广东省江门市开平市风采华侨中学2014届高三（上）第一
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数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知函数M∩N=（ ） A． {x|x＞﹣1} 答案：C 的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则
B． {x|x＜1} C． {x|﹣1＜x＜1} D． ∅ 2．（5分）函数f（x）=﹣sin（2x+π）在其定义域上是（ ） A．周期为π的奇函数 周期为π的偶函数 C．答案：C
3．（5分）（2已知向量为（ ） A． B． B． 周期为2π的奇函数 D． 周期为2π的偶函数 ，=（2，1），如果向量
2 C． 与D． 垂直，则x的值
答案：D
4．（5分）（由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（ ） 4+ln3 A．B． 2﹣ln3 C． D． 4﹣ln3 答案：D 22
5．（5分）若点P（1，1）为圆x+y﹣6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（ ） A．2x+y﹣3=0 B． x﹣2y+1=0 C． x+2y﹣3=0 D． 2x﹣y﹣1=0 答案：D 6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ②若m⊥α，m∥β，则α⊥β； ③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β． 其中错误命题的序号是（ ） .①④ .①③ .②③④ .②③ A．B． C． D． 答案：A 7．（5分）（一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． （4+π） C． D． 解答： 解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形， 四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是故选D． 8．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（ ） A．B． 解答： 解：设双曲线方程为 =， =， C． D． （a＞0，b＞0），则 ∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ， ∴，∴c=3，a=2，∴b=c﹣a=5 222∴双曲线方程为 ． 故选B． 二、填空题：本题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题（9～13题）
2
9．（5分）（2013•广东）不等式x+x﹣2＜0的解集为 （﹣2，1） ．
53
10．（5分）（2012•贵州模拟）（x+1）（1﹣2x）展开式中，x的系数为 ﹣40 （用数字作答）．
11．（5分）已知x、y满足约束条件
，则z=x+y的最大值是 7 ．
12．（5分）（2013•广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ﹣1 ． 解答： ′解：由题意得，y=k+， ∵在点（1，k）处的切线平行于x轴， ∴k+1=0，得k=﹣1， 故答案为：﹣1． 13．（5分）（2013•广东）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= 20 ． 解答： 解：由等差数列的性质得： 3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20， 故答案为：20． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（3分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为
（t为参数）和
（θ为参数），则曲线C1与
C2的交点坐标为 （1，1） ． 15．（3分）（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与 O C 的延长线交于点P，则图PA= ．
解答： 解：连接OA， ∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC=30°， ∴圆心角∠AOC=60°． 又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径， ∴OA⊥PA， ∴Rt△PAO中，OA=1，∠AOC=60°， ∴PA=OAtan60°= 故答案为：
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值； （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解答： 解：（1）样本均值为 （2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人， 所以12名工人中有4名优秀工人 （3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A， 所以， 即恰有1名优秀工人的概率为． 17．（12分）（2009•泰安一模）△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，向量
．
（1）求角B的大小；
（2）若a=，b=1，求c的值． 解答： 解：（1）由于，所以即即2sinB+2sinB﹣2+1﹣2sinB=0， 解得． 22，所以， ，
由于0＜B＜π，所以或；（6分） ， （2）由a＞b，得到A＞B，即B=222由余弦定理得：b=a+c﹣2accosB， 代入得：2， 即c±3c+2=0， 解得c=1或c=2．（12分） 18．（13分）（2011•广东）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点 （1）证明：AD⊥平面DEF
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
解答： 解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=222， 发现AG+BG=AB，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG ∴DE⊥AD， 又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G， ∴AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB，又PB∥EF， ∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF． （2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在△PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得 cos∠PGB=，因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为． 19．（14分）（2013•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，n∈N．
（1）求a2的值；
*
，
（2）求数列{an}的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有解解：（1）当n=1时，答： （2）当n≥2时，①﹣②得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即当n=1时，所以数列{所以 }是以1为首项，1为公差的等差数列 ，即 ，n∈N （n≥2） = 20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为
，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，
*．
，解得a2=4 ① ② ， 所以数列{an}的通项公式为（3）因为所以其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程； （3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值． 解解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离答： 2所以抛物线C的方程为x=4y （2）设，， ，所以切线PA，PB的斜率分别为，解得c=1 由（1）得抛物线C的方程为，
所以PA：联立①②可得点P的坐标为①PB：，即，② 又因为切线PA的斜率为，整理得 直线AB的斜率所以直线AB的方程为整理得，即 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2 所以直线AB的方程为（3）根据抛物线的定义，有所以由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2 所以=所以当时，|AF|•|BF|的最小值为 x2 ， =21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x﹣1）e﹣kx（k∈R）． （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）当
时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
x2xxx解答： 解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e﹣xf'（x）=e+（x﹣1）e﹣2x=x（e﹣2） 令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞） 0 0 + f'（x） + ﹣ ↗ ↘ ↗ f（x） 极大值 极小值 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2） （2）f（x）=（x﹣1）e﹣kx，x∈[0，k]，xxx2． f'（x）=xe﹣2kx=x（e﹣2k）f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k） 令φ（k）=k﹣ln（2k），，
所以φ（k）在＜＜k． 即0＜ln（2k）＜k 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x （0，ln（2k）） ln（2k） （ln（2k），k） 0 + f'（x） ﹣ ↘ ↗ f（x） 极小值 f（0）=﹣1，f（k）=（k﹣1）e﹣kf（k）﹣f（0）=（k﹣1）e﹣k+1=（k﹣1）e3k2k2﹣（k﹣1）=（k﹣1）e﹣（k﹣1）（k+k+1）=（k﹣1）[e﹣（k+k+1）] 因为对任意的，所以k﹣1≤0 ，y=e的图象恒在y=k+k+1下方，所以e﹣（k+k+1）≤0 x2k2k3k3k上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0） k3所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e﹣k.
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