广西桂林中学2014届高三10月月考数学理试题Word版含答案

桂林中学高三10月月考数学试题（理科）

本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．

考试时间：120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合M{x|x1},N{x|A．{x|x<2} 2．若复数

B．{x|x≤2}

x10},则CU(MN) （ ） x2D．{x|－1≤x<2}

C．{x|－1ai的实部与虚部相等，则实数a （ ） 2i （A）1 （B）1 （C）2 （D）2

3．函数f(x)

2x11的定义域为 x1（ ）Ks5u

A．,21, B．(,2)1, C．(,2)(1,) D．,2(1,)

4.已知0a1，xloga则（ ） A．xyz 5.设曲线y

12loga3，yloga5，zloga21loga3，

2

C．yxz

D．zxy

B．zyx

x1在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a（ ） x111A．2 B． C． D．2 Ks5u

226．已知平面向量a(1,2),b(2,m)，且a//b，则m的值为 ( )

A．1

B．-1

C．4

D．-4

x2y2x2y21有共同的焦点， 7．过点（5，0）的椭圆221(ab0)与双曲线

ab3则该椭圆的短轴长为

A．21 2（ ） B．221 C．23 D．223 8、设p∶xx2＜0,q∶

（A）充分不必要条件 （C）充要条件

1x＜0，则p是q的 （ ） x2 （B）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

9、定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当

x[0,A. 2]时，f(x)sinx，则f( B.

5)的值为（ ） 3 D.

1 231 C. 

223 210．已知f(x)A．2

,x0cosx44，则f()f()的值为（ ）

33f(x1)1,x0

B．1

C．1

D．2

11．已知对任意实数x，有f(x)f(，x)，且x0时，g(x)g(xf(x)，0g(x)，则x0时（ ）

A．f(x)0，g(x)0 B．f(x)0，g(x)0 C．f(x)0，g(x)0 D．f(x)0，g(x)0

12．函数yf(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式

f(x)f(x)2x的解集为

（ ）

22x0或x1A．x|22B．x|1x

22或x12222或0x22

C．x|1x

22x且x0D．x|22第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13、

limn13(2n1)_________.

2n2n12314．若a0，a4，则log2a ． 93

15．设f(x)log3(x6)的反函数为f1(x)，若f1(m)6f1(n)627，则

f(mn)____

16．若函数f(x)=(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2对称,则f(x)的最大值

是______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本题10分）函数yf(x)在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足

f(a2a1)f(a2)0，试a求的范围．

18. （本小题满分12分） 已知函数f(x)cosxcos(x（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)的单调增区间； （Ⅲ）若f()

19．（本小题满分12分）已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列． （1）求q的值；

（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．

20. （本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0x200时，求函数vx的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）fxxvx可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆 / 小时）

32),xR

3，求sin2的值. 4

x2y221.（本小题满分12分）已知双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点为

abF1:(2,0),F2:(2,0),点P(3,7) 在曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为22,求直线l的方程

22. （本小题满分12分）已知函数f(x)=lnxkx1. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅲ）证明：

ln2ln3lnnn(n1)（nN,n1） 34n14桂林中学高三10月月考数学试题（理科）答案

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．．

题号 1 答案 B 2 A 3 D 4 C 5 D 6 D 7 B 8 A 9 D 10 C 11 B 12 A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13、

1 14． 3 15． 2 16． 16 Ks5u 2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题10分）函数yf(x)在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足

f(a2a1)f(a2)0，试a求的范围．

解： 由题意，f(aa1)f(a2)0，即f(aa1)f(a2)，… 2分 而又函数yf(x)为奇函数，所以f(aa1)f(2a)． …4分

222

又函数yf(x)在（-1，1）上是减函数，有

1a2a111a0或1a21a3． …8分 1a211a32aa12a3a3所以，a的取值范围是(1，3)．…10分 18. （本小题满分12分） 已知函数f(x)cosxcos(x2),xR（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

3，求sin2的值. 4（Ⅱ）求f(x)的单调增区间；（Ⅲ）若f()解： 解：f(x)cosxcos(x2222(cosxsinx) 2分

222cos(x)cosxsinx 1分

4) ―――3分

22； ―――4分 1（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T（Ⅱ）由2kx得

422k ， kZ 6分

372kx2k， kZ 7分Ks5u 4437 f(x)的单调增区间为[2k,2k],kZ ―――8分

4433（Ⅲ）因为f()，即cossin 9分

44912sincos 11分

167sin2 ―――12分

1619．（本小题满分12分）已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．

（1）求q的值； （2）求证：a2，a8，a5成等差数列．

解：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3S62S9， 1分 若q＝1，则S3S69a1，2S918a1， 3分 由a1≠0 得 S3S62S9，与题意不符，所以q≠1． 4分

3a1(1q3)a1(1q6)2a1(1q9) 由S3S62S9，得． 5分

1q1q1q

1． 8分 211 （2）由（1）知：a8a2q6a2，a5a2q3a2 10分

42a8a2a5a8，所以a2，a8，a5成等差数列． 12分

整理，得qq2q，由q≠0，1，得q3693

20. （本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0x200时，求函数vx的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）fxxvx可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

解：（Ⅰ）由题意：当0x20时，vx60；―――1分

当20x200时，设vxaxb，显然vxaxb在20,200是减函数，―――2分

1a200ab03由已知得，解得 ―――4分

20ab60200b3

0x20,60,故函数vx的表达式为vx=1 ―――6分

200x,20x200.3

0x20,60x,（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得fx1―――8分

x200x,20x200.3当0x20时，fx为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；―――9分

11x200x10000当20x200时，fxx200x，―――10分 33232当且仅当x200x，即x100时，等号成立． 所以，当x100时，fx在区间20,200上取得最大值

10000．―――11分 3

综上，当x100时，fx在区间0,200上取得最大值

100003333， 3即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．12分 21

、

已

知

双

曲

线

x2y2C:221(a0,b0)ab的两个焦点为

F1:(2,0),F2:(2,0),点P(3,7) 在曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为22, 求直线l的方程

x2y22

1(Ⅰ)解法1：依题意，由a+b=4，得双曲线方程为2（0＜a＜4＝， 2a4a2

2

将点（3，7）代入上式，得

9722

.解得a=18（舍去）或a＝2， 122a4ax2y21. ―――4分 故所求双曲线方程为22解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=|PF1|－|PF2|=(32)(7)(32)(7)22,

2222x2y21. ―――4分 ∴a=2，b=c－a=2. ∴双曲线C的方程为222

2

2

2

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F, Ks5u

2k1,1k0,∴ 22(4k)46(1k)＞0，3＜k＜3,∴k∈(－3,1)∪(1,3). ―――6分 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=

22|EF|=(x1x2)(y1y2)4k6,xx,于是 121k21k2(1k2)(x1x2)2

2=1k2223k2(x1x2)4x1x21k―――8分 2|1k|2

而原点O到直线l的距离d＝

21k2,―――9分

112∴SΔOEF=d|EF|221k210分

223k2223k21k.―――22|1k||1k|2223k222k4k220,解得k=±2, 若SΔOEF＝22，即2|1k|满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=

2x2和

y2x2.―――12分

解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k2)x2－4kx－6＝0.

①

∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，

2k1,1k0,∴ 22(4k)46(1k)＞0，3＜k＜3.∴k∈(－3,1)∪(1,3).

②

设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 |x1－x2|＝(x1x2)24x1x2|1k2|223k2|1k2|. ③

当E、F在同一支上时（如图1所示）， SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=

11|OQ|||x1||x2|||OQ||x1x2|； 22当E、F在不同支上时（如图2所示）， SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝

11|OQ|(|x1||x2|)|OQ||x1x2|. 22

综上得SΔOEF＝

1|OQ||x1x2|，于是 2223k2由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝. 2|1k|223k2若SΔOEF＝22，即22k4k220,解得k=±2,满足②. 2|1k|故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=2x2和y=22.

22. （本小题满分12分）

已知函数f(x)=lnxkx1.（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

ln2ln3lnnn(n1)（nN,n1） 34n141（Ⅰ）解：函数f(x)的定义域为(0,)， f(x)k.

x1当k0时，f(x)k0，则f(x)在(0,)上是增函数；Ks5u

x1111当k0时，若x(0,)，则f(x)k0；若x(,)，则f(x)k0.

kxkx11所以f(x)在(0,)上是增函数，在(,)上是减函数. …………4分Ks5u

kk（Ⅲ）证明：

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知k0时，则f(x)在(0,)上是增函数，而f(1)1k0，

f(x)0不成立，

故k0.

当k0时，由（Ⅰ）知f(x)的最大值为f()，要使f(x)0恒成立，Ks5u 则需f()=lnk0，解得k1. …………………8分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当k1时有f(x)0在(0,)恒成立，且f(x)在(1,)上是减函数，f(1)0，所以lnxx1在2,上恒成立. Ks5u

1k1klnnn1.Ks5u n12ln2ln3lnn123n1n(n1)所以=…………12分 4234n1222令xn，则lnnn1，即2lnn(n1)(n1)，从而

222