高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 解三角形应用举例 新人教A版

一、课前准备： 【自主梳理】

1．测量问题的有关名词 （1）仰角和俯角：

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_______. （2）方位角：指从______方向_____时针转到目标方向线的角． （3）方向角：

①正南方向________________________________． ②北偏东________________________________．

③南偏西________________________________．

④东南方向________________________________． （4）坡角：_________与_________的二面角的度数.

（5）坡比：是指坡面的_____________与_____________之比． 2．求解三角形实际问题的基本步骤

（1）_______：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；

（2）_______：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

（3）_______：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）_______：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

【自我检测】

1．海上有A,B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B,C间的距离是___________．

2．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且ABC120，

AB______时，第三边AC最短．

3．在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），

经损坏

A60,B45,AB120米，则它的高为__________米．

4．甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东

15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东750方向上，则电动车在点B时与电视塔S的300方向上，

距离是___________． 5．江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距 ． 二、课堂活动： 【例1】填空题：

（1）一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30，向前飞行了10000米，

1

到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标的距离为 米． （2）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60， 另一灯塔南偏西75，则这只船的速度是每小时________海里．

在一条在船的

60，则F3与（3）作用在同一点的三个力F1,F2,F3平衡，已知F130N,F250N,F1与F2之间的夹角是

F1的夹角的正弦值为 ．

（4）某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前

进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为___________．(精确到1m,sin350.5735)

【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9nmile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救。 （1）求舰艇靠近渔轮所需的时间．

（2）设舰艇的航向与AC的夹角为，求的正弦值．

【例3】如图所示，已知半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA2，点B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB面积最大．

三、课后作业

1．某人朝正东方走xkm后，向左转150，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么

x___________．

2．某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行30nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 nmile.

3．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两

2

楼的高分别是 _________ ．

4．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北30方向的100nmile处，已知该国的雷达扫描半径为70nmile，若我国潜艇不改变航向，则行驶__________nmile后会暴露目标．

5．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进103，又测得塔顶的仰角为4，则塔高是 米．

6．货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角NBC140，A处有灯塔， 其方位角NBA110，在C处观测灯塔A的方位角MCA35，由B到C需航行半小时， 则C到灯塔A的距离是 ．

7．某观测站C在A城的南偏西20的方向,由A城出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走___________千米才能到达A城？

8．某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，则塔高为_________．

9．在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(31)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船。此时，走私船正以

00010nmile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

10．如图，有两条相交成60角的直线XX、YY，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点

3千米，乙离O点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度， 甲沿XX 方向，乙沿YY方向步行，

（1）起初，两人的距离是多少？

（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？

Y

X

P  B

O

A X

3

四、纠错分析

题 号 错 题 原 因 分 析 错 题卡

解三角形应用举例答案

一、课前准备： 【自我检测】 1．56

2．15cm

3．6033

4．32 5．103

二、课堂活动

4

例1 （1）50002

（2）10海里 （3）

53 （4）811m 1429t21t3310081t221t1例2．，cossin

sinsin12014290t225或t（舍） 312233。 舰艇靠近渔轮的时间为h，sin31436t29t100t例3．设AOB,在ABC中，由余弦定理得AB1222cos54cos,0,，

222135SSAOBSABCOAOBsinAB22sin3. 2434当三、课后作业 1.3或23 7.15

8．

2.103

3.203或

355,，即AOB时，四边形OACB面积最大. 266403 3 4.503206 5.1062 6.15

1033 39. 设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD103t，BD10t，在ABC中，∵AB31，

AC2，BAC120，∴由余弦定理，得

BC2AB2AC22ABACcosBAC(31)2222(31)2cos1206，∴BC6，

且sinBACAC232sinBAC.∴ABC45,∴BC与正北方向垂直．∵BC262，

在

CBD9030120BC中，由正弦定理，得

BDsinCBD10tsin1201sinBCD,∴BCD30.

CD2103t即缉私船沿东偏北30方向最快追上走私船.

10.设甲乙两人起初的位置分别为A,B，连接AB.

(1)在ABO中，由余弦定理AB19213cos607km。 (2)设t小时后，甲由A运动到C，乙由B运动到D，连接CD．

当0t0.75时，CD34t214t2234t14tcos6048t224t7；

当t0.75时，在△CDO中，OD14t,OC4t3,DOC120,由余弦定理，得

5

CD34t214t2234t14tcos12048t224t7。

t小时后，甲乙两人的距离为48t224t7km。

1(3)CD48t24t748t4t0，

422当t

1时，甲乙两人的距离最短，最短距离为2km． 4 6