北京四中2011~2012学年度第一学期高三年级期中测试
数学试卷（理）
（试卷满分150分，考试时间为120分钟）
一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．若全集 A．
，集合 B．
， C．
，则集合 D．
2．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图像大致为
4．设 A.
B.
，则
C.
D.
5．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
A．
B． C． D．
6．若，则的值为
A．
B． C．4 D．8
7．若偶函数满足且时,则方程的零点
个数是
A. 2个 B. 4个 C. 3个 D. 多于4个
8．对于函数
为函数
,若存在区间
，使得
；②
，则称区间
；
的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①
③；④.其中存在稳定区间的函数有
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知
，则__________.
10．若函数
11．等比数列
12．函数
为__________.
则不等式的解集为______.
的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则__________.
的图象如图所示，则的解析式
13．已知函数 是__________. ① ③
14．已知数列
的最大值为在
②
.（），那么下面命题中真命题的序号
的最小值为在
上是减函数
上是减函数 ④
的各项均为正整数，对于，有
当
时，
______；若存在
，当
且
为奇数时，
恒为常数
，则
的值为______.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题满分12分）已知函数
的最小正周期为.
（I）求 （II）求函数
的值；
的单调增区间及其图象的对称轴方程.
16．（本小题满分13分）已知函数()．
（I）求函数的单调递增区间；
（II）内角的对边长分别为，若 且试
求角B和角C.
17．（本小题满分14分）在等比数列 （I）求数列 （II）若数列
18. （本小题满分14分）已知函数值域为
.过函数
图象上的动点的解析式； 的面积为
，求
的最大值.
，
的图象经过
，连接
和.
两点，且函数
的
的通项公式； 满足
（
），求数列
的前项和
.
中，
，且
，
是
和
的等差中项.
作轴的垂线，垂足为
（I）求函数 （II）记
19.（本小题满分14分）已知为实数， （I）求导数 （II）若 （III）若
20.（本小题满分13分）设
，对任意
（I）
时，试给出
数列，设
的前6项；
的前为满足
项和（
在
； ，求
和在
上的最大值和最小值；
.
上都是递增的，求的取值范围.
）.按如下方式定义数列
的整数，且整除
.
：
（II）证明：，有；
必从某项起成为常数列.
（III）证明：对任意的m，数列
答 题 纸
班级_____________姓名_____________成绩_____________ 一．选择题（每小题5分，共40分）
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二．选择题（每小题5分，共30分） 9 11 13 10 12 14 三．解答题（共80分）
（请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 15．（本小题满分12分） （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 16．（本小题满分13分） （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 17．（本小题满分14分）
（请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 18．（本小题满分14分） （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 19．（本小题满分14分） （请在指定的区域内答题，超出范围答题无效） 20．（本小题满分13分） 参考答案 一．选择题（每小题5分，共40分）
题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 B 6 D 7 B 8 C 二．选择题（每小题5分，共30分）
9 11 15 12 13 ①④ 14 或 10
三．解答题（共80分）
15．解：（Ⅰ）
因为最小正周期为,所以，解得,
所以,所以. „„„„„„„„6分
（Ⅱ）令，可得，
所以,函数的单调增区间为
由得.
所以，图象的对称轴方程为. „„„„„„12分
16．解：（Ⅰ）∵，
∴故函数的递增区间为(Z) „„„„„„6分
（Ⅱ），∴．
∵，∴，∴，即．
由正弦定理得：，∴，
∵，∴或．
当时，；当时，．（不合题意，舍）
所以,. „„„„„„13分
17．解：（I）设等比数列的公比为. 可得，所以
，
，得
，所以，通项为
„„„„„ 6分
由
因为
依题意有
因为
所以数列
（II）
可得
„„„„„„14分
18．解：（I）由已知可得函数的对称轴为，顶点为
方法一：由 得......5分
„„„„„6分
得
方法二：设
，得
由
„„„„„6分
（II）
列表
(0,4) +
4 0 极大值 (4,6) — 由上表可得时，三角形面积取得最大值.
即. „„„„„14分
19．解：（I）由原式得 ∴„3分
（II）由 得,
此时有.
由得或x =-1 ,
又
所以f(x)在上的最大值为最小值为 „„„„„9分
的抛物线,
（III）的图象为开口向上且过点
由条件得
即∴ , 所以a的取值范围为 „„„„14分
20．解：（I）m = 9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3， 即前六项为9，1，2，0，3，3. „„„„„3分
（II）； „„„„„7分
（III）有，由（II）可得，
为定值且单调不增，数列必将从某项起变为常数，
不妨设从项起为常数，则，于是
所以
当
，于是
所以
时成为常数列。 „„„„„„„„„„„„„„„13分
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