如何求解ab的最小值?
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发布时间：2024-10-23 23:29
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时间：5小时前
我们可以使用均值不等式来解决这个问题。根据均值不等式，对于任意正数 a 和 b，有：
(a + b) / 2 >= sqrt(ab)
将已知条件 a + 2b + 3 = ab 代入上式，得到：
(ab + 2b + 3) / 2 >= sqrt(ab)
整理得：
ab >= 2 * sqrt(ab) - 2b - 3
接下来我们需要找到使右边表达式最小的 ab 值。考虑将右边的表达式看作关于 sqrt(ab) 的函数。令 sqrt(ab) = x，则有：
f(x) = 2x - 2b - 3
对 f(x) 求导数，得：
f'(x) = 2
由于导数恒为正，所以 f(x) 是一个单调递增的函数。因此，当 x 最小时，f(x) 取得最小值。而 x = sqrt(ab)，所以当 sqrt(ab) 最小时，f(x) 取得最小值。
由于 sqrt(ab) >= 0，所以 sqrt(ab) 的最小值即为 ab 的最小值。因此，要使右边表达式最小，需要使 sqrt(ab) 最小。由均值不等式，我们知道 sqrt(ab) >= 2，所以 ab 的最小值为 4。
