课程目标
知识点 空间几何体 考试要求 A 具体要求 了解典型的空间几何体，了解典型的空间几何体的表面积与体积，并能识别它们的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图． 知道锥体、柱体、球等常见几何体的结构特征，并能够根据几何特征识别出各个几何体． 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式． 了解平面截球、柱体、锥体所得的截面的形状． 了解圆锥、圆柱、棱锥、棱柱的展开图． 了解表面距离与空间距离的区别． 了解球面距离的概念． 会用斜二侧法画出它们的直观图． 考察频率 必考 空间几何体的结构特征 B 少考 表面积与体积 截面分析 展开图 表面距离 球面距离 直观图 A A A A A B 必考 少考 少考 少考 少考 少考 知识提要
空间几何体
只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
空间几何体的结构特征
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．
按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体 ．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．
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旋转体
由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．
棱柱的结构特征
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．
底面是三角形、四边形、五边形 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 ，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱 或棱柱 ．
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．
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棱锥的结构特征
一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
底面是三角形、四边形、五边形 的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．
棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．
棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台
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（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．
圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫
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做圆锥（circular cone）．
圆台的结构特征
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．
球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．
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表面积与体积
多面体的表面积
多面体的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． 表面积公式
直棱柱 侧 ， 全 底（其中 为底面周长， 为棱柱的高）． 正棱锥 侧 ， 全 底（其中 为底面周长， 为棱锥的斜高）． 圆柱 侧 ， 全 （其中 为底面半径， 为圆柱的母线长）．
圆锥 侧 ， 全 （其中 为底面半径， 为圆锥的母线长）．
圆台 侧 ， 全 （其中 为下底面半径， 为上底面半径， 为圆台的母线长）． 球 （其中 为球的半径）． 体积公式
柱体 （其中 为柱体的底面积， 为柱体的高）． 锥体 （其中 为锥体的底面积， 为锥体的高）．
台体 （其中 、 分别为台体的上、下底面积， 为台体的
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高）．
球体 （其中 为球的半径）．
截面分析
截面
用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面． 平行截面、中截面
与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面． 轴截面
包含立体图形的轴线的截面称为轴截面． 球截面
球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．
球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．
展开图
空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．
表面距离
连接空间形体的表面上两点，且包含于空间形体的表面的曲线段的最小长度称为这两点在该空间形体上的表面距离．
球面距离
球面距离指在球面上两点之间的最短距离，也即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．
直观图
空间图形的直观图
用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．空间几何体的直观图通常是在平行
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投影下画出的空间图形．对于平面多边形，我们通常用斜二测画法画它们的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 斜二测画法的步骤
① 在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴，两轴相交于点 ．画直观图时，把它们画成对应的 轴和 轴，两轴交于点 ，且使 或 ，它们确定的平面表示水平面．
② 已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段．
③ 已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的线段，长度为原来的一半． 对斜二测画法的补充
① 空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个 轴， 轴是与空间几何体的高平行的．
② 采用斜二测画法画出的平面图形的直观图面积是原平面图形面积的 倍．
③ 在立体几何中，通常用正等测画法画圆的直观图．正等测画法的依据仍是平行投影的性质．此时所画的圆的直观图是椭圆．
精选例题
空间几何体
1. 正六棱锥的底面积周长为 ，高为 ，那么它的侧棱长是 ，斜高是 ．
【答案】 ；
【分析】 如图，
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正六棱锥 中，高 ， ， 在 中，侧棱长为 ； 在 中，斜高为
．
．
2. 平行投影的投影线是互相平行的． （在横线上填写“对”或“错”）
【答案】 对
3. 同一个水平放置的平面图，用斜二测画法画出的直观图一定相同． （在横线上填写“对”或“错”）
【答案】 错
4. 如图是 用斜二测画法画出的直观图，则 的面积是 ．
【答案】
5. 长方体的六个面都是 ，相对的两个面的位置关系是 ．
【答案】 矩形；平行
6. 一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为 的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为 ．
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【答案】
【分析】 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个球组成，
所以表面积为 ．
7. 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径 毫米，滴管内液体忽略不计．如果瓶内的药液恰好 分钟滴完，则每分钟应滴下 滴．
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【答案】
8. 如图所示的是水平放置的三角形 在直角坐标系中的直观图，其中 是 的中点，且 ，则原图形中与线段 的长相等的线段有 条．
【答案】
【分析】 为直角三角形，由 为 中点，所以 ． 所以与 的长相等的线段有两条．
9. 用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种： ．
①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④圆柱 ⑤圆锥 ⑥圆台 ⑦球
【答案】 ①②③⑤
10. 已知正四面体 的棱长为 ，其四个面的中心分别为 ， ， ， ，设四面体 的棱长为 ，则 ．
【答案】
【分析】 根据三角形相似及中位线求解．
11. 下图几何体的下部是底面为正方形的长方体，上部是侧面皆为等边三角形的四棱锥，尺寸如图，请在相应的方框中画出该几何体的三视图． （不用写出作图过程， 取 作为近似值）
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【解】
12. 如图，在多面体 中，已知 是边长为 的正方形， ， ，
与平面 的距离为 ，求该多面体的体积．
【解】 如图，连接 ， ，由题意可知四棱锥 的体积 ．
因为 ， ， 所以
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所以
．
所以多面体 的体积 ．
13. 已知正四棱锥底面边长为 ，高与斜高夹角为 ，求其斜高、侧面积和全面积．
【解】
设正棱锥的高为 ，斜高为 ，底面边心距为 ．
在直角三角形 中， ． 则 棱锥侧 ， 所以全面积 ．
14. 如图，已知正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，试作出过 ， ， 三点的截面．
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【解】 如图，
延长平面 、平面 与平面 的两条交线 ， 交于点 ．
连接 并延长交 于点 ．同法可得点 ， ，则六边形 即为所求的截面．
15. 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积．
【解】 由三视图知正三棱柱的高为 ，底面三角形的高为 ， 设底面边长为 ，则 ， 所以 ．
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所以正三棱柱的表面积 侧 底 ．
16. 下面是荷兰著名版画大师埃舍尔（Escher）的“矛盾空间”作品（局部），请观察两幅画，并指出其相悖之所在．
【解】 图一中的阶梯始终向上或向下但却无限循环，在此阶梯上永远无法找到最高的一点或者最低的一点．
图二一只右手正在仔细地绘画左手的衣袖，并且很快就可以画完了．可是，与此同时，左手也正在执笔异常仔细的描绘右手，并且也正好处于快要结束的部位．无法判断左手画右手还是右手画左手．
17. 有甲、乙两个容器，甲容器为圆柱形，高为 ，底面半径为 ，乙容器为倒置圆锥形，其高为 ，底面半径为 ，若甲容器装满水，再将其中一部分倒入乙容器，使两个容器内液面等高，求此时液面的高度．
【答案】 液面的高度为
【解】 设液面高度为 ，则甲容器内水的体积为 ． 设乙容器内水形成的小圆锥的底面半径为 ，
由 ，得 ．
于是乙容器内水的体积为 ． 又甲容器容积为 ， 由 ，得 ， 解得 ．
因此，液面的高度为 ．
18. 如图，已知正四棱台上、下底面的边长和侧棱长分别是 ， ， （ ，
），求该棱台的高和斜高．
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【解】 如图，过点 作 垂直于 且交 于点 ，过点 作 垂直于 且交 于点 ．
则在 中，有
又因为 ，所以
，
，
，
．
19. 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．
【解】 作正方体对角面的截面，如图所示，
，
设半球的半径为 ，正方体的棱长为 ，那么 ， 在 中，由勾股定理，得 ，
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即
所以
，
，
．
从而 半球
正方体 ． 因此 半球 正方体
．
方法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为 ，球的半径为 ，则根据长方体的对角线性质，得 ，即 ，
．
从而 半球
正方体 ，
所以
，
因此 半球 正方体
．
20. 粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边长分别是 和 ，高是 ．试计算制造这一下料斗所需铁板的面积是多少．（结果精确到 ）
【解】 如图所示，设 ， 分别是两底面的中心，则 是高，设 是斜高，在直角梯形 中，过 作 于 ．
因为每个底面边数 ，两底面边长分别为 ， ，斜高 ， 所以
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答：制造这一下料斗约需铁板 ．
正棱台侧
空间几何体的结构特征
1. 一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是 ，截去小圆锥的母线长为 ，则圆台的母线长为 ．
【答案】
【分析】 如图所示，设圆台的母线长为 ，截得的圆台的上、下底半径分别为 ， ，
根据三角形相似的性质，得 ，解得 ．
2. 用一个平行于底面的平面截圆锥，截得的圆台上下底面半径之比是 ，截去圆锥的母线长是 ，则圆台的母线长为 ．
【答案】
3. 若四面体 的三组对棱长分别相等，即 ， ， ，则 ．（写出所有正确结论的编号） ①四面体每组对棱相互垂直； ②四面体每个面的面积相等；
③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 而小于 ；
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④连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分；
⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
【答案】 ②④⑤
【分析】 ①易知该结论错误；
②四面体 的四个面是全等三角形，面积相等；
③从四面体 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 ；
④任取两组对棱，以每条棱的中心为顶点可作出菱形，故连接每组对棱中心的线段互相垂直平分；
⑤画图可知，从四面体 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
4. 如图所示，线段 和圆 分别绕着直线 旋转一 周后所形成的轨迹分别是什么？请试着画出它们．
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【解】
5. 如图所示是一个三棱台 ，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥？
【解】 过 ， ， 三点作一个平面，再过 ， ， 作一个平面，就把三棱台 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ， ， ．
6. 在如图所示的三棱柱 中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
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【解】 如图所示，连接 ， ， ，则三棱柱 被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是 ， ， ．
表面积与体积
1. 如图，在直四棱柱 中，点 ， 分别在 ， 上，且
， ，点 ， 到 的距离之比为 ，则三棱锥 和
的体积比 ．
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【答案】
2. 已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为 ．
【答案】
【解】 假设圆锥底面圆的半径为 ，母线长为 ，则有 解出 ．
3. 长方体的体对角线长为 ，长、宽、高之和是 ，它的全面积为 ．
【答案】
4. 降水量是指水平地面上单位面积的降水的深度．用上口直径为 ，底面直径为 ，深为 的圆台形水桶（轴截面如图）来测量降水量．如果在一次降水过程中，用此桶盛得的雨水正好是桶深的 ，求此次下雨的降水量（精确到 ）．
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【解】 由已知得 ， ， ， ．于是
降水容积
降水深度
即此次下雨的降水量约为 ．
5. 如图，已知正三棱锥 的底面边长为 ，高为 ，求该三棱锥的表面积和体积．
【解】 设 是正三角形 的中心，如图，连接 并延长 于点 ，连接 ，所以 平面 ，
因为 所以 因为 ， 所以
，
，
，
．
所以三棱锥的表面积 ， 体积
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6. 一个棱锥的侧面积为 ，平行于底面的截面分高所成的比为 ，求此截面截得的棱台的侧面积．
【解】 在三棱锥 中，作 底面 于 点，连接 ，交截面 于 ，由 平面 平面 ，得 平面 ．
由 平面 平面 ，可知 ， ， ， ． 由棱锥平行于底面的截面的性质，得 根据等比性质，得 又
，
， ．
．
所以
即 ，
所以 棱台
．
截面分析
1. 正三棱台的上、下底面边长及棱台的高分别为 ， ， ，则它的斜高是 ．
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【答案】
【分析】 如图所示，
在正三棱台 中， ， 分别为上、下底面的中心， 作 ， ， ，则 ， 因为 所以
， ．
，
在 中，
．
2. 棱台的上、下底面面积分别为 ， ，则它的中截面面积为 ．
【答案】
【分析】 设棱台的上、下底面面积分别为 ， ，中截面面积为 ， 由上、下底面，中截面的相似性及梯形中位线定理知 ， 即 ， 所以 ．
3. 在一张硬纸上，挖去一个半径为 的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为 ，高为 的正三棱锥上，并使纸面与棱锥底面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值等于 ．
【答案】
4. 已知正三棱锥 的高 ，斜高 ，则求经过 的中点且平行于底面的截面 的面积．
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【解】 由题意可得， ， 所以底面边长为 ，
从而 的面积为 ，
因为 过 的中点且平行于底面，
所以 的面积等于 面积的 ， 即 的面积
．
5. 在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子延伸到距离球与地面接触点 处，同一时刻一根长为 的木棒垂直于地面，其影子长 ，求此球的半径．
【解】 如图所示，
，设 ，球的半径为 ． 由题意知 ，即 ． 所以 ．
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所以
．
在 中， 所以
，
．
6. 一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，在其中有一个高为 的内接圆柱． (1)用 表示圆柱的轴截面面积 ；
【解】 如图（1），圆锥内有一个内接圆柱，其轴截面如图（2）．
由题意可知， ， ，设圆柱的高 ，则
．因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以圆柱的轴截面面积为 ． (2)当 为何值时， 最大？
【解】 二次函数 ．因为对称轴 ，所以当 时， 最大为 ．
展开图
1. 某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是 时，则该圆锥体的体积是 ．
【答案】
2. 在图（2）~（5）的 个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体（如图（1））的展开图？其序号是 ．（把你认为正确的序号都填上）
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【答案】 （2）（3）
3. 把一个正方体的每个面分别标为 ， ， ， ， ， ，根据图中 ， ， 三种状态所显示的数字，可推出“ ”处的数字是 ．
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【答案】
4. 下面是一长方体的表面展开图，每个面在外面都写了字母，请根据要求回答问题：
(1)如果 在长方体的底面，那么 会在上面；
【解】
(2)如果 在前面，从左边看是 ，那么 会在上面；
【解】
(3)如果从左边看是 ， 在后面，那么 会在上面．
【解】
5. 根据图中给出的平面图形，折叠成几何模型．
【解】
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6. 如图所示，在正三棱柱 中， ， ， 为 的中点， 是 上一点，且由 沿棱柱侧面经过棱 到 的最短路线长为 ，设这条最短路线与 的交点为 ．
(1)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
【解】 正三棱柱 的侧面展开图是一个长为 、宽为 的矩形， 其对角线长为 ． (2)求 和 的长．
【解】 如图所示，将侧面沿 剪开并展开，由点 沿棱柱侧面经过棱 到点 的最短路径为线段 ，
设 ，
在 中，有 ， 解得 （负值舍去）， 故 ，
由 ，得 ，
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所以 ．
表面距离
1. 已知正方体 的棱长为 ，以 各个面的中心为顶点的凸多面体为 ，以 各个面的中心为顶点的凸多面体为 ，以 各个面的中心为顶点的凸多面体为 ， ，依次类推，记凸多面体 的棱长为 ，则 ．
【答案】
【分析】 长为 的正方体相邻两个面的面的中心两点的距离为 ，即正八面体 的棱长为 ，而棱长为 的正八面体相邻两个面中心的距离为 ，即正方体 的棱长为 ，依次类推，正八面体 的棱长为 ，正方体 的棱长为 ，正八面体 的棱长为 ．
2. 如图，腰长为 等腰直角三角形 ，沿其中位线 将其折成 的二面角 ，则点 到平面 的距离是
【答案】
3. 长方体 的棱长为 ， ， ，则从 点沿长方体表面到达点 的最短距离为 ．
【答案】
4. 圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为 的正方形 ，求圆柱侧面上从 到 的最短距离．
【解】 如图（1）， 是圆柱的轴截面，且其边长为 ．
设圆柱的底面圆半径为 ，则 ．
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所以底面圆的周长为 ．
将圆柱沿母线 剪开后平放在一个平面内，如图（2）， 则从 到 的最短距离即为（2）中 的长．
由于 ， ，
所以
．
即所求得最短距离为 ．
5. 如图，四棱锥的底面是正方形，顶点 在底面上的正投影是底面正方形的中心，侧棱长为 ，侧面的顶角为 ．一只甲虫从点 出发绕棱锥侧面爬行—周回到出发点，求这只甲虫爬行的最短路程．
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【解】 将棱锥沿侧棱 剪开，然后把侧面展开（如图）．因为平面上两点之间的距离最短，连接 ，则 即为所求．
在 中，
（设 为 的中点，在 中， 即这只甲虫爬行的最短路程为 ．
）．
6. 有一根长为 ，底面半径为 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
【解】 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 （如图），
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由题意知 ， ，点 与点 是铁丝的两端，故线段 的长度即为铁丝的最短长度．
， 故铁丝的最短长度为 ．
球面距离
1. 设地球半径为 ，甲地位于北纬 ，东经 处，乙地位于南纬 ，东经 处，则甲、乙两地的球面距离为 ．
【答案】
【分析】
． 设甲在 处，乙在 处，如图所示，则 ，
2. 设地球半径为 ，甲、乙两地均在本初子午线（ 经线）上，且甲地位于北纬 ，乙地位于南纬 ，则甲乙两地的球面距离为 ．
【答案】
3. 若 两点在半径为 的球面上，且以线段 为直径的小圆周长为 ，则此球的表面积为 ， 两点间的球面距离为 ．
【答案】 ；
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4. 设地球的半径为 ，在北纬 圈上有两个点 、 ，其中点 在西经 ，点 在东经 ，求 、 两点间的纬线圈弧长及 、 两点间的球面距离．
【解】 如图，设 纬线圈的中心为 ，地球中心为 ，则 ．
因为 垂直于圆 所在的平面， 所以 ， 因此 在 中， 因为 ，
所以 ． 从而 为等边三角形．
所以 ．
所以在纬度 圈上， 的弧长为
．
在球面上， 、 两点间的球面距离为 ． 所以 、 两点间的纬线圈弧长为 ， 、 两点间的球面距离为 ．
．
5. 如图在北纬 圈上有 ， 两点，沿该纬线圈 ， 两点间的劣弧长为 （ 为地球半径），求 ， 的球面距离．
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【解】 如图，设北纬 圈的小圆圆心为 ，半径为 ，则 ， 因为 ， 所以 ． 因此 因为
从而 ．
又在 中， ，
所以 ．故 ， 两点的球面距离为 ．
6. 如图所示，在半径为 的球面上有 ， ， 三点， ， ，球心 到平面 的距离是
．
，
，则 ， 两点的球面距离是多少？
【解】 所在的小圆的半径为 ，
．
在 中， ，
，
， 两点的球面距离是 ．
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直观图
1. 如图，平行四边形 是四边形 的直观图，若 ， ，则原四边形 的周长为 ．
【答案】
【分析】 由四边形 的直观图可知原四边形是矩形，且 ， ， 所以原四边形 的周长为 ．
2. 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ， ， 轴，则原平面图形的面积为 ．
【答案】
【分析】 在直观图中，设 与 轴的交点为 ，则易得 ，所以原平面图形为一边长为 ，高为 的平行四边形，所以其面积为 ．
3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ，如图所示， ， ， ，这个平面图形的面积为 ．
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【答案】
4. 如图所示，梯形 中， ， ， ， ， ，试画出它的直观图．
【解】 （1）如图（1）所示，在梯形 中，以边 所在的直线为 轴，点 为原点，建立平面直角坐标系 ．如图（2）所示，画出对应的 轴， 轴，使 ．
（2）如图（1）所示，过 点作 轴，垂足为 ．在图（2）中，在 轴上取
． ；过 作 轴，使
．再过点 作 轴，且使 ．
（3）连接 ， ， ，并擦去 轴与 轴及其他一些辅助线，如图（3）所示，则四边形 就是所求作的直观图．
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5. 用斜二测画法作出宽为 ，长为 的矩形的直观图．
【解】 采用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作 轴， 轴，使 ，然后依据平行投影的有关性质逐一作图（如图）．
（i）在矩形 中取 ， 所在边分别为 轴与 轴，相交于点 （ 与 重合），画对应的 轴， 轴，使 ．
（ii）在 轴上取 ， ，使 ，在 轴上取 ，使 ，过 作 平行 轴的直线，且等于 长．
（iii）连接 ，所得四边形 就是矩形 的直观图．
6. 用斜二测画法画各棱长与底面边长都为 的正三棱锥的直观图．
【解】
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课后练习
1. 对于一条底边在 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的
A.
倍
B.
C.
倍
D.
2. 如下图所示几何体的两个底面都平行，则这些几何体中是棱台的是 ．
3. 如下图甲所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点， 是正方形 的中点，则四边形 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的 ．
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4. 分别把图中所示正六棱柱的三视图名称填在下面相应的横线上．
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5. 用一块长 ，宽 的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒，则可制作的铁筒的最大体积为 ．
6. 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 ）：则该几何体的高为 ，底面面积为
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为： 为 ．
8. 用一个平面去截一个球，若与球心距离为 的截面圆的半径也为 ，则该球的表面积为 ．
9. 已知圆柱的底面半径是 ，高是 ，则平行于圆柱的轴且与此轴相距 的截面面积是 ．
10. 已知正三角形 的边长为 ，那么用斜二画法绘制的 的平面直观图 的面积为 ．
11. 下面是关于三棱锥的四个命题：
① 底面是等边三角形，侧面都是等边三角形的三棱锥是正三棱锥； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④ 侧棱长都相等，且底面的外接圆圆心与三棱锥顶点的连线垂直于底面的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）．
12. 如图，正三棱锥 的底面边长为 ，高 为 ，它的侧棱 的长为 ，斜高 的长为 ．
底面的圆周长的平方 高 ．则圆周率 的取值
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13. 某地球仪上北纬 纬线圈的长 ，如图所示，则该地球仪的半径是 ．
14. 已知 ， ， 两两互相垂直，且 、 、 的面积分别为 ， ， ，则过 ， ， ， 四点的外接球的表面积为 ． 15. 一个长、宽、高分别为 ， ， 的水槽中有水 ，现放入一个直径为 的木球，如果木球的三分之二在水中，判断水槽中水面是否会流出？ （回答问题时，仅仅填写“会”或“不会”）．
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16. 棱长都是 的三棱锥的表面积为 ．
17. 正四棱锥 的所有棱长都等于 ，过不相邻的两条侧棱作截面 ，如图所示，则截面的面积为 ．
18. 如图，正方体 棱长为 ， 为 中点， 为线段 上动点，过点 ， ， 的平面截该正方体所得截面记为 ．当 时， 的面积为 ；若
为五边形，则此时 取值范围 ．
19. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是 ．
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20. 圆锥轴截面为直角三角形，则其侧面展开图的中心角等于 ． 21. 根据图中所给的图形折叠成几何体后，哪些点重合在一起？答： ．
22. 用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．
23. 已知轴截面为正方形 的圆柱的体积为 ，则从点 沿圆柱的侧面到相对顶点 的最短距离是 ．
24. 如图，正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为 ．
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25. 已知三棱锥 中， 为等边三角形，且 ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为 ．
26. 在地球的赤道上，东经 与西经 的球面上有两个点 ， ，则 ， 两点的球面距离为 （地球半径约为 ）．
27. 自半径为 的球面上一点 引球的两两垂直的弦 ， ， ，则 28. 地球北纬 圈上的 、 两地分别在东经 处和东经 处，若地球半径为 ，则 两地的球面距离为 ．
29. 如图所示为一个水平放置的正方形 ，在直角坐示系 中，点 的坐标为 ，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 到 轴的距离为 ．
30. 边长为 的正三角形的直观图的面积为 ．
31. 将一个边长为 的正方形 用斜二测画法画在纸上后，相应的四边形 的面积为 ．
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32. 正三棱柱 的底面边长是 ，过 的一个平面交侧棱 于 ，若 的长是 ，试求截面 的面积．
33. 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 ， （ ），求直平行六面体的侧面积．
34. 将下图中的平面图形绕直线 旋转一周，所得的几何体分别是什么？请在图中画出来．
35. 小明设计了某个产品的包装盒，他少设计了其中一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子（如图所示）．
(1)你有 种补充的办法． (2)任意画出一种正确的设计图．
36. 一个正四棱柱的对角线长为 ，全面积为 ，求该棱柱的体积．
37. 已知正三棱台 的两底面边长分别为 ， ，侧棱长等于 ，求三棱台的体积 ．
38. 如图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状．
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39. 已知四棱锥 的底面是面积为 的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为 计算它的高和侧面三角形底边上的高．
40. 如图，在三棱台 中， 底面 ， ，且 ；
(1)证明：平面 平面 ；
(2)当 时，求三棱台 的体积．
41. 五棱台的上、下底面均为正五边形，边长分别为 和 ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是 ，求它的侧面积．
42. 一个长方体共顶点的三个面的面积分别为 ， ， ，求该长方体对角线的长． 43. 是 所在平面外一点， ， 分别是 和 的重心， ． (1)求 的长；
(2)若 ， 的位置变化，会影响 ， 的位置和 的长度吗？
44. 已知正三棱锥 中， ， 为正三棱锥的高， 为 的中点，连接 ， ．求 ， ， ， 的长．
45. 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点都在一个球面上，求此球的表面积． 46. 如图，正三棱柱 的侧棱长和底面边长均为 ， 是 的中点．
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(1)正三棱柱的表面积和体积； (2)三棱锥 的体积．
47. 正四棱柱的体对角线长为 ，它的全面积为 ，求它的体积．
48. 如图，侧棱长为 的正三棱锥 中， ，过 作截面 ，分别交 ， 于 ， ，求截面 的周长的最小值．
49. 已知正方体的棱长为 ，分别求它的： (1)内切球半径； (2)外接球半径；
(3)与各棱都相切的球的半径．
50. 圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积． 51. 一扇形铁皮 ，半径 ，圆心角 ，现剪下一个扇环 作圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形 内剪下一个最大的圆刚好作容器的下底（圆台下底面大于上底面）（如图）．则 应取多少？
52. 请回答下列问题：
(1)如图（1）是正方体，四边形 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在下面展开图里画出来．
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(2)如图（2）所示，长方体 的宽、长、高分别为 ， ， ．现有一甲壳虫从 出发沿长方体表面爬行到 来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．
53. 已知 是圆柱的轴截面（经过圆柱旋转轴的截面）， ， ，一动点 绕圆柱侧面一圈从 移动到 ，求动点 经过的最短路程．
54. 如图，在长方体 中， ，小蚂蚁从点 沿长方体的表面爬到点 ，所爬的最短路程为 ．
(1)求 的长度；
(2)求该长方体外接球的表面积．
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55. 如图，在三棱锥 中， ， ，过 作截面 分别交 ， 于点 ， ．
(1)求 周长的最小值．
56. 如图，圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，点 在同一条母线上，且分别位于上、下底面．求从点 绕圆柱的侧面到达点 的最短路径长．
57. 在直角三角形 中， 为斜边 上的高，试用斜二测画法画出它的直观图，并写出作图步骤．
58. 用斜二测画法画正六棱柱的直观图，使其底面边长为 ，侧棱长为 ．
59. 如图所示， 中， ，边 上的高 ，求其水平放置的直观图的面积．
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空间几何体-出门考
姓名 成绩
1. 如图所示为水平放置的 在直角坐标系中的直观图，其中 是 的中点，且 ，则原图形中与线段 的长相等的线段有 条．
2. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体为 ．
3. 过棱锥高的三等分点，作两个平行于底面的截面，则该棱锥的侧面被这两个截面分成的三部分（自顶点到底面）的面积之比为 ．
4. 设一个正方体与底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ．
5. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为 ， ，高为 ，则该圆台的母线长为 ．
6. 某几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 ．
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7. 长为 ，宽为 的矩形绕一边所在直线旋转一周而成的圆柱的底面积为 ． 8. 水平放置的 的斜二测直观图如图所示，已知 ， ，则 边上的中线的实际长度为 ．
9. 在三棱柱 中， ， 分别为棱 ， 上的点，且 ，则四棱锥 的体积与三棱柱 的体积之比为 ． 10. 如图是—个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ．
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11. 如图是棱长为 的正方体的平面展开图，则在原正方体中， 与 所成的角度为 ．
12. 、 、 是构成几何体的基本元素．
13. 命题：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．那么这个命题的等价命题可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．
14. 如图所示，在棱长为 的正方体上底面中心位置打一个直径为 、深为 的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为 ．
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15. 已知四棱锥 的底面是边长为 的正方形， ， ，且 ，则该四棱锥的体积是 ．
16. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 ，那么圆柱的体积等于 ． 17. 当圆锥的侧面积和底面积的比值是 时，圆锥的轴截面顶角的是 ．
18. 用一个平面截半径为 的球，截面面积是 ，则球心到截面的距离为 ． 19. 圆柱、圆锥和圆台的轴截面分别为 、 、 ． 20. 圆锥的母线长为 ，侧面展开图的中心角为 ，那么它的侧面积为 ．
21. 长方体 中， ， ， ，则一只小虫从 点沿长方体的表面爬到 点的最短距离是 ．
22. 若圆锥侧面积是底面积的 倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ．
23. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 、 分别为 、 的中点，沿棱柱的表面从 到 两点的最短路径的长度为 ．
24. 已知正四棱柱 的八个顶点都在同一球面上，底面 边长为 ，高 ，那么球的半径是 ； 、 两点的球面距离为 ．
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25. 在北纬 圈上有 、 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于 （ 是地球的半径），则 、 两地的球面距离为 ．
26. 若球 的半径为 ，球面上有两点 、 ，且 ，则 、 两点间的球面距离
为 ．
27. 已知正三角形 的边长为 ，若建立如下图（1）所示的直角坐标系，则其直观图的面积为 ；若建立如图（2）所示的直角坐标系，则其直观图的面积为 ．
28. 在斜二测画法中水平放置的菱形的直观图一定是菱形． （在横线上填写“对”或“错”）
29. 如图所示，梯形 是平面图形 的直观图，若 ， ， ， ，则四边形 的面积是 ．
30. 若一个圆台的的正（主）视图如图所示．
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(1)求该圆台的侧面积； (2)求该圆台的体积．
31. 已知圆锥底面的周长为 ，母线与底面的夹角为 ，将圆锥放倒在平面上，绕其顶点滚动一周，求圆锥的高旋转后所得的旋转面的面积．
32. 如图是一些立体图形在某一观察方向的视图，试说明它们分别可能是哪一种立体图形的视图．
33. 用斜二测画法作出矩形 的直观图．
34. 按下列条件分割如图所示的三棱台 （不需要画图，各写出一种分割方法即可）．
(1)一个三棱柱和一个多面体； (2)三个三棱锥．
35. 根据图中所示的三视图，画出空间图形的大致形状．
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36. 如图所示图形，是一个底面直径为 厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 厘米，高为 厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？
37. 已知长方体的全面积为 ，十二条棱长之和为 ，求这个长方体的对角线的长． 38. 连接正方体的相邻各面的中心（各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体．
39. 已知正三棱台的上、下底面边长分别 和 ，高为 ，求此正三棱台的表面积． 40. 下列 种几何体：
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(1)柱体有 ； (2)锥体有 ； (3)球有 ； (4)棱柱有 ； (5)圆柱有 ； (6)棱锥有 ； (7)圆锥有 ．
41. 判断如图所示的几何体是否是棱台？为什么？
42. 如图，画出（1）（2）（3）中线段 绕着直线 旋转一周形成的空间几何体．
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43. 圆台的侧面积为 ，上、下底面半径分别为 ， ，求被截成这个圆台的原来圆锥的侧面积．
44. 已知一圆锥的底面半径为 ，母线与轴的夹角为 ，求其侧面展开图形的面积． 45. 已知一个球的半径为 ，一个圆锥的高等于这个球的直径，表面积等于这个球的表面积，求这个圆锥的体积．
46. 一棱锥的底面积为 ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，所得截面面积为 ，现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两部分之比为 ，求第二个截面面积．
47. 已知圆台上、下底面半径的比是 ，母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，求圆台中截面（过高的中点且平行底面的截面）的面积． 48. 正方体的截面可能是什么形状的图形？
49. 正方体的表面的平面展开图有很多种，请画出其中的三种．
50. 如图，将长方体 截去一个角．截面为 ，其中 ， ， 分别为 ， ， 的中点，然后沿 ， ， ， ， ， ， 把长方体剪开，并标上字母，得到的平面图形是怎样的？
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51. 有一根长为 ，底面半径是 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到 ）
52. 用斜二测画法画出上、下底面边长分别为 ， ，高为 的正四棱台的直观图． 53. 如图，正方形 的边长为 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
54. 有一个正四棱锥，底面边长为 ，高为 ，画出这个正四棱锥的直观图． 第 65 页 共 65 页
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