湖南省长沙一中高三数学文科第四次月考试卷

高三月考试卷（四）

文科数学

命题：某某市一中高三数学备课组

时量:120分钟 满分:150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的） 1.抛物线x2=4y的焦点坐标为（ A ）

A．（0，1） B．（1，0） C．（1，0） D．（0，1）

442．若0＜x＜4成立的必要条件是|x-1|＜a，则实数a的取值X围是（ C ） A．a＜3 B．a＞3 C．a≥3 D．a≤3

3.已知数列{an}满足an=-3n+125，Sn是前n项和，则当Sn取得最大值时，n为（ B ） A．42 B．41 C．40 D．39

4.如果方程x2+ky2=3表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值X围是（ D ） A.(0,+∞) B.（0，2） C.（1，+∞） D.（0，1）

5.已知a、b是非零向量租满面足（3a-b）⊥a，（4a-b）⊥b,则a与b的夹角是（ A ）

2π5πππA. B. C. D. 63366.函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,| φ|≤A．y=-3sin(C．y=-3sin(

π)的部分图象如图，则函数的一个表达式为（ A ） 2ππππx+) B．y=3sin(x+) 6363ππππx-) D．y=3sin(x-) 6363x07.在约束条件y1下，目标函数S=2x+y的最大值为（ B ）

2x2y10A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知映射f:A→B其中A=[0，3]，B=R，对应法则f:x→y=-x2+2x,对于实数k∈B在集合A 存在唯一的原象，则k取值X围是（ D ）

A．k＞1 B．-3≤k≤1 C．-3≤k＜0 D．-3≤k＜0或k=1

x2y22

9．已知抛物线y=2px(p＞0)与双曲线2-2=1有个相同的焦点F，点A是两曲线的交点，

ab且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ C ）

51221 B．3+1 C．2+1 D． 221g|x2|,x210.定义域为R的函数f(x)=,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的

1 ,x2A．

word

实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（ C ）

A．0 B．21g2 C．3lg2 D．1

选择题答题卡

题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 C 10 C 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上）

11．已知角θ的终边过点（4，-3），则

3sin(2π-)等于  .

4cos(π-)12.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表： x y -4 10 -3 4 -2 0 -1 -2 0 -2 1 0 2 4 3 10 则不等式cx2+bx+a≥0的解集是 x|1x1 . 213.已知数列{an}中，a1=1,an+1an+2an+1-2an=0(n∈N+).则数列{an}的通项公式为 an14．以（0，1）为圆心的圆完全落在区域2 . n1x2y50π内，则圆面积的最大值为 .

2xy2015．已知：x4+y2=1,给出以下结论：①它的图象关于x轴对称，②它的图象关于y轴对称；

③它的图象是一个封闭图形，且面积小于π；④它的图象是一个封闭图形，且面积大于 π,以上说法中，正确命题的序号是①②④. 三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）

在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=且△ABC的面积为

3，求b. 245

解：由a、b、c成等差数列得a+c=2b，平方得a2+c2=4b2-2ac①. (2分) 又S△ABC=故ac=

3113442且sinB=,∴S△ABC=ac·sinB=ac×=ac=. 222255515②. (4分) 415③. （5分） 2由①②可得a2+c2=4b2-又∵sinB=

1634，且a、b、c成等差数列，∴cosB=1sin2B=1=. （8分）

2555word

由余弦定理得：b2=a2+c-2ac·cosB=a2+c2-2×

153229×=a+c- ④. (10分) 452由③④可b2=4, ∴b=2. (12分)

17．（本小题满分12分）

设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数例{an}为等差数例，且a5=14,a7=20. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）若=an·bn,n=1,2,3,…,Tn为数列{}的前n项和.求证：Tn＜解：（1）由bn=2-2Sn,令n=1，则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=b2=2-2(b1+b2),则b2=

2. 37. 22. (2分) 9b1当n≥2时，由bn=2-2Sn,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn即n=.

bn13所以{bn}是以b1=

211为首项，为公比的等比数列，于是bn=2·n. （4分） 3331（a7-a5）=3,可得an=3n-1. （6分） 2(2)数列{an}为等差数列，公差d=

1从而=an·bn=2(3n-1)·n. （8分）

31111Tn=2[2·+5·2+8·3+…+（3n-1）·n]，

333311111∴Tn=2[2·2+5·3+…+（3n-4）·n+（3n-1）·n1]. （10分） 33333∴

211111Tn=2[2·+3·2+3·3+…+3·n-（3n-1）·n1]. 3333337717n-·n-n1＜. (12分) 22332从而Tn=

18．（本小题满分12分）

已知平面上一个定点C（-1，0）和一条定直线l：x=-4,P为该平面上一动点，作PQ⊥l， 垂足为Q，（PQ+2PC）（PQ-2PC）=0. （1）求点P的轨迹方程； （2）求PQ·PC的取值X围. 解：（1）由（PQ+2PC）（PQ-2PC）=0，∴|PQ|2=4|PC|2. （2分）

设P（x,y），得|x+4|2=4[(x+1)2+y2], ∴3x2+4y2=12.

x2y2∴点P的轨迹方程为+=1； （6分）

43（2）设P（x,y），∴PQ=（-4-x，0），PC=（-1-x,-y）. (8分) PQ·PC=（-4-x,0）·（-1-x，-y）=x2+5x+4=(x+

529)-. (10分) 24由x∈[-2，2]，故有PQ·PC∈[-2，18]. （12分）

19．（本小题满分12分）

word

已知命题：p：对任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤a28恒成立； q:函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1存在极大值和极小值. 求使命题“┐p且q”为真命题的m的取值X围. 解：对p：|m-5|≤a28对任意a∈[1，2]恒成立，

只需|m-5|小于a28的最小值， （2分） 而当a∈[1，2]时，a28≥3， （3分） ∴|m-5|≤3，即2≤m≤8. （5分） 对q：f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1存在极大值与极小值，

∴f′(x)=3x2+2mx+m+6=0有两个不等的实根， （7分） ∴4m2-12(m+6)＞0,即m2-3m-18＞0, (9分) ∴m＞6或m＜-3. (10分) 要使命题“┐p且q”为真，只需m＜-3或m＞8,故m的取值X围为（-∞,-3）U(8,+ ∞)

(12分)

20．（本小题满分13分）

已知f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a∈R)

（1）若f(x)能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和,求g(x)和h(x)的解析式； （2）若f(x)和g（x）在区间（-∞，（a+1）2]上都是减函数，求a的取值X围； （3）在（2）的条件下，比较f(1)与

1的大小. 6解：（1）设f(x)=g(x)+h(x)……①,其中g(x)是奇函数，h（x）是偶函数，

则有f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)……② 联立①，②可得：

g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+lg|a+2|.(直接给出这两个函数也给分) （3分） （2）函数g(x)=(a+1)x当且仅当a+1＜0，即a＜-1时才是减函数， ∴a＜-1.

又f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|=(x+∴f(x)的递减区间是（-∞，-由已知得（a+1）2≤-a1, 2(a1)2a12

)+lg|a+2|-, （14分) 42a1）， （5分） 2a1,3∴解得-≤a＜-1. a122(a1),2∴a取值X围是[-

3，-1]. (8分) 23≤a＜-1), 2（3）f(1)=1+(a+1)+lg|a+2|=a+2+lg|a+2|(-

word

又函数y=（a+2）和函数y=lg|a+2|在[-∴f(1)≥(-∴f(1)＞

3，-1]上为增函数， （10分） 233111111111+2)+lg|(-)+2|=+lg =+·lg＞+·lg=. 22232382310611即f（1）大于. (13分) 6621．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切

x2y2于坐标原点O.椭圆2+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

a9（1）求圆C的方程；

（2）试探究圆C上是否存在异于原点的Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）设圆心坐标为（m,n）(m＜0,n＞0),则该圆的方程为（x-m）2+(y-n)2=8.

已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 |mn|=22，即|m-n|=4.……① (1分) 2又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得

m2+n2=8……② (2分) 联立方程①和②组成方程组解得m2, （4分）

n2,x2y2+=1，其半焦距c=259=4，右焦点F（4，0），259故圆的方程为（x+2）2+(y-2)2=8； （6分） （2）|a|=5，∴a2=25,则椭圆的方程为

那么|OF|=4. （8分） 要探求是否存在异于原点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为4的圆（x-4）2+y2=16与（1）所求的圆的交点数.

（10分） 通过联立两圆的方程解得x=即存在异于原点的点Q（

412,y=. (12分) 55412，），使得该点到右焦点F的距离等于线段OF的长.(14分) 55