一、选择题（共7小题，每小题0分，满分0分）
1．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
2．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A．255分
B．84分 C．84.5分 D．86分
3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
4．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8
2
D．10
5．若关于x的方程x+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
6．如图，直线l：y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（ ）
A．1＜a＜2 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣10＜a＜﹣4
7．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 二、填空题
8．现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 ．
9．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．
10．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
﹣3x=x2﹣5x+1，若x=
11．已知点A（4，y1），B（
，则所捂二次三项式的值为 ．
，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则
y1、y2、y3的大小关系是 ．
12．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交OC的长为半径作
交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
于点E，以点O为圆心，
13．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图： 以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1； 再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2； 再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
14．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）． 发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P 直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值； （3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影 拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．
15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．
三、解答题
16．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小 ①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
17．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费． ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元 （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
18．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE=30°，DA=6．求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，
≈1.73）
19．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO． （1）求证：△CDP≌△POB； （2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形．
20．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P
关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现 ①当α=0°时，（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
22．如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
= ；②当α=180°时，
= ．
天津市河西区2016年中考数学模拟试卷（二）
解析
一、选择题（共7小题，每小题0分，满分0分）
1．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
【考点】剪纸问题．
【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论． 故选C．
【点评】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养．
2．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A．255分
B．84分 C．84.5分 D．86分
【考点】加权平均数． 【专题】计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：85×故选D
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．
3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
+80×
+90×
=17+24+45=86（分），
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
【解答】解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF． 故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形外心的定义，正确把握外心的定义是解题关键．
4．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图． 【专题】计算题．
【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图， ∵AB=AF，AO平分∠BAD， ∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AF∥BE， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AB=EB， 而BO⊥AE， ∴AO=OE， 在Rt△AOB中，AO=∴AE=2AO=8． 故选C．
=
=4，
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．
5．若关于x的方程x+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式得出b﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根， ∴b﹣4ac=2﹣4×1×a＜0， 解得：a＞1． 故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
2
2
2
2
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6．如图，直线l：y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，则a可能在（ ）
A．1＜a＜2 B．﹣2＜a＜0 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣10＜a＜﹣4
【考点】两条直线相交或平行问题． 【专题】计算题．
【分析】先求出直线y=﹣x﹣3与y轴的交点，则根据题意得到a＜﹣3时，直线y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限，而四个选项中，只有﹣10＜a＜﹣4满足条件，故选D． 【解答】解：∵直线y=﹣x﹣3与y轴的交点为（0，﹣3）， 而直线y=﹣x﹣3与直线y=a（a为常数）的交点在第四象限， ∴a＜﹣3． 故选D．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
7．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
【考点】三角形中位线定理；平行线之间的距离． 【专题】压轴题．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN是△PAB的中位线， ∴MN=AB，
即线段MN的长度不变，故①错误； PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确； ∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半， ∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误； ∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤． 故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键． 二、填空题
8．现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽出的卡片所标数字不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次抽出的卡片所标数字不同的有12种情况， ∴两次抽出的卡片所标数字不同的概率是：故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= 24° ．
=．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可． 【解答】解：正三角形的每个内角是： 180°÷3=60°， 正方形的每个内角是： 360°÷4=90°， 正五边形的每个内角是： （5﹣2）×180°÷5 =3×180°÷5 =540°÷5 =108°，
正六边形的每个内角是： （6﹣2）×180°÷6
=4×180°÷6 =720°÷6 =120°， 则∠3+∠1﹣∠2
=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°） =30°+12°﹣18° =24°．
故答案为：24°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
10．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
﹣3x=x﹣5x+1，若x=
2
，则所捂二次三项式的值为 6 ．
【考点】二次根式的化简求值；整式的加减．
【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：设所捂的二次三项式为A， 根据题意得：A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1； 当x=
+1时，原式=7+2
﹣2
﹣2+1=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了整式的加减，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．已知点A（4，y1），B（
，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）﹣1的图象上，则
2
y1、y2、y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】分别计算出自变量为4，【解答】解：把A（4，y1），B（
和﹣2时的函数值，然后比较函数值得大小即可． ，y2），C（﹣2，y3）分别代入y=（x﹣2）2﹣1得：
，y3=（x﹣2）2﹣1=15，
y1=（x﹣2）2﹣1=3，y2=（x﹣2）2﹣1=5﹣4∵5﹣4
＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2． 故答案为y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交OC的长为半径作
交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为
+
于点E，以点O为圆心， ．
【考点】扇形面积的计算． 【专题】压轴题．
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE、AE， ∵点C为OA的中点， ∴∠CEO=30°，∠EOC=60°， ∴△AEO为等边三角形， ∴S扇形AOE=
=π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE） =
﹣
﹣（π﹣×1×
）
=π﹣π+=
+
．
故答案为： +．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=
13．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图： 以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1； 再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2； 再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．
．
【考点】等腰三角形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解． 【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…， 则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…， ∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…， ∴9°n＜90°， 解得n＜10．
由于n为整数，故n=9． 故答案为：9．
【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，
OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）． 发现：
（1）当α=0°，即初始位置时，点P 在 直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值； （3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影 拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．
【考点】圆的综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）在，当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；
（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；
拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN=点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=
﹣AO=2
，如图4，当﹣1，求出x的取
值范围是0＜x≤2﹣1；
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，求出OS=中，SO′=OS•tan60°=2
，KO′=2
=2，在Rt△OSO′
﹣，
﹣在Rt△KGO′中，∠O′=30°，求得KG=KO′=
在Rt△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求． 【解答】解：发现：（1）在，
当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO=AB， ∴∠DOQ=∠ABO=45°， ∴α=60°﹣45°=15°；
（2）如图2，连接AP， ∵OA+AP≥OP，
当OP过点A，即α=60°时，等号成立， ∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，
∴当α=60°时，P、A之间的距离最小， ∴PA的最小值=1；
（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H， 过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2， ∴∠POH=30°， ∴α=60°﹣30°=30°， ∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°， ∴∠RKQ=2×30°=60°， ∴S扇形KRQ=
=
，
在Rt△RKE中，RE=RK•sin60°=，
∴S△PRK=•RE=
拓展：如图5，
，∴S阴影=+；
∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM， ∴△AON∽△BMN， ∴∴BN=
，即，
﹣AO=2
﹣1，
，
如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=∴x的取值范围是0＜x≤2
探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；
﹣1；
①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′， 则∠KSO=∠KTB=90°，
作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中， OS=
=2，
，KO′=2
﹣，
在Rt△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2在Rt△KGO′中，∠O′=30°， ∴KG=KO′=
﹣，
∴在Rt△OGK中，sinα===，
②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα===
=；
③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点， ∴α=60°，
∴sinα=sin60，
或
或
．
综上所述sinα的值为：
【点评】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键．
15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 16或4
．
【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】解：（i）当B′D=B′C时， 过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8， 由AE=3，AB=16，得BE=13． 由翻折的性质，得B′E=BE=13． ∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5， ∴B′G=
=
=12，
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4， ∴DB′=
=
=4
（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）． （iii）当CB′=CD时， ∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上， ∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去． 综上所述，DB′的长为16或4故答案为：16或4
．
．
【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定． 三、解答题
16．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）； （2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小 ①求y与x小的函数关系式（不必写出x小范围）； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据每放入一个大球水面就上升4毫米，即可解答； （2）①根据y=放入大球上面的高度+放入小球上面的高度，即可解答； ②根据题意列出不等式，即可解答．
【解答】解：（1）根据题意得：y=4x大+210；
（2）①当x大=6时，y=4×6+210=234， ∴y=3x小+234；
②依题意，得3x小+234≤260， 解得：
，
∵x小为自然数，
∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式、一元一次不等式．
17．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费． ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元 （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及旅游馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可； （2）利用函数交点坐标求法分别得出即可；
（3）利用（2）的点的坐标以及结合得出函数图象得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；
（2）由题意可得：当10x+150=20x， 解得：x=15，则y=300， 故B（15，300），
当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150）， 当y=10x+150=600， 解得：x=45，则y=600， 故C（45，600）；
（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得： 当0＜x＜15时，普通消费更划算；
当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15＜x＜45时，银卡消费更划算；
当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当x＞45时，金卡消费更划算．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围得出是解题关键．
18．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE=30°，DA=6．求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，
≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】首先过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由∠FAE=30°，DA=6，可求得AN与DN的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，可得AC=
，又由在
△ADM中， =，可得=，继而求得答案．
【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N， 则四边形DMCN是矩形， ∵DA=6，∠FAE=30°，
∴DN=AD=3，AN=AD•cos30°=6×设大树的高度为x，
∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°， ∴tan48°=∴AC=
≈1.11， ，
+ =
， ，
=3
，
∴DM=CN=AN+AC=3∵在△ADM中，
∴=，
解得：x≈13．
答：大树的高度约为13．
【点评】此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
19．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO． （1）求证：△CDP≌△POB； （2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 4 ；
②连接OD，当∠PBA的度数为 60° 时，四边形BPDO是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB； （2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求解；
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点， ∴DP∥AB，
∴DP=AB，∠CPD=∠PBO， ∵BO=AB， ∴DP=BO，
在△CDP与△POB中，
∴△CDP≌△POB（SAS）；
（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积， （4÷2）×（4÷2） =2×2 =4； ②如图：
∵DP∥AB，DP=BO，
∴四边形BPDO是平行四边形， ∵四边形BPDO是菱形， ∴PB=BO，
∵PO=BO， ∴PB=BO=PO，
∴△PBO是等边三角形， ∴∠PBA的度数为60°． 故答案为：4；60°．
【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB．
20．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
【考点】点与圆的位置关系；勾股定理． 【专题】新定义．
【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2， ∵OA′•OA=42， 而r=4，OA=8， ∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合， ∵∠BOA=60°，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形， 而点A′为OC的中点， ∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=∴A′B′=4sin60°=2
．
，
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．
21．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现 ①当α=0°时，（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 【考点】几何变换综合题． 【专题】压轴题．
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
=
；②当α=180°时，
=
．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据少，进而判断出
的大小没有变化即可．
，求出
的值是多少．
的值是多少即可．
的值是多
，判断出△ECA∽△DCB，即可求出
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【解答】解：（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=
∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴∴
．
，
，
②如图1，，
当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵∴
， =
． ．
故答案为：
（2）如图2，，
当0°≤α＜360°时，∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵
，
的大小没有变化，
∴△ECA∽△DCB， ∴
．
（3）①如图3，，
∵AC=4∴AD=
，CD=4，CD⊥AD，
=
，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
．
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE=
∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6， 由（2），可得
，
=2，
∴BD==．
综上所述，BD的长为4或．
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
22．如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，借助于方程可以求得h的值；利
用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；
（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：yC=﹣h+1，则由二次函数的最值的求法易得yc的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y1与y2的大小；
（3）根据已知条件“O（0，0），A（﹣5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．
【解答】解：（1）把点B的坐标B（2，1）代入y=﹣（x﹣h）2+1，得 1=﹣（2﹣h）+1． 解得h=2．
则该函数解析式为y=﹣（x﹣2）+1（或y=﹣x+4x﹣3）． 故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；
（2）点C的横坐标为0，则yC=﹣h+1． 当h=0时，yC=有最大值1，
此时，抛物线l为：y=﹣x+1，对称轴为y轴，开口方向向下， 所以，当x≥0时，y随x的增大而减小， 所以，x1＞x2≥0，y1＜y2；
（3）∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O（0，0），A（﹣5，0）， ∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）． 把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）+1，得 0=﹣（﹣1﹣h）2+1， 解得h1=0，h2=﹣2．
但是当h=﹣2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去． 同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得 h=﹣5或h=﹣3（舍去）． 综上所述，h的值是0或﹣5．
【点评】本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h的值根据实际意义进行取舍．
2
2
22
2
2
2
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