多元变量函数,泰勒如何展开?(泰勒展开)

发布网友发布时间：2024-10-24 16:49

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热心网友时间：2024-10-29 15:54

多元变量函数的泰勒展开并非简单地沿用一元函数的模式，它需要特别处理。小笔记将带您了解多元泰勒展开的细节。

Part I: 多元泰勒展开的特性和形式

当考虑多元函数[公式] 在[公式]点的[公式]阶展开时，零阶展开为：

一阶展开则带有一个[公式]因子，形式为：

值得注意，这里的积分是从零到一，且一阶展开中的因子是多元变量特有的。

Part II: 推导策略和关键思路

推导多元泰勒展开的核心是将多元函数转化为一元函数。例如，通过构造[公式]，可以看出[公式]是[公式]的函数，从而将多元问题转化为一元问题求解。如一元函数[公式]的泰勒展开，可以应用于多元函数的相应部分。

Part III: 证明过程

通过构造一元化函数，对[公式]求导，利用链式法则，证明了多元函数的零阶和一阶泰勒展开。零阶展开证明如下：

一阶展开的证明则基于类似步骤：

参考资料和结语：

尽管部分内容可能来自他人的总结，但这个笔记旨在帮助理解多元泰勒展开。希望对学习非凸优化的朋友有所帮助。最后，祝大家圣诞快乐，记得知识的力量，不妨为内容点赞支持。

作者@未名，更多内容可在非凸优化学习之路专栏中查看，包括：