高中数学!椭圆ax^2+by^2=1与直线y=1-x交于A,B,过原点与线段A,B的...

发布网友 发布时间：2024-12-14 13:19

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热心网友 时间：2024-12-16 04:48

设A(x1，y1)
B(x2，
y2
)
则
aX1²＋by1²=1
①
ax2²＋
by2
²＝1
②
①－②得
a(X1²－x2²﹚＋b﹙y1²－y2²﹚=0
即a﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚＋b﹙y1＋y2﹚﹙y1－y2﹚＝0
③
AB中点为横坐标为（x1＋x2）／2，
纵坐标
为﹙y1＋y2﹚／2
因为过原点与玄AB中点的
直线的斜率
为二分之根号三
所以﹙y1＋y2﹚／﹙x1＋x2﹚＝√3／2
所以y1＋y2＝√3／2﹙x1＋x2﹚
④
而A,B在直线y=1-x上
所以﹙y2－y1﹚／﹙x2－x1﹚＝﹣1
所以y1－y2=x2－x1
⑤
把④⑤代入③得
a﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚＋b√3／2﹙x1＋x2﹚﹙x2－x1﹚=0
即﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚﹙a－b√3／2﹚=0
因为x1＋x2≠0，x1－x2≠0
所以a－b√3／2=0
所以a／b=√3／2
手打不容易，希望能采纳，有不懂的可追问哦，谢谢O(∩_∩)O~

热心网友 时间：2024-12-16 04:43

直线y=1-x代入椭圆方程ax^2+by^2=1化简得：

（a+b)x^2-2bx+b-1=0

设ab坐标为(x1,y1)(x2,y2)则x1,x2是上方程的两根，根据韦达定理有：x1+x2=2b/(a+b)

ab的中点c坐标设为c(x3,y3),则x3=(x1+x2)/2=b/(a+b)
y3=(y1+y2)=1/2-(x1+x2)=1/2-b/(a+b)

因过原点的直线与线段ab中点的直线的倾斜为30°，即oc与x轴夹角为30°

则oc斜率为1/√3或－1/√3

故：〔1/2-b/(a+b)〕/[b/(a+b)]=1/√3
或〔1/2-b/(a+b)〕/[b/(a+b)]=－1/√3

化简得：a/b=√3/6+1/4
或a/b=－√3/6+1/4