若函数 ,非零向量 ,我们称 为函数 的“相伴向量”, 为向量 的“相伴函...

发布网友 发布时间：2024-10-23 21:52

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若函数 ，非零向量 ，我们称 为函数 的“相伴向量”， 为向量 的“相伴函数”.
（1）已知函数 的最小正周期为 ，求函数 的“相伴向量”；
（2）记向量 的“相伴函数”为 ，将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数 ，若 ，求 的值；
（3）对于函数 ，是否存在“相伴向量”？若存在，求出 “相伴向量”；
若不存在，请说明理由. （1）（1，1）；（2）  ；（3）不存在“相伴向量”

试题分析：（1）由函数 平方项展开化简，再通过化一公式即可得一个函数的形式，又因为最小正周期为 ，即可求得 的值.再将函数展开写成 的形式及可得结论.
（2）由向量 为函数 的“相伴向量”，所以可得到函数 .再将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数 .再根据 .通过解三角方程即可得到所求的结论.
（3）对于函数 ，是否存在“相伴向量”.通过反证法的思想，可证明不存在函数 的“相伴向量”.
（1）


，                          1分
依题意得 ，故 ．                           2分
∴ ，即 的“相伴向量”为（1，1）．　　        3分
（2）依题意， ，            4分
将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数 ，                        5分
再将所得的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 ，
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