高中数学 已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交...

发布网友 发布时间：2024-10-24 11:21

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热心网友 时间：4小时前

设椭圆C的方程x²/a²+y²/b²=1 B(0,b) F(c,0) D(x,y)
∵BF向量=2FD向量
BF向量=(c,-b) 2FD向量=2(x-c,y)
x=3c/2 y=-b/2
(9c²/4)/a²+(b²/4)/b²=1
9/4×(c/a)²+1/4=1
e=c/a=√3/3

热心网友 时间：4小时前

热心网友 时间：4小时前

：|BF|=a
设BF倾角θ
∴cosθ=c/a=e
∵向量BF=2向量FD，∴|BF|=2|FD|
|BF|=ρ1=ep/(1-ecosθ)=ep/(1-e^2)
|FD|=ρ1=ep/(1-ecos(π+θ))=ep/(1+e^2)
∴ep/(1-e^2)=2ep/(1+e^2)==>e^2=1/3
∴e=√3/3

热心网友 时间：4小时前

答案为：e=√3/3
作图连接BF',DF',(F'为另一个焦点)由椭圆定义不难得到：BF'=a,DF'=3a/2,BD=3a/2
在△BDF'中，由余弦定理，cos∠DBF'=[(3a/2)^2+a^2-(3a/2)^2]/(2xax3a/2) = 1/3
而易知∠OBD=∠DBF' x 1/2,且sin∠OBD=c/a =e
所以由二倍角公式cos∠DBF'=1-2e^2=1/3
求得e=√3/3.