垂直于弦的直径教案样稿

教学步骤

创设情境回顾旧识

引入新课

揭示课题

师生互动探求新知

概念辨析利用新知

拓展升华快速判定

归纳小结分层作业

教课时间

3 分钟

5 分钟

9 分钟

20 分钟

4 分钟

4 分钟

教学步骤

老师活动

学生活动

设计目标

情
景
创
设

情景创设（1 分钟）

情景问题：赵州桥主桥拱跨度(弧所正确弦长)为37.4m, 拱高(弧中点到弦距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱半径吗？（ppt）

把部分实际问题转化为数学问题

思索：若用直角三角形处理，那么E 是否为AB中点？

从实际出发，充足发觉问题存在，再带着

问题去思

索它们之

间关系，有利于定理

得出。

回

回顾旧识（2 分钟）

学生观察部分图形：

经过复习，

我们已经学习过对称相关概念，下面复习两道

假如一个图形沿一条

问题

1）什么是轴对称图形？

直线对折，直线两旁部分能

强化学生

够相互重合，那么这个图形

本节课所

顾

2）我们学习过轴对称图形有哪些？

叫轴对称图形。

需要相关

知识，为学

旧

如线段、角、等腰三角

生自主探

识

（电脑上直观动画演示，利用几何画板演示沿上

形、矩形、菱形、等腰梯形、

索垂径定

述图形对称轴对折图形动画）

理做奠基。

正方形。

引

（2）假如是，它对称轴是什么？

试验：把圆形纸片沿着

培养学生

入

拿出一张圆形纸片，沿着圆任意一条直径对

动手能力，

观察能力，

新

折，反复做几次，你发觉了什么？由此你能得

经过比较，

课

到什么结论？：

利用旧知

圆任意一条直

识探索新

（1）圆是轴对称图形。

径对折，反复做

问题

（2）对称轴是过圆点直线（或任何一条直

几次

径所在直线）

观察：两部分重合，发

（3）圆对称轴有没有穷多条

认为出圆对称性

揭
示
课
题

揭示课题（1 分钟）

电脑上用几何画板上作图：
（1）做一圆
(2) 在圆上任意作一条弦 AB；
(3) 过圆心作AB 垂线直径CD 且交AB 于E。

C

O

A

E

B

D

（板书课题：垂直于弦直径）

在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB 垂线直径CD 且交AB 于E

师
生
互
动

师生互动（4 分钟）
利用几何画板展示直径和弦垂直相交时圆翻折动画让学生观察，讨论
（1）图中圆可能会有哪些等量关系？

（2）弦AB 和直径CD 除垂直外还有什么性

质？

试验：将圆沿直径CD 对折观察：图形重合部分，思索 图中等量关系
猜想： AE=EB、
弧AC=弧CB、

弧AD=弧DB

(电脑显示))垂直于

弦直径平分弦，而且平

分弦所正确两条弧？

引导学生经过“试验--观察--猜想”，取得感性认识，
猜测出垂直于弦直径性质

探
求
新
知

探求新知（5 分钟）
提问：这个结论是同学们经过演示观察猜想出来，结论是否正确还要从理论上证实它，下面我们试着来证实它

已知：CD 是⊙O 直径，AB 是弦，AB⊥CD证实：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

探索：

证实：连结OA、OB，则OA＝OB，又OE⊥AB ∴△OAE≌△OBE 则AE=BE
∴CD 所在直线垂直平分弦AB

让学生自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果

（<板书及电脑显示>垂径定理：垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧。

<深入也可推知>垂径定理逆定理：平分弦直径垂直于弦，而且垂直于弦所正确两条弧）

当把⊙O 沿着直径CD 折叠时， A 点和B点重合
所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

概
念
辨
析

概念辨析（2 分钟）
（电脑显示）练习1 AE=EB 吗？

C ｄａ

注意：直径，垂直于弦，缺一不可！

图（1）直径不垂直弦
图（2）垂直弦不是直径

图（3）AB 为弦，CD为直径，AB⊥CD 满足垂径定理

利用定理变式练习揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件

利用新知（18 分钟）
练习1：（5 分钟）
一条排水管截面图所表示。已知排水管半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O 到水面距离。

在学生发表见解情况下总结归纳：（1）圆中相关弦、半径计算问题通常利用垂径定理

学生总结归纳解题思绪，在

练习本作，电脑显示

解：:作OC⊥AB 于C,
由垂径定理得:
AC=BC= AB= ×16=8 由勾股定理得:

答:截面圆心O 到水面距离为6.

这是一道计算题，是垂径定理简单应用，可调动学生主动性，让学生经过归纳探究，使知识点有机结合在一起，使其更深入地掌握定理内涵，培养她们思维严

运

来处理。（2）关键辅助线：过圆心做弦垂线

谨性和深

用

刻性，提升

结构直角三角形，结合垂径定理和解直角三角

分析和归

新

形相关知识解题。

纳能力。

知

总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最

练习2（5 分钟）

（练习本做、电脑显示）

练习上

（情景问题）赵州桥主桥拱跨度(弧所正确弦

解：图，设半径为R

一结束后，

返回情景

长)为37.4m, 拱高(弧中点到弦距离)为7.2m，

AD



1

AB

1

2



37 . 4



18 . 7 ,

问题，处理

你能求出赵州桥主桥拱半径吗？

这道之前

2

OD



OC



DC

R



7 . 2 .

不能完成

已知：图，在以O 为圆心两个同心圆中，

本做、电脑显示）

等变式题，

大圆弦AB 交小圆于C，D 两点。

证实：过O 作OE⊥

增强学生

求证：AC＝BD。

AB，垂足为E，则AE＝

识图能力，

揭示处理

A

C

O

D

B

BE，CE＝DE。

问题方法

——过

圆

AE－CE＝BE－

心向弦做

DE。

垂线，利用

注意：作辅助线

所以，AC＝BD

垂径定理来处理一系列类似问题。

练习4（5 分钟）
出示分层训练：
１．图1，已知AB、CD 是圆O 两条弦，OE、OF 分别为AB、CD 弦心距，假如AB=CD，则可得出什么结论（最少写出两个）？并证实。

２．已知图2：在⊙O 中，AB、AC 为相互垂直两条相等弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E 为垂足。求证：四边形ADOE 为正方形。

３．图3，不过圆心直线L 交⊙O 于CD，AB是⊙O 直径。AE、BF 分别垂直于L ，垂足是E、F。

⑴求证：CE=DF
⑵若AB 和CD 相交，⑴结论还成立吗？

A

图3

全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层题目

调整难度和梯度，让全部学生全部有所收获，让学生充足认识到垂径定理是证实线段相等依据。

拓展升华（3 分钟）
假如把垂径定理（垂直于弦直径平分弦，而且平分弦所正确两条弧）结论和题设交换或交换一条，命题是真命题吗？

（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦
（4）平分弦所正确优弧（5）平分弦所正确劣弧上述五个条件中任何两个条件全部能够推出其它三个结论

学生自主探证

经过问题，引导学生拓展思维，发觉新目标

快
速
判
断

快速判定（1 分钟）
（1）垂直于弦直线平分弦，而且平分弦所正确弧………………………………………..( )（2）弦所正确两弧中点连线，垂直于弦，而且经过圆心………………………………..( )（3）圆不和直径垂直弦必不被这条直径平分……………………………………...( )（4）平分弦直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弦………………………………………( )（5）圆内两条非直径弦不能相互平分（）

巩固拓展知识

归
纳
小
结

归纳小结(3 分钟)
由学生小结，电脑显示
知识总结：
这节课我们关键学习了两个问题：一是圆轴对称性（学生回复），它是了解和证实定理关键；二是垂径定理（学生回复），它是这节课关键要求大家分清楚定理条件和结论，并熟练掌握定理简单应用，还推知它里定理。另外它其它推论级应用我们下节课探讨。

讲评总结：
1 学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？2 应用垂径定理怎样添辅助线？垂径定理有哪些应用3 这节课学习你有什么疑问？

4 这节课学习方法拟喜爱吗？你有什么好提议？

讲评回复

回顾这节课内容，加深学生对知识印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提升

分
层
作
业

分层作业（1 分钟）
1、.必做题:习题24.1—1,7,8 2.、选做题:习题24.1—13

作业题分层给出，调动学生学习主动性，提升学生思维广度，培养学生良好学习习惯及思维品质，让学有余力学生深入提升

（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点直线（或任何一条直径所在直线）
（3）圆对称轴有没有穷多条

24.1.2 垂直于

垂径定理：

垂径定理逆定理：

垂径定理证实：

方法归纳：
技巧：关键辅助线是过圆心 作弦垂线。

关键思绪：
（由）垂径定理——结构Rt△——（结合）勾股定理——建立方程
结构Rt△“七字口诀”：半径半弦弦心距