【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—相似三角形(含解析)

13yx2x2221．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．(1)求点A、B、C的坐标；

(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线PNx轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M．

①当点P在线段AB上时，设MN的长度为s，求s与t的函数关系式；

②当点P在线段OB上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与

△COB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线经过

A4,0，

B1,0，

C0,2三点．

试卷第1页，共10页

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得直接写出点D坐标．

S△△DCASABC，

3．如图，已知

A2,0，B4,02yaxbxc经过A、B两点，交y轴于点，抛物线

C0,4．点P是第一象限内抛物线上的一点，连接AC，BC．M为OB上的动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．

(1)求抛物线的函数表达式；

m,0请用含m的代数式表示线段

(2)过点P作PNBC，垂足为点N，设点M的坐标为PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

(3)试探究M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以O，M，Q为顶点的三角形与AOC相似．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13yx2x4424．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于

A，，BC三点．试卷第2页，共10页

(1)求证：ACB90；

(2)点D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．

DE①求25BE5的最大值；DE为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．②点G是AC的中点，若以点C，，5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），

15B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；

试卷第3页，共10页

(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．

6．如图．在平面直角坐标系中．抛物线于点C．点A的坐标为

y12xbxc2与x轴交于A、B两点，与y轴交

1,0，点C的坐标为0,2．已知点Em,0是线段AB上的动

点（点E不与点A，B重合）．过点E作PEx轴交抛物线于点P，交BC于点F．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若EF:PF1:2，请求出m的值；

(3)是否存在这样的m，使得△BEP与ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由；

(4)当点E运动到抛物线对称轴上时，点M是x轴上一动点，点N是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标．

2B3,0C1,07．如图，抛物线yaxbx6与y轴交于点A，与x轴交于点，，P是

线段AB下方抛物线上的一个动点，过点Р作x轴的垂线，交x轴于点H，交AB于点D．设点P的横坐标为

t3t0．试卷第4页，共10页

(1)求抛物线的解析式．

(2)用含t的式子表示线段PD的长，并求线段PD长度的最大值．(3)连接AP，当DPA与△DHB相似时，求点P的坐标．

3yx2bxcA4,0B0,3y48．如图，抛物线与x轴交于点，与轴交于点，点Mm,0为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于

点P，N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P，N，B，O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；(3)如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．2yxbxc经过A4,0，C1,0两点，与y轴交于点B，P为抛物9．如图，抛物线

线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．

试卷第5页，共10页

(1)求抛物线的解析式；

(2)若P为第一象限抛物线上的动点，设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当

S1S25时，求点P的坐标；

(3)是否存在点P，使PABCBO45，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，说明理由．

2yaxbx3与x轴的正、负半轴分别交xOy10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线于点B、A，与y轴交于点C，已知AB5，tanCAB3，OC:OB3:4．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、BC交于点E、F，求EF的长；(3)在（2）的条件下，联结CE，如果点P在该抛物线的对称轴上，当△CEP和CEB相似时，求点P的坐标

试卷第6页，共10页

312yx55分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线11．如图，直线

4yx2bxc与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D0，，抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：OEAB；(3)P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，，OM为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

1yx2bxc212．如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为yx6．(1)求抛物线的表达式；

(2)在直线BC上存在一点P，使POPA的值最小，求此最小值；(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，试卷第7页，共10页

请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

213．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yaxbxc(ac0)与x轴交于点A和点

OBOC的长满足OC2OAOB，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、、2yaxbx2(a0)为“黄金”抛物线，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线

其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C．且OA4OB(1)求抛物线的解析式；

(2)若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PDAC，垂足为D．①求PD的最大值；

②连接PC，当PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．

14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx3与x轴交于点B，与y轴交于点

2yax2xc的图像过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段C．二次函数

OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．

(1)求二次函数的表达式；

试卷第8页，共10页

2(2)如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数yax2xc的图像于

点E，记CEF的面积为S1，BMF的面积为S2，当

S11S22时，求点E的坐标；

llll(3)如图②，连接CM，过点M作CM的垂线1，过点B作BC的垂线2，1与2交于点

CGCGG，试探究CM的值是否为定值？若是，请求出CM的值；若不是，请说明理由．

2yxbxc与x轴交于A2,0,B4,0两点，与y轴交于15．如图1，已知抛物线

点C．(1)求ABC的面积；

(2)如图2，点P是抛物线上第一象限的一点，且PABACO，求点P的坐标；(3)若点N是直线y2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足

条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2yaxxc经过A2,0，xOy16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线B0,4两点，直线x3与x轴交于点C．试卷第9页，共10页

(1)求a，c的值；

(2)经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；

(3)P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，

G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

试卷第10页，共10页

答案：

1．(1)

A1，0，B4，0，C0，2；

12t2t1t02s117,01t22t0t415,022(2)①；②点P的坐标为和．15yx2x2222．(1)

(2)存在，（2，1）(3)点D的坐标为（3，1）

1yx2x423．(1)

(2)PN22m2m2，当m2时，PN有最大值24884Q,Q,(3)存在，33或334．(1)1

(2)①9；②D(4,6)或

D(3,25)4．

315yx2x6845．(1)(2)（11，4）

23697(3)2或2或56．(1)

y123xx222；

(2)m2；

(3)存在，m的值为0或3；

答案第1页，共3页

415415,0,02M1,07,02．(4)存在，M点的坐标为或或或2y2x4x6；7．(1)

9(2)PD2t6t；线段PD长度的最大值为2．2755P,P2,68(3)或43753293yxx3x,442，顶点坐标2168．(1)，对称轴：

(2)2

11M,0M3,0(3)9或2yx3x49．(1)

（1，）6或P（2，）6(2)P(3)

P3,439yx2x34410．(1)

(2)

EF158339,5,(3)P的坐标为：2或24．

211．(1)抛物线解析式为yx3x4(2)2

答案第2页，共3页

11721023(3)存在，点P的横坐标为 或1yx22x6212．(1)(2)10

(3)当Q的坐标为

018，00，或时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似

13yx2x22213．(1)

32545(，)(2)①PD最大值为5；②P坐标为(3,2)或28214．(1)yx2x3；(2)E(1,4)；(3)是，定值为2；15．(1)24(2)

P(1523,)416333133M2,2M3,5．(3)存在，或16．(1)

a12，c42yx3(2)

11201,0)(2,0)4FF(3)存在这样的点，点的坐标为或(答案第3页，共3页

答案第4页，共1页