高中数学微课《球的计算问题》教学设计

酒泉市实验中学 冯德福

一、教学分析：球的计算问题是人教A版必修二第一章1.3.2《球的体积与表面积》与多面体的综合应用，是高考的一个重要考点。高考主要以选择和填空这种小题的形式进行考察，题目属于中低档，是易得分点，只要学生掌握常规和基本解法都可以做上。 二、教学目标

1.熟练掌握球的有关性质和计算公式； 2.掌握与球有关的计算问题的一般解法。 三、重点难点

1.重点：找出与球的半径有关的量，求出球的半径 2.难点：根据题意准确画出图形 四、教法：动画演示法，讲练结合法

五、设计意图：本节微课选取5道高考题，其中2019年和2020年两道高考题作为例题的分析讲解，其他三道2020年高考题的跟踪练习，利用专门的立体几何软件——英壬画板进行动态演示，旨在让学生突破空间想象，理解题意作出准确的图形，分析归纳出该类问题通性通法（构造法），达到举一反三，触类旁通的目的。 六、教学过程 （一）准备知识 1、截面性质：

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

222②球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面圆半径为r,则 Rrd

22. 球表面积公式:S4R

球体积公式：

V4R33

设计意图：复习回顾所用知识，为新课扫清障碍 （二）典例学习

1

例1.（2020年全国Ⅱ理10，文11）已知△ABC是面积为93的等边三角形，且其顶点4都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A.

3 B.

33 C. 1 D. 22根据球O的表面积可求得球O的半径R，根据正△ABC 的面积可求得△ABC外接圆半径r，然后由球的截面性质可知所求距离 解析：

dR2r2..

设球O的半径为R，则4R216，解得：R2. 设ABC外接圆半径为r，边长为a，

ABC是面积为934的等边三角形，a212393，解得：a3， 242a2292ra93，

3434如图，在RtAOO',球心O到平面ABC的距离为：OO'd故选：C.

方法提炼：本题主要考查球的表面积公式、三角形面积公式和正三角形的性质，求出球的半径R和 的△ABC外接圆的半径r。关键是利用球截面的性质（即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面）构造直角三角形。

设计意图：巩固球截面的性质，复习球的表面积公式、三角形面积公式和正三角形的性质，让学生熟练掌握此类问题的基本解法——构造法

2

R2r2431.

例2.（2019年全国I理科12）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，

PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为（ ）

A.86 B.46 C.26 D.6

分析：由于三棱锥是P-ABC正三棱锥，只要根据题意计算出三棱锥的侧棱长，再根据其特点就很容易求出外接球的半径。

解析：

PA2PC2-AC2x2x24x22设PAx，在△APC中，有cosAPC=2

2PAPC2xxxx)2x2EC2(PEPC-EC=2在△EPC中，有cosEPC x2PEPC2x2222EC又EF2x22

41xPB，由△ABC是正三角形，得

CF22CEF90

3 22xxCE2EF2CF2,即23，

44解得x2，

∴PAPBPC2 又ABBCAC2

易知PA,PB,PC两两相互垂直（如图2），因此可以把这个三棱锥补成正方体（如图3）

3

由正方体的体对角线就是球的直径可得，三棱锥PABC的外接球的半径为

6， 246所以三棱锥PABC的外接球的体积为6， 32故选D.

方法提炼：本题主要考查球的计算问题中的补形法，即长方体（正方体）的体对角线就是球的直径。关键是通过计算，分析得出三棱锥的三条棱互相垂直，转化成正方体的外接球问题。

设计意图：通过计算，培养学生的运算分析能力，利用数学软件制作的动画培养学生的空间想象能力，建立空间观念，让学生熟练掌握此类问题的另一基本解法——补形法 （三）、跟踪练习

1.（2020年天津5）.若棱长为2（ ） A. 12

B. 24 C. 36

D. 144

33的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为2. (2020年全国Ⅰ理10，文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点，外接圆，若A. 64π

O1为ABC的

O1的面积为4π，ABBCACOO1，则球O的表面积为（ ）

B. 48π

C. 36π

D. 32π

3.（2020年全国Ⅲ理15，文16）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 答案为：1.C 2.A 3.2. 34

设计意图：通过立体学习，趁热打铁，进一步熟悉球的计算问题的基本解法。

（四）小结

1.球的计算问题是高考的一个重要考点，考查的是空间想象能力，等价转化能力以及运算能力，关键是通过空间想象准确作出图形，找出与球的半径有关的量，计算出球的半径。 2.解决球的计算问题的基本方法是构造法，一是构造直角三角形，解直角三角形即可；二是通过补形法，构造长方体或正方体，求出球的半径。

设计意图：让学生明确本节课的地位和作用，以及在高考中考查的方向，归纳出通性通法，以便于学生熟练掌握。

七、教学反思：立体几何的教学是个难点，关键是学生空间想象能力不强。要突破这个难点借助专门的立体几何软件——英壬画板是很好的选择，先让学生形成空间观念，慢慢摆脱软件，独立作图。现代社会，谁掌握了新的教育技术谁就掌握了教育的制高点。

5