一．填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）. 1．已知复数z满足z＝2﹣i（i为虚数单位），则z•＝ ． 2．已知函数3．在行列式D＝
﹣﹣
的反函数为f1（x），则f1（3）＝ ．
中，元素3的代数余子式的值为 ．
4．在的二项展开式中，x6项的系数是 ．
5．已知x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为 ．
6．方程的解为x＝ ．
7．已知一组数据a，3，﹣2，6的中位数为4，则其总体方差为 ． 8．已知函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，若g（﹣1）＝7，则g（1）＝ ． 9．直线l：（n+2）x﹣y+2n﹣1＝0（n∈N*）被圆C：（x﹣1）2+y2＝16所截得的弦长为dn，则
＝ ．
10．非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，7，8}，从集合M的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是 ．（结果用最简分数表示） 11．函数
，若有且仅有一个实数m满足：①
；②x＝m是函数图象的对称轴，则ω的取值范围是 ．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足
，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积
是 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
13．若m，n∈R，i是虚数单位，则“m＝n”是“（m﹣n）+（m+n）i为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知数列{an}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则数列{an}的前n项和Sn（ ） A．无最大值，有最小值 C．有最大值，无最小值 15．在四边形ABCD中，（ ） A．2
B．6
C．
D．
B．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 ，且满足
，则
＝
16．已知函数f（x）的定义域为D，值域为A，函数f（x）具有下列性质：（1）若x，y∈D，则
；（2）若x，y∈D，则f（x）+f（y）∈A．下列结论正确的是（ ）
①函数f（x）可能是奇函数； ②函数f（x）可能是周期函数； ③存在x∈D，使得
；
④对任意x∈D，都有f2（x）∈A． A．①③④
B．②③④
C．②④
D．②③
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BB1⊥底面ABC，AB⊥BCD是棱AB的中点．
（1）求证：直线BC与直线DC1为异面直线； （2）求直线DC1与平面A1BC所成角的大小．
18．已知，（a为实常数）
（1）当a＝1时，求不等式的解集；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）中有零点，求a的取值范围．
19．如图，A，B，C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，AB＝30公里，AC＝10公里，∠BAC＝60°，D是圆形区域外一景点，∠DBC＝90°，∠DCB＝60°． （1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）
（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）
20．（16分）焦点为F的抛物线与圆交于A，B两点，
其中A点横坐标为xA，方程动点．
P是曲线Γ上一的曲线记为Γ，
（1）若P在抛物线上且满足|PF|＝3，求直线PF的斜率；
（2）T（m，0）是x轴上一定点．若动点P在Γ上满足x≤xA的范围内运动时，|PT|≤|AT|恒成立，求m的取值范围；
（3）Q是曲线Γ上另一动点，且满足FP⊥FQ，若△PFQ的面积为4，求线段PQ的长．
21．（18分）已知无穷数列{an}与无穷数列{bn}满足下列条件：①an∈{0，1，2}，n∈N*；②
＝（﹣1）n•|an﹣an+1|，n∈N*．记数列{bn}的前n项积为Tn． （1）若a1＝b1＝1，a2＝0，a3＝2，a4＝1，求T4；
（2）是否存在a1，a2，a3，a4，使得b1，b2，b3，b4成等差数列？若存在，请写出一组a1，a2，a3，a4；若不存在，请说明理由； （3）若b1＝1，求T2021的最大值．
参考答案
一．填空题（满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分）. 1．已知复数z满足z＝2﹣i（i为虚数单位），则z•＝ 5 ． 解：因为z＝2﹣i，所以所以z
，
＝（2﹣i）（2+i）＝4+1＝5，
故答案为：5． 2．已知函数解：令f（x）＝故f﹣1（3）＝5． 故答案为：5． 3．在行列式D＝
中，元素3的代数余子式的值为 ﹣10 ． 的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝ 5 ． ，解得x＝5，
解：在行列式D＝中，元素3的代数余子式的值为：
（﹣1）1+2[2×4﹣（﹣2）×1]＝﹣10， 故答案为：﹣10． 4．在
的二项展开式中，x6项的系数是 56 ．
解：由已知可得展开式中含x6的项为： C
＝2×28x6＝56x6，
所以展开式中x6项的系数为56， 故答案为：56． 5．已知x，y满足
，则z＝x﹣2y的最大值为 9 ．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣1，﹣5），
，由图可知，当直线y＝
过A时，直线在y轴上的截距最
由z＝x﹣2y，得y＝小，
z有最大值为9． 故答案为：9． 6．方程解：∵
的解为x＝ 2 ． ，
∴，
解得x＝2． 故答案为：2．
7．已知一组数据a，3，﹣2，6的中位数为4，则其总体方差为 解：因为数据a，3，﹣2，6的中位数为4， 所以
，故a＝5，
，
． ．
所以这组数据的平均数为故方差为故答案为：
[（﹣2﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2+（6﹣3）2]＝．
8．已知函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，若g（﹣1）＝7，则g（1）＝ ﹣11 ． 解：根据题意，函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|，
则f（1）＝g（1）+1，f（﹣1）＝g（﹣1）+3，
又由函数f（x）＝g（x）+|2x﹣1|为奇函数，则f（﹣1）+f（1）＝g（1）+g（﹣1）+4＝0，
则g（1）＝﹣11， 故答案为：﹣11．
9．直线l：（n+2）x﹣y+2n﹣1＝0（n∈N*）被圆C：（x﹣1）2+y2＝16所截得的弦长为dn，则
＝
．
解：圆C：（x﹣1）2+y2＝16的圆心（1，0），半径为4， 由点到直线的距离公式可得dn＝2
＝
＝
2，
＝2＝＝2．
故答案为：2．
10．非空集合A中所有元素乘积记为T（A）．已知集合M＝{1，4，5，7，8}，从集合M的所有非空子集中任选一个子集A，则T（A）为偶数的概率是 分数表示）
解：因为集合M＝{1，4，5，7，8}，
所以集合M的所有非空子集共有25﹣1＝31种， 若T（A）为奇数，则A中元素全部为奇数， 又{1，3，5}的非空子集个数，共有23﹣1＝7种， 所以T（A）为偶数的共有31﹣7＝24种， 故T（A）为偶数的概率是故答案为：11．函数
．
，若有且仅有一个实数m满足：①
．
．（结果用最简
；②x＝m是函数图象的对称轴，则ω的取值范围是 [，） ．
解：∵函数
若有且仅有一个实数m满足：①故函数的图象的对称轴只有一条在[0，∴ω•m+
＝kπ+
，即 x＝（kπ+
＝2sin（ωx+
），
；②x＝m是函数图象的对称轴， ]上， ）•
，k∈Z， ，
令k＝0，可得函数的图象的对称轴方程 x＝∴
≤
，且
+
＞
，
求得≤ω＜， 故答案为：[，）．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足
，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是
．
解：因为所以D1P⊥CP，
，
故P在以CD1为直径的球面上，且P在平面ACC1A1上，
则P在面ACC1A1截球所得的圆上，设该圆半径r，且正方体棱长为2， 则CD＝2
，球半径R＝
＝
，
连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1， 所以B1D1⊥平面ACC1A1， 所以D1到平面ACC1A1的距离d1＝因为O为CD1中点，
所以O到平面ACC1A1的距离d＝
＝
， ＝
，
所以圆半径r＝圆面积S＝πr2＝故答案为：
．
．
＝，
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
13．若m，n∈R，i是虚数单位，则“m＝n”是“（m﹣n）+（m+n）i为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
，解得m＝n≠0．
解：复数z＝m﹣n+（m+n）i为纯虚数，可得
∴“m＝n”是“复数z＝m﹣n+（m+n）i为纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B．
14．已知数列{an}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0，则数列{an}的前n项和Sn（ ） A．无最大值，有最小值 C．有最大值，无最小值
B．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
解：根据题意，数列{an}是无穷等比数列，若a1＜a2＜0， 则其公比q＝
＞0，数列{an}所有项为负，
则有a2＝S2﹣S1＜0，即有S1＞S2， 同理可得S1＞S2＞……＞Sn＞……，
故数列{an}的前n项和Sn有最大值，无最小值， 故选：C．
15．在四边形ABCD中，（ ） A．2 解：∵
∴AC为∠BAD的角平分线，
B．6
，
C．
D．
，且满足
，则
＝
∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠BCA，|故选：D．
16．已知函数f（x）的定义域为D，值域为A，函数f（x）具有下列性质：（1）若x，y∈D，则
；（2）若x，y∈D，则f（x）+f（y）∈A．下列结论正确的是（ ）
|＝
＝2
，
①函数f（x）可能是奇函数； ②函数f（x）可能是周期函数； ③存在x∈D，使得
；
④对任意x∈D，都有f2（x）∈A． A．①③④
B．②③④
C．②④
D．②③
解：①中，若f（x）为奇函数，则由性质（1）得，f（x）≠0，所以当y＝﹣x时，f（x）+f（y）＝f（x）+f（﹣x）＝0∉A，性质（1）（2）矛盾，①错误；
若f（x）为周期函数，则f（x）＝f（x+T），T为周期，当A∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，性质（1）（2）均成立，结论②正确；
由上述分析可知，当A∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时f（x）的值域为R，所以一定存在x0使得f（x0）＝
，结论③正确；
由性质（2）可得当y＝x时，f（x）+f（y）＝2f（x）∈A，故A为无穷集合，故f2（x）∈A，结论④正确． 故选：B．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BB1⊥底面ABC，AB⊥BCD是棱AB的中点．
（1）求证：直线BC与直线DC1为异面直线； （2）求直线DC1与平面A1BC所成角的大小．
【解答】（1）证明：假设直线BC与直线DC1共面， ∵点B，C，D∈平面ABC，
而过直线BC和直线BC外一点D有且只有一个平面， ∴C1∈平面ABC，矛盾！（1分）
假设不成立 故直线BC与直线DC1为异面直线． （1分） （2）解：如图，以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（1分） 则B（0，0，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），设平面A1BC的一个法向量则
，取
，
，（1分）
，
，
，
D（0，1，0），C1（2，0，2），
设直线DC1与平面A1BC所成角所成角为θ， 则
所以θ＝45°．（1分）
，（1分）
18．已知，（a为实常数）
（1）当a＝1时，求不等式的解集；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）中有零点，求a的取值范围． 解：（1）当a＝1时，不等式所以x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0， 所以不等式的解集为（﹣1，0）；
（2）因为函数f（x）在（0，+∞）中有零点， 所以
，x∈（0，+∞）有解，
，化简可得
，
则（x＞0），
因为的取值范围是[2，+∞），
．
故a的取值范围是
19．如图，A，B，C三地在以O为圆心的圆形区域边界上，AB＝30公里，AC＝10公里，∠BAC＝60°，D是圆形区域外一景点，∠DBC＝90°，∠DCB＝60°． （1）O、A相距多少公里？（精确到小数点后两位）
（2）若一汽车从A处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD行驶到D处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）
解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得，
BC2＝AB2+AC2﹣2AB⋅ACcos∠CAB＝302+102﹣2⋅30⋅10⋅cos60°＝700， ∴则
，
＝
≈15.28（公里）．
答：O、A相距约15.28公里；
（2）在Rt△CBD中，BD＝BC•tan60°＝在△ABC中，即∴∴
AD2
＝
AB2+BD2
﹣
2AB
⋅．
∴
（公里）．
小时．
，∴
，
，
，
BDcos
∠
ABD
＝
，
∴所需时间为
答：从A行驶到D约需要1.25 小时．
20．（16分）焦点为F的抛物线与圆交于A，B两点，
其中A点横坐标为xA，方程动点．
P是曲线Γ上一的曲线记为Γ，
（1）若P在抛物线上且满足|PF|＝3，求直线PF的斜率；
（2）T（m，0）是x轴上一定点．若动点P在Γ上满足x≤xA的范围内运动时，|PT|≤|AT|恒成立，求m的取值范围；
（3）Q是曲线Γ上另一动点，且满足FP⊥FQ，若△PFQ的面积为4，求线段PQ的长．
解：（1）P是抛物线y2＝4x上满足|PF|＝3的点， 过点P作PN⊥l于N，
由抛物线的定义可知，|PF|＝|PN|，
设P（x′，y′），则x′+1＝3，解得x′＝2， 又因为点P在抛物线上， 所以y′2＝8，得y′＝±2所以直线PF的斜率为k＝（2）设P（x1，y1）， 由
所以A（3，2
，得），B（3，﹣2
， ），xA＝3， ，
＝±2
．
由|PT|≤|AT|，得（x1﹣m）2+y12≤（3﹣m）2+12， 即x12﹣2mx1+m2+4x1≤21﹣6m+m2， 因为x1≤xA＝3，所以m≤令f（x）＝（x﹣3+6﹣当x＝0时，
＝（x﹣3+6﹣
），
），则是增函数，且0≤x＜3，
取得最小值，所以m≤，
即|PT|≤|AT|恒成立的范围是（﹣∞，]． （3）点P，Q都是Γ上的动点， ①当P，Q都在圆弧上时， |FQ|＝|FP|＝4，PF⊥QF， 所以S△PFQ＝×4×4＝8， 不满足S△PFQ＝4的条件．
②当P在抛物线上，Q在圆上， 由S△PFQ＝4，得|PF|＝2，
在Rt△PFQ中，|PF|2+|PQ|2＝22+42＝20， ③当P，Q都在抛物线上， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 所以|PF|＝x1+1，|QF|＝x2+1， 因为FP⊥FQ， 所以kPF•kQF＝﹣1，即
•
＝﹣1，
所以＝﹣1，
所以y12y22﹣4（y12+y22）+16y1y2+16＝0，① 因为△PFQ的面积为4， 所以|PF||QF|＝4， 所以（x1+1）（x2+1）＝8， 所以x1x2+（x1+x2）﹣7＝0， 所以
•
+（
+
）﹣7＝0，
所以y12y22+4（y12+y22）﹣112＝0②， ①+②得，2y12y22+16y1y2﹣96＝0， 所以y12y22+8y1y2﹣48＝0， 令t＝y1y2， 则t2+8t﹣48＝0， 解得t＝﹣12或t＝4， 即y1y2＝﹣12或y1y2＝4， 代入②得
（舍）或
，
若y1y2＝4＞0，则y1，y2同号，且y1≠y2， 由②可知﹣2
≤y1≤2
，﹣2
≤y2≤2
，
所以y12+y22＜24矛盾， 所以
综上所述，|PQ|＝2
（舍）， ．
21．（18分）已知无穷数列{an}与无穷数列{bn}满足下列条件：①an∈{0，1，2}，n∈N*；②
＝（﹣1）n•|an﹣an+1|，n∈N*．记数列{bn}的前n项积为Tn． （1）若a1＝b1＝1，a2＝0，a3＝2，a4＝1，求T4；
（2）是否存在a1，a2，a3，a4，使得b1，b2，b3，b4成等差数列？若存在，请写出一组a1，a2，a3，a4；若不存在，请说明理由； （3）若b1＝1，求T2021的最大值． 解：（1）由
得，
，
由得，，
由得，，
∴；
（2）不存在．假设存在，设b1，b2，b3，b4公差为d，
若b1＞0，则b2＜0，b3＜0，b4＞0，公差d＝b2﹣b1＜0，d＝b4﹣b3＞0，矛盾； 若b1＜0，则b2＞0，b3＞0，b4＜0，公差d＝b2﹣b1＞0，d＝b4﹣b3＜0，矛盾， ∴假设不成立，故不存在；
（3）由题意，b1＝1＞0，且b4k﹣3＞0，b4k﹣2＜0，b4k﹣1＜0，b4k＞0， 设
进一步得到|bn+2|＝qn•qn+1•|bn|， 显然qn•qn+1的值从大到小依次为
，
，
，得|bn+1|＝qn•|bn|，
（i）若qn•qn+1＝1，则，则，不可能；
（ii）若，则或，则或
，不可能；
（iii）若，则，则，不可能；
∴，当或取得，
∴∴
，
，
，
∴|T2021|＝|b1•b2•b3……b2021|＝|b1•b3•b5……b2021|•|b2•b4•b6……b2020|
＝
，当{an}：2，0，2，
0，2，0……取得， 又T2021＞0， ∴
．
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