2013年高考理科数学(新课标Ⅱ卷)

数 学(理科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)< 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝

（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3} （2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=

（A）-1+i

（B）-1-i （C）1+i

（D）1-i

2

（3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ） （A）

11 （B） 33 （C）

1 9 （D）

19（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。直线l满足l⊥m，l⊥n，l,l，则

（A）α∥β且l∥α

（B）α⊥β且l⊥β

（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)的展开式中x的系数为5，则ɑ = （A）-4

（B）-3 （C）-2

（D）-1

5

2

（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=

111111 （B）1 23102!3!10!111111（C）1 （D）1

23112!3!11!（A）1（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则

（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c

x1（9）已知a＞0，x，y满足约束条件xy3 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=

yax311(A) (B) (C)1 (D)2

42（10）已知函数f(x)=x+ax+bx+c，下列结论中错误的是 （A）xα∈R,f(xα)=0

（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形

（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减 （D）若x0是f（x）的极值点，则f'x00

（11）设抛物线y=3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，

2），则C的方程为

（A）y=4x或y=8x （B）y=2x或y=8x （C）y=4x或y=16x （D）y=2x或y=16x

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

212111（A）（0，1） (B)1 (C) (D) ,1,3,2 2223第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD =_______.

（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为

1，则n=________. 14（15）设θ为第二象限角，若tan1 ，则sincos=_________. 42（16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。 （Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。

（18）（本小题满分12分）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2AB。 2（Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD （Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值

（19）（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出

的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t， 100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（Ⅰ）将T表示为x的函数

（Ⅱ）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x100,110）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入100,110的利润T的数学期望。

(20)(本小题满分12分)

x2y2平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：221(a>b>0)右焦点的直线x+y-abB两点，P为AB的中点，且OP的斜率为(Ι)求M的方程

=0交M于A，

1 2（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值

（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=e-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆。 （1） 证明：CA是△ABC外接圆的直径； （2） 若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆

的面积与△ABC外接圆面积的比值。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：x

x2cos 为参数 上，对应参数分别为β=α

y2sin与α=2π为（0＜α＜2π）M为PQ的中点。 （Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

1a2b2c2（Ⅰ）abbcca （Ⅱ）1

3bca

参考答案

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。 (1)A (2)A （3）C （4）D （5）D （6）B （7）A （8）D （9）B （10）C （11）C （12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 (13) 2 (14)8 (15)

10 (16)49 5三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

（18）（本小题满分12分）

（19）（本小题满分12分）

(20)(本小题满分12分)

（21）（本小题满分12分）

（22）（本小题满分10分）

（23）（本小题满分10分）

（24）（本小题满分10分）