤波器的系统函数H(z)为H(z)TT1e2Tz11eTz1，将T=0.5代入到表达式中，得到下面的表达式： H(z)0.50.50.5e0.5z10.5e1z11e1z11e0.5z11(e1e0.5)z1(e1e0.5)z20.3033z10.184z1（4分） 10.9744z-10.2231z-22、由双线性变换法 sc1z121z1及cT4可得： H(z)H1a(s)|s41z1121 1z11z141z134z1z12(1z1)26z228z1305 得分 十一、根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。采样频率为s3103rad/sec，通带截止频率p2103rad/sec，阻带截3止频率st610rad/sec，阻带衰减不小于50dB。（12分） 窗谱性能指标 窗函数 旁瓣峰值(dB) 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 汉明窗 布莱克曼窗 凯泽窗(-13 -25 -31 -41 -57 -57 主瓣宽度加窗后滤波器性能指标 过渡带宽阻带最小衰减(dB) -21 -25 -44 -53 -74 -80 (2N) 2 4 4 4 6 5 /(2N) 0.9 2.1 3.1 3.3 5.5 5 7.865) （ 汉宁窗w(n)sin21n2nR(n)1cosNRN(n) 2N1N12nRN(n)） N1汉明窗w(n)0.540.46cos 6 …………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线………… 7

…… ……装订线 ……………… 装订线内不要答题，不要填写信息………………装订线 …………

武汉理工大学考试试题答案（A卷）

2010 ~2011 学年 2 学期 《数字信号处理》 课程

一、1. 由于2/02/37143是有理数，所以x(n)是周期的，周期为14。（4

分）

2. 令输入为x(n)ax1(n)bx2(n)，系统的输出为

y[n]T[x(n)]T[ax1(n)bx2(n)]ax1(3n1)bx2(3n1)ay1(n)by2(n)

故系统是线性系统。

假设输入为x1(n)x(nm)，则

y1[n]T[x1(n)]x1(3n1)x(3n1m)

又因为

y(nm)x(3(nm)1)x(3n13m)

很明显y1(n)T[x1(n)]T[x(nm)]y(nm)，所以系统不是时不变系统.

由系统的输入与输出关系可以看出，当n0时，y(n)与将来时刻的输入x(3n1)有关，由因果系统的定义可知，该系统为非因果系统。

假设输入有界，即

x(n)Bx

此时输出满足

y(n)x(3n1)Bx

因此系统为稳定系统。 （6分） 二、根据奈奎斯特定理可知，因为xa1(t)的频谱中最高频率为

a12824，所以输出信号ya1(t)无失真。

对于x8a2(t)，其频谱中最高频率为  a  5   2  4 ，则输出信号ya2(t)失真。 2（5分）

三、(1) 对差分方程两端分别进行z变换可得

Y(z)0.6z1Y(z)0.16z2Y(z)X(z)z1X(z)

系统函数

8

Y(z)1z1H(z)X(z)10.6z10.16z2 （4分）

z(z1)(z0.2)(z0.8)H(z)有两个极点z10.2，z20.8，因此收敛域有三种情况：

z0.2，0.2z0.8，0.8z

极点都在单位圆内，此时，收敛域0.8z对应的系统为因果稳定系统。 （2分）

（2）当系统稳定时，频率响应存在，且

H(ej)H(z)1ejzej10.6ej0.16ej 将

H(z)z展成部分分式，可得 H(z)(z1)1.20.2z(z0.2)(z0.8)z0.2z0.8因此

H(z)1.20.210.2z110.8z1 结合收敛域0.8z，求逆变换，有

h(n)1.2(0.2)n0.2(0.8)nu(n) 四、由z变换的定义，令x3n1(n)u(n)，则

X1(z)(n)zn(3)nu(n)znnx1n0nnnzn

n(3)z(3)n013z1113z13z1其收敛域为z3。令xn2(n)(1/5)u(n1)，则

Xn2(z)nu(n1)znnx2(n)zn(1/5)(1/5)nznn1zn1

n1(1/5)n015z115115z1z159

（2分） 4分）

（

其收敛域为

1z。x[n]x1[n]x2[n]，那么 53z1z1/51X(z)， z3 11(13z)1(1/5)z5其收敛域包含

11z3，由于没有零极点抵消，所以收敛域就是z3。 55整理X(z)得

X(z)1415z （4分）

(113z)(z15)可见X(z)有一个零点z00，有2个极点z13，另一个极点是z215，则零极点图（收敛域为阴影部分）如图2-4所示。

z215，由于X(z)为有理函数，可以根据极点直接确定收敛域：X(z)有两个极点z13，

序列是双边序列，其收敛域为极点界定的圆环，由极点很容易确定收敛域为

因为收敛域包括单位圆，所以傅里叶变换存在。

jIm[z]

Re[z]15 3 （2分）

图 X(z)的零极点图及收敛域

1z3。 5

10

五、根据离散傅里叶变换的定义，

X(k)DFTx(n)x(n)WNnkn0N11nkN11kWNWNn02n02NNN1nn （5分）

N1111WNk1WNkN1222,21k1kjk11WN1WN1eN222六1、

0kN（3分）

2、

（3分）

3、 （3分）

11

4、圆周卷积等于线性卷积以N为周期进行周期延拓，然后取主值序列的结果。如果圆周卷积等同于线性卷积，N≥5+5-1=9 （3分）

七、1、采用DFT-FFT算法，得X（k）={4,-1+j,2,-1-j}，其蝶形图为

（6分）

2、振幅谱： A(k)X(k){4,2,2,2} 相位谱： (k){0,3/4,0,5/4} 功率谱： s(k)A(k)2{16,2,4,2}八、1、级联型： 12z12z2z3(1z1)(1z1z2)H（z) 12z1z3(1z1)(1z1z2) （5分）

2、并联型：

12z12z2z3664z1H（z)112z1z31z11z1z2 （5分）

12

九、因为N=4，所以把x(n)分为三段： x1(n)={3,4,5,6} x2(n)= {7,8,9,10}

x3(n)= {11,12,0,0} （3分） 计算x(n)中每一段同h(n)的线性卷积:

y1(n)=x1(n)*h(n)={3,10,22,40,43,38,24} y2(n)=x2(n)*h(n)={7,22,46,80,79,66,40}

y1(n)=x1(n)*h(n)={11,34,57,80,48,0,0} （3分）

把临段的最后3项与开始的3项相加得到相应的各项，最后的y(n)为: y(n)={3,10,22,40,50,60,70,80,90,100,97,80,48} （2分） 十、1、由脉冲响应不变法，将Ha(s)展开成部分分式

Ha(s)其中：A1A1A211 2s3s2(s2)(s1)s2s111|s21 A2|s11 s1s211因此 Ha(s) s2s1Ha(s)有2个实极点，映射到z平面极点为z1e2T，z2eT，则数字滤波器的系统函数H(z)为

H(z)TT，将T=0.5代入到表达式中，得到下面的表达式： 2T1T11ez1ez0.50.50.5e0.5z10.5e1z1H(z)110.511ez1ez1(e1e0.5)z1(e1e0.5)z20.3033z0.184z10.9744z-10.2231z-211（4分）

1z12c4可得： 2、由双线性变换法 sc及

1z1TH(z)Ha(s)|s41z11z111z1z431z141z12121

(1z1)226z28z130 （4分）

十一、(1) 求各对应的数字频率

13

通带截止频率为ppfs2p4 s3阻带起始频率为stst2st4 fss阻带衰减相当于250dB （2分）

j(2) 设Hd(e)为理想线性相位滤波器

je,cj Hd(e)0,其他首先由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率c(由于c为两个肩峰值处的频率的中点，而由p到st之间的过渡带宽并非两个肩峰值间的频率差，因而以下求出的c有一定的近似。)

c其对应的数字频率为c由此可得

1(pst)4103(rad/s) 2c82c fss3c1hd(n)21jjneed2ecj(n)d

1sin[c(n)],n(n) c,n其中，为线性相位所必须的移位，我们已经知道应满足(3) 由阻带衰减2来确定窗形状，由过渡带宽确定N。

由于250dB，查表可选汉明窗，其阻带最小衰减53dB满足要求。 所要求的过渡带宽（数字频域）2N1。 （4分） 2stps8 314

由于汉明窗过渡带宽满足6.6，所以 NN6.6N12.475 N=3 1 （3分） 2(4) 由汉明窗表达式w(n)确定FIR滤波器的h(n)。 汉明窗 w(n)0.540.46cos2nRN(n)

N1N1sincn2 hd(n) N1n28sin[(n1)]n30.540.46cosRN(n) 所以 h(n)hd(n)w(n)(n1)16(5) 由h(n)求H(e)检验各项指标是否满足要求，如不满足要求改变N，或改变窗形状（或两者都改变）来重新计算。 （3分）

j15