实对称矩阵的特征向量相互正交
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发布时间：2025-01-08 13:55
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时间：2025-01-15 08:10
是的，实对称矩阵的特征向量是相互正交的。
假设A是一个实对称矩阵，存在一个特征向量v和对应的特征值λ：Av = λv现在我们再取另一个特征向量u和对应的特征值μ：Au = μu现在我们通过对等式两边同时取u的转置：u^T(Av) = μu^T(v)(u^TAv) = μ(u^Tv)由于A是实对称矩阵，可以得出：(u^TAv) = (v^TAu)根据上面的等式，我们可以将右边替换为左边的等式得到：(u^TAv) = (u^TAv)这表明两者是相等的。现在我们关注左边的等式：u^TAv = μ(u^Tv)我们可以将其重写为：u^TAv - μ(u^Tv) = 0这是一个关于u的线性等式。由于u是一个特征向量，它不能是零向量，因此这个等式只能在u^TAv - μ(u^Tv)为零向量时成立。换句话说，当u^TAv = μ(u^Tv)时，u和v是正交的。因此，我们可以得出结论，实对称矩阵的特征向量是相互正交的。
