如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB ∥ C...

发布网友 发布时间：2024-11-05 20:12

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热心网友 时间：2024-11-05 20:37

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）
因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）
因为EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD．…（3分）
因为ED?平面EOD
所以AB⊥ED．…（4分）
（Ⅱ）因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD?平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．…（5分）
因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以 EC =(1，1，-1) ，平面ABE的一个法向量为 OD =(0，1，0) ．…（7分）
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以 sinθ=|cos? EC ， OD ＞|= | EC ? OD | | EC || OD | = 3 3 ，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为 3 3 ．…（9分）
（Ⅲ）存在点F，且 EF EA = 1 3 时，有EC ∥ 平面FBD．…（10分）
证明如下：由 EF = 1 3 EA =(- 1 3 ，0，- 1 3 ) ， F(- 1 3 ，0， 2 3 ) ，所以 FB =( 4 3 ，0，- 2 3 ) ．
设平面FBD的法向量为 v =（a，b，c），则有 v ? BD =0 v ? FB =0
所以 -a+b=0 4 3 a- 2 3 z=0. 取a=1，得 v =（1，1，2）．…（12分）
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