...学军中学2009-2010学年度高三联考数学理试卷及答案
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金华一中、慈溪中学、学军中学
2009—2010学年度上学期高三联考
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分。请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
S=4πR2 V=Sh[来源:学。科。网Z。X。X。K]
球的体积公式 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高.
V=43πR3 棱台的体积 公式
其中R表示球的半径 V=13h(S1+S1S2+S2)
棱锥的体积公式 其中S1、S2表示棱台的上、下底面积，h表示棱
V=13Sh 台的高.
其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)= P(A)+ P(B)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数 等于 （ ）
A． B． C． D．
2． 的展开式中 的系数为 （ ）
A．20 B．40 C．80 D．160
3．设 是等差数列｛ ｝的前n项和，已知 =3， =11，则 等于 （ ）
A．13 B．35 C．49 D．63
4． ， ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．若函数f(x)和g(x)的定义域、值域都是R，则不等式f(x)> g(x)有解的充要条件是（ ）
A． x∈R, f(x)>g(x) B．有无穷多个x (x∈R )，使得f(x)>g(x)
C． x∈R，f(x)>g(x) D．{ x∈R| f(x)≤g(x)}=[来源:Z.xx.k.Com]
6．若函数y= 有最小值，则a的取值范围是 （ ）
A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1 C．1<a<2 D．a≥2
7．已知平面 ‖平面 ，直线L 平面 ,点P 直线L,平面 、 间的距离为8，则在 内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是 （ ）
A．一个圆 B．四个点 C．两 条直线 D．两个点
8．由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为 （ ）
A． B．1 C． D．
9．设集合 。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）
A． B． C． D．
10．对任意x∈R，函数f(x)的导数存在，若f′(x)＞f(x)且 a＞0，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D． [来源:学科网]
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。把答案填在答题卷的相应位置。
11．双曲线 的离心率是 .
1 2．棱长为2的立方体的八个顶点都在球O的表面上，
则球O的表面积是 .
13．若关于x的方程x-1x+ k=0在x∈(0,1)没有实数根，
则k的取值范围为 .
14．在 中,M是BC的中点，AM=3,点P在AM
上且满足 ,则 等于
.
15．如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断框中
的横线上可以填入的最大整数为¬¬¬ .
16 ．为了解某校高三 学生的视力情况，随机地抽查了该
校100名高三 学生的视力情况，得到频率分布直方
图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前
四组的频数成等比数列，后六组的频数成等 差数列，
设最大频率为a，视 力在4.6到5.0之间的学生数
为b，则a+b的值为 .
17．在平面直角坐标系 ，已知平面区域 A={ (x,y)| x + ty < 2,且t R, ，若平面区域B={ (x, y ) | (x+y, x-y ) A }的面积不小于1，则t的取值范围为 .
三、解答题：本大题有5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来源:Z,xx,k.Com]
18．（本题满分14分）
中，三个内角A、B、C所对的边分别为 、 、 ，若 ， ．
（1）求角 的大小；
（2）已知 ，求函数 的最大值
19．（本题满分14分）
有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1，在其每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面. 假定更换一个面需100元，用ξ表示维修一次的费用.
（1）求面ABB1A1需要维修的概率；
（2）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.
[来源:Z|xx|k.Com]
20．（本题满分14分）
如图， 在三棱拄 中， 侧面 ，已知AA1=2, ,
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）试在棱 (不包含端点 上确定一点 的位置,使得 ；
（III）在（Ⅱ）的条件下,求二面角 的平面角的正切值.
[来源:学科网]
21．（本题满分14分）
如图，已知直线 的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线 上的射影依次为点D，K，E.
（1）若抛物线 的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点。
22．（本题满分16分）
已知函数f(x)=x3-ax-b (a,b∈R)
（1）当a=b=1时，求函数f(x)的单调区间
（2）是否存在a，b，使得 对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由。
[来源:Zxxk.Com]
参
一、选 择题：1-5 ADDCA 8-10 CBCBA
二、填空题：
11． 12．12 13．k<0 14．-4 15．16 16．78.27 17．t 1
18．（1）因为 ，所以 ， ………………1分
因为 ，由正弦定理可得：
………………3分
，整理可得： ………………6分
所以， （或 ） ………………8分
（2）
= ……11分
当 时，函数 取得最大值3 ……14分
19．解：（1） …………………………6分
（2）因为
ξ 0 100 200 300 400 500 600
P
………………………………………………11分
（元）………………………………………………14分
20．证（Ⅰ）因为 侧面 ，故
在△BC 1C中，
由余弦定理有 [来源:Zxxk.Com]
故有
而 且 平面
……4分
（Ⅱ）由
从而 且 故
不妨设 ，则 ，则
又 则
在直角三角形BEB1中有
从而 [来源:学科网]
故 为 的中点时， ……9分
法二：以 为原点 为 轴，
设 ，则
由 得 即
化简整理得 或
当 时 与 重合不满足题意
当 时 为 的中点
故 为 的中点使 ……9分
（Ⅲ）取 的中点 ， 的中点 ，
的中点 ， 的中点
连 则 ，连 则 ，
连 则
连 则 ，且 为矩形，
又 故 为所求二面角的平面角
在 中，
……14分
法二：由已知 ，
所以二面角 的平面角 的大小为向量 与 的夹角
因为
故 ……14分
21．解：（1）易知
………………6分
（2）
先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，
由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点 ……………………8分
证明：设
当m变化时首先AE过定点N
A、N、E三点共线
同理可得B、N、D三点共线[来源:学|科|网]
∴AE与BD相交于定点 ……………………14分
22．解：（1）f(x)=x3-x-1， =3x2-1=0，x= ，
x∈（ ）或x∈（ ）时 ＞0，
x∈（ ）时 ＜0,所以函数f(x)的单调递增区间为
（ ）和（ ） ，函数f(x)的单调递减区间为（ ）…5分
（2）假设存在这样的a，b，使得 对任意的x∈[0，1]成立，则
①，两式相加可得0＜ ＜3，[来源:Z+xx+k.Com]
所以函数f(x)在区间[ ]递减，在区间[ ]递增,
所以 ②，
由不等式组中的第二式加第三式可得 ，
由不等式组中的第一式加第三式可得 。 …………10分
记 ， ，a=3，
又 ， 在 为减函数，
又 ，所以 ，所以 ，
所以a=1，代入②式可得 ，所以存在a=1， ，
使得 对任意的x∈[0，1]成立。 …………16分
