平行线分线段成比例及相似多边形讲义【知识点拨】
形状相同的图形叫做相似图形。 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。 |
例1、下列命题正确的是（ ）
A、相似多边形是全等多边形 B、不全等的多边形不是相似多边形 C、全等多边形是相似多边形 D、不相似的多边形可能是全等多边形（变式）1、下列说法中正确的是（ ）
A、两个三角形不全等，那么它们也不相似
B、两个三角形不相似，那么它们也不全等
C、两个相似三角形一定不全等
D、两个全等三角形一定不相似
例2、观察下面的图形，如图形状相同的有 。
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2、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个
“E”之间的变换是（ ）A、平移 B、旋转
C、对称 D、相似
知识点二、相似多边形
1、相似多边形的定义：
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2、相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
考点：相似多边形
1、一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为 。
2、两个相似六边形的周长分别是l1，l2，面积分别是S1，S2，若 l1：l2=2︰3，S2-S1 =30，则S1= ______，S2=_____.
3.如图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z 的长度和α、β的大小．
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4、△ABC 的三边长分别为 | 2 | 、 | 10 | 、2，△DEF 的两边长分别为1 和 | 5 | ，如果 |
△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三边长为（ ）
A、 | 2 | B、2 | C、 | 2 | D、 | 2 | 2 |
| 2 | | | | | | |
5、一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是（ ）
A、12 cm | B、18 cm | C、32 cm | D、48 cm |
6、Rt△ABC的两条直角边分别为3cm、4cm，与它相似的Rt△A'B'C'的斜边为20cm，那么Rt△A'B'C'的周长为（ ）
A、48 cm | B、28 cm | C、12 cm | D、10 cm |
7、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）
A、2：1 | B、4：11 | 2 | C、 | 2 | ：1 | D、1.5：1 |
8、两个相似三角形的对应高的比为1： | ||||||
，其中小三角形的最长边为10 cm， | ||||||
那么另一个三角形的最长边为________。
9、如图所示，已知矩形ABCD，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=DF=4cm，两动点M、N分别从C、F两点同时出发沿CB、FE均以2cm/s的速度分别向B、E运动。猜测当M、N运动多长时间时，矩形CFNM与矩形AEFD相似？
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10、 | 如 | 图 | ， | △ | ABC 与 | △ | DEF 是 | 相 | 似 | 图 | 形 | ， | 且 | ||||||
AB=1.7cm,BC=2.9cm,AC=3.7cm,DE=3.4cm, | A | | 50 | 0 | , | B | | 70 | 0 | ||||||||||
求DF,EF,∠C,∠D, ∠E, ∠F。
A | A | B | C | D | ，且 | AB | = | E | D F | |
B | C | |||||||||
11、已知四边形ABCD∽四边形 | 3 | ，如果两个四边形的面积 | ||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | | A 1B 1 | | 2 | | ||
差为25 | cm | 2 | ,求这两个四边形的面积. |
12、已知两个相似四边形,其中一个四边形的四边长分别为2,3,4,5,另一个四
边形对应的边长分别为 | | , | b , | | , | d | , | 求 | a | | b | | c | | d | 的值. |
| |
| | |
| |
| | a | | b | | c | | d | |
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知识点三：判断两个多边形相似 |
判断两个多边形相似，必须同时具备：
（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
1、下列各组图形：①两个平行四边形；② 两个圆；③ 两个矩形；④有一个内角都是80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥ 有一个内角是100°的两个等腰三角形。其中一定是相似形的是 （填序号）。
2、下列多边形中，一定相似的是（ ）
A、两个矩形 B、两个菱形
C、两个正方形 D、两个平行四边形
3、下列说法正确的是（ ）
A、两个等腰三角形相似
C、两个等腰直角三角形相似 4、下列说法正确的是（ ） A、两个等腰三角形相似
C、两个等腰直角三角形相似
B、所有的等腰梯形相似D、所有的正多边形相似
B、所有的等腰梯形相似D、所有的正多边形相似
5、下列说法中，错误的是（ ）
似
A、所有的等边三角形都相似B、和同一图形相似的两图形也相
C、所有的等腰直角三角形都相似 D、所有的矩形都相似
知识点四、平行线分线段成比例
1、平行线分线段成比例定理：
（1）如图,设三条平行线 | l | ∥ | l | ∥ | l | ,则 | AB | | DE | .此定理称为平行线分线段成比 |
| 1 | | 2 | | 3 | | BC | | EF | |
例定理,它的逆定理仍然成立.
A | D | E | F | l 1 |
B | l 2 | |||
C | l 3 |
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（2）平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 | DE | ∥ | BC | ，则 | ||||||||||||||
AD | | AE | | DE | A | E |
| |||||||||||
AB | | AC | | BC | D | ∥ | BC | 。 | ||||||||||
D | E | A | ||||||||||||||||
B | C | B | C | |||||||||||||||
（3） 平行的判定定理：如上图，如果有 | AD | | AE | | DE | ，那么 | DE | |||||||||||
AB | AC | BC | | |||||||||||||||
考点：平行线分线段成比例定理
1、如图， | DE | ∥ | BC | ，且 | DB | | AE | ,若 | AB | | 5 | ，AC | | 10 | ，求 | AE | 的长。 |
A
D | E | ABCD | C | AD | ∥ | BC | ， | AD | | a | ，BC | | b | ，，F | 分别是 | AD | ，BC | 的 |
B | ||||||||||||||||||
2、如图，在梯形 | 中， | |||||||||||||||||
中点， | AF | 交 | BE | 于 | P | ， | CE | 交 | DF | 于 | Q | ，求 | PQ | 的长。 |
B | A | P | E | D | C | |||||||||
Q | ||||||||||||||
F | ||||||||||||||
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3.如图，在 | ABC | 中， | | 是 | AC | 的中点， | E | 是 | | 上一点，且 | AE | | 1 | AB | ，连接 | ||||||
M | | | AB | | | | 4 | | | ||||||||||||
| 并延长，交 | BC | 的延长线于 | D | ，则 | BC | | _______. | |||||||||||||
EM | D | | CD | | | | | | |||||||||||||
A
E
M
B | C | D |
4、如图，△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E点，若AD︰DB＝2︰3，AC＝15，求DE的长
5、已知：如图，在 | ABC | 中， | AB | | 12 | ， | AE | | 6 | ， | EC | | 4 | ，且 | AD | | AE |
| | | | | | | | | | | | | | | DB | | EC |
（1）求 | AD | 的长；（2）求证： | DB | EC | 。 |
| | | AB | AC | |
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【课堂练习】
1、如图1－4－11，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙
2、如图，求作线段x，使 | x | | 2 bc | ，下面各种作法中正确的是（ ） |
| | | a | |
3、已知如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且 | AE | | 1 | ，求 | AF | 的值。 |
| BE | | 3 | | FC | |
4、如图，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。
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【知识综合练习】
一、选择题：
1、如图3，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，下列
不能成立的比例式一定是（ ）
A． | AD | AE | B． | AB AD | AC | ||
| DB | EC | | AE | |||
C． | AC | EC | D． | AD DB | DE | ||
| AB | DB | BC | ||||
2、如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点， | CE | | 1 | CD | ，AD＝12，那么CF 的长为 | |
| | 3 | | | ||
（ ） |
| |||||
3 如图5，□ABCD，E 在CD 延长线上，AB＝10，DE＝5，EF＝6，则BF 的长为
（ ） | A．3 B．6 |
|
C．12 D．16 |
4、如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC
的长度是（ ） | B | F | D | A | E | C |
A. 6 B. 5 | ||||||
C. 4 D. 3 |
5、.△ABC∽△A′B′C′，相似比是2∶3，那么△A′B′C′与△ABC 面积的比是 ( )
A.4∶9 B.9∶4 C.2∶3 D.3∶2
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6、.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )
A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
7、ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6cm2，则S△CBF等于( )
A.12cm2 B.24cm2 C.54 cm2 D.15 cm2
8、如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
A.2∶1 | B. | 3 | ∶1 C. | 2 | ∶1 | D.4∶1 |
二、填空题
1、如图， | l 1 | // | l | 2 | // | l 3 | ，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝________，CN＝ |
________；
2、如图，D、E分别为AB的三等分点，DF∥EG∥BC，若BC＝12，则DF＝_____
，EG＝________；
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3、如图△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝2∶3，DB-AD＝3，则AD＝________，
4、.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27cm，则△A′B′C′的周长为________.
5、.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32cm2，那么大多边形的面积为________.
6、若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6cm 和8cm，它们的周长之和为35 cm，则较小的三角形的周长为________
7、如图，在ABCD 中，延长AB 到E，使BE= | 1 | AB，延长CD 到F，使DF=DC， |
| 2 | |
EF交BC于G交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是________.
8、如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB∶AC等于________.
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三、解答题
1、如图，已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，
DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝15，CD＝30，点E、F分别为AD，BC
上一点，且EF∥AB，若梯形AEFB∽梯形EDCF，试求线段EF的长。
3、如图，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．
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4、△ABC∽△A′B′C′， |
| 1 | ,边上的中线CD＝4cm，△ABC 的周长为 | ||
| A B | 2 | |
20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长
（3）△ABC的面积
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