数列an的前n项和为sn,若a1=2,sn+1=sn+cn且s1,s2,s3成等比数列 求 (1...
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发布时间：2025-01-11 16:39
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时间：2025-01-11 17:00
解：
(1)
S2=S1+c·1=a1+c=c+2
S3=S2+c·2=c+2+2c=3c+2
S1、S2、S3成等比数列，则
S2²=S1·S3
(c+2)²=2(3c+2)
c²-2c=0
c(c-2)=0
c=0或c=2
(2)
c=0时，S(n+1)=Sn，数列是首项为2，其余项均为0的数列。
Sn=2
c=2时，S(n+1)=Sn+2n
a(n+1)=S(n+1)-Sn=2n
an=2(n-1)
n=1时，a1=2·(1-1)=0，与已知矛盾，不满足表达式
数列{an}的通项公式为
an=2 n=1
2(n-1) n≥2
n=1时，S1=a1=2
n≥2时，
Sn=2+2[1+2+...+(n-1)]
=2+2n(n-1)/2
=n²-n+2
n=1时，S1=1-1+2=2，同样满足表达式
数列{Sn}的前n项和Sn=n²-n+2
综上，得：数列的前n项和Sn=2或Sn=n²-n+2
本题没有说c是非零实数，因此分两种情况。
