数学分析解题中的思维方法

第３４卷第２期　曲　阜　师　范　Ｊｏｕｒｎａ１　ｏｆ　Ｑｕｆｕ　Ｖｏ１．３４　ＮＯ．２　Ａｐｒ．２００８　２００８年４月　数学分析解题中的思维方法　张克梅①，　张书花②　（①曲阜师范大学数学科学学院，２７３１６５，曲阜市；②日照市第二实验中学，２７６８００，山东省日照市）　摘要：结合自己在数学分析授课过程中的亲身体会，通过实例阐明了如何将辩证的思维方法渗透到数　学分析的教学中．　关键词：思维方法；极限；函数　中图分类号：Ｇ４２０　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—５３３７（２００８）０２—０１２５—０４　１　引　言　数学分析中蕴涵着丰富的哲学思想．恩格斯说：“变数的数学一其中最重要的部分是微积分一本质上不　外是辩证法在数学方面的运用．”纵观数学分析的内容，从极限论、微分学到积分学，自始至终都贯穿着辩证　法．哲学是数学教师指导工作和生活的重要工具，同时又是数学教学的重要目的之一，因此在数学分析教　学中进行哲学思想的渗透有着十分重大的意义．本文的主要目是结合自己在《数学分析》授课过程中的体会，　通过实例阐明了如何将辩证的思维方法渗透到《数学分析》的教学中．　２从特殊到一般的思维方法　从一般到特殊和从特殊到一般乃是人类认识客观世界的一个普遍规律．一方面一般概括了特殊，普遍　比特殊更能反映事物的本质．另一方面事物的特殊性中包含着普遍性，即共性存在于个性之中，微积分中　一些概念和定理的获得也是通过从特殊到一般的思想．从一个特殊问题出发，我们可以讨论它的一般性问　题．如在微积分中，微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明充分体现了这种　“由特殊到一般”的思想．又如通过直线上的牛顿一莱布尼兹公式，可以得到平面上的格林公式，以至空间　中的奥高公式，斯托克斯公式．反过来，我们也可以从一般问题考查其特殊情形．如微积分中常利用函数项　级数的求和得到一些数项级数的求和．对习题也可以做一些形式上的从特殊到一般的推广．　例２．１　Ｅ　证明ｌｉｍ　ｆ　１＋一１一　１一Ｐ．　—ｏ。、　’，　推广证明ｌｉｍ（１＋　一去ｌ—Ｐ，其中口＞１．　・。。、　，‘　，Ｉ，　证明！ｉｍ（１＋Ｉｎ一去）　＝！ｉａｒ（１＋　ｉｍ注２．１　ｌ—。）”一　（　＋　）　］　一　（１－｝－￣－－｝－￣一）一Ｐ，其中口＞１・　例２．２　推广若，（　）为［Ｏ，＋。。）上的周期函数，且ｌｉｍ，（ｚ）一Ｏ，则，（ｚ）三Ｏ，ｘＥ　Ｅｏ，＋。。）．　若，（ｚ）为（一。。，＋。。）上的周期函数，且ｌｉｍ，（ｚ）一Ａ，则，（ｚ）三三三Ａ，９５＂∈（一。。，＋。。）．　＊收稿日期：２００８—０１—１０　基金项目：国家自然科学基金资助项ｌｉｉ（１０４７１０７５）．　作者简介：张克梅，女，１９６８一，博士，教授；主要研究方向：非线性泛函分析　维普资讯 http://www.cqvip.com １２６　曲阜师范大学学报（自然科学版）　２００８卑　证明　因为ｌｉｍ＿厂（　）一Ａ，故对任意的｛．２７　），只要　一＋ｃ×。，”一＋ｃ×。，就有　ｒ—’十∞　ｌｉｍｆ（ｘ　）一Ａ．　（２．１）　’ｃｏ　设．厂（　）的周期为丁．若结论不成立，则存在　。∈（一ｃ×。，＋ｃ×。）使得ｆ（ｘ。）≠Ａ．令　一　ｏ＋ｎＴ，”∈　，则　．２７　一＋ｃ×。，”一ｃ×。，并且ｆ（ｘ　）一厂（　。＋”丁）一厂（　。）４：Ａ，此与（２．１）式矛盾．　例２．３ｅ。　证明函数＿厂（　）一　在［ｏ，＋ｃ×。）上一致连续．　推广　证明函数＿厂（　）一　（ｏ＜ｑ≤１）在［ｏ，＋ｃ×。）上一致连续．　证明　任取ｈ＞Ｏ，　≥Ｏ，由于｝，（　＋＾）－－ｆ（ｘ）Ｉ—Ｉ（　＋＾）　一　Ｉ≤ｈ　，故对任给的　，　∈［Ｏ，＋。。）　有　１　ｆ（ｘ　）一＿厂（　）１—１（　）　一（　）　）Ｉ≤１．２７　一　（２．２）　所以对任意的ｅ＞Ｏ，令　一　，则当１　一　１＜　时，通过（２．２）便有　ｌ　ｆ（ｘ　）一，（　）ｌ≤ｌ　一　ｌ　＜ｅ。　３矛盾转化的思维方法　转化思想是在处理数学问题时，使一种数学对象在一定条件Ｆ转变为另一种数学对象的指导思想，它　是唯物辩证法运动变化规律的数学化．转化思想的精髓在于对各种数学问题进行合理变换，从而达到化陌　生为熟悉，化未知为已知，化繁为简，化抽象为具体，即解决问题的策略思想，是从未知领域出发，通过数　学元素之间的固有联系，向已知领域转化．各种转化的共同本质是变中有不变．转化是手段，揭示其中不　变的东西才是目的．如通过归结原则，数列极限与函数极限可以相互转化；通过变量代换，可以简化积分的　计算；求由数列所组成的数集的确界可以利用单调有界原理；利用级数的性质及定积分可以较方便地求出　某些数列的极限等等．　例３．１　求　（１一　１十　１＋…＋（一１）　一　）．　解　ｓ　一１一　１十　１１　…一　一（１＋　１＋…＋　）一（　１十　１＋…＋　１）　一（１＋　１十　１＋…＋　）一２（　＋　１＋…＋　）　一　＋　＋．．．＋　一　『专＋壶＋．．．＋壶１．　故　一∞　ｓ　一Ｊ．｝　上　ｒｏ　　｛　ｄ　—ｌｎ２．￣　＂ｌ—一ｉｍ　　Ｓｚ　一。Ｊｌ　ｉｍ（Ｓｚ　＋　厶１　，）　一ｌｎ２，因此　！ｍｉ（Ｘ—　１十　１＋…十（一１）一　１一ｌｎ２．　例３．２证明ｌｉｍ　一０，其中口＞１，点≥０．　…“　注　一般分析教材都采用“ｅ＿Ｎ”证法，比较繁琐，现利用级数的性质证明．　证明由于ｎ　一　，故！　一　：　箸一！ａｒｉＩ・ｎ＋ｌ　一　＜　，所以级数萎　收敛，故由级　数的性质知　一ｏ．　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　张克梅，等：数学分析解题中的思维方法　１２７　例３．２设｛ｎ　）为递增数列，｛ｂ　）为递减数列，且　ｌｉｍ（口　一ｂ　）一０．　ｎ—－ｏ。　（３．１）　证明ｌｉｍａ　与ｌｉｍｂ　都存在且相等．　证明　此题至少可以用３种方法来证，在此只介绍其中的一种．因为｛ｎ　）为递增数列，｛ｂ　）为递减数　列，所以｛口　一ｂ　）为递增数列，又由于ｌｉａ（口　－ｒ－ｂ　）一０，所以ｓｕｐ｛口　一６　Ｉ　一１，２，…｝一０，故口　－－ｂ　≤０，从　而口　≤ａｎ≤６　≤ｂ　，由数列的单调有界原理知，ｌｉｍａ　与ｌｉｍｂ　都存在．设ｌｉｍａ　一口，ｌｉｍｂ　＝ｂ，由（３．１）式　Ｈ—＋ｏ。　ｎ—＋ｏ。　—＋ｏ。　ｎ一∞　知口一ｂ．　４逆向思维方法　命题与逆命题是矛盾相互对立的两个方面，考虑逆命题是否成立司以加深对原命题的理解，进一步得　到原命题结论成立的必要条件．当逆命题不成立时要进行辩证的否定．　例４．１嘲设ｌｉｍ口　一口，则ｌｉｍ　二　＝口．　注４．１　上述命题的逆命题不成立，即若对数列｛口　）有ｌｉｍ　±　妄　一。口，则未必有ｌｉｍ口　一口，甚　至　ｎ　可能不存在．如ｎ　一（一１　，　±　＝　ｌｉｍ一０，但ｆ（一１）　）的极限不存在，但我们　—。　有下列结论：　例４．２嘲　若对数列｛口　）有ｌｉｍ　二　＝口，则ｌ￣ｌｍ　ａｎ一０．　一∞　ｎ—ｏ。　证明　±　±二二二±　一　±　±　血．　＋ａｔ，．　令　一。。，则由上式可得　ｌｉｍ　一ｌｉｍ　±　＿二＿－　一ｌｉｍ　－＿　－＿　．１ｉｍ　二　一口～口一０．　ｎ—ｏ。　Ｈ—ｏ。　Ｈ—ｏ。　一１　一∞　５反常规思维方法　用分析、归纳、联想、类比等方法，发现问题，提出问题以及寻找解决问题的线索和途径，这个思维过程　称为发散性思维，是以感觉或直觉为基础的非逻辑形态思维，它具有较强的个性而较小共性，具有独立思　维特点．发散性思维往往会产生一些反常规思维方法，会出现意想不到的效果，也许会因此将题目中的条　件减弱或将结论加强．　例５．１　Ｅｓ３　设，（ｚ）在［０，＋。。）上单调下降，ｌｉｍ，（ｚ）一０．若导函数，　（ｚ）在［０，＋ｃｘ。）上连续，那么积　＋十ｏ。　ｒ＋ｏ。　分ｌ　ｆ　（ｚ）ｓｉｎ　ｘｄｘ收敛．　Ｊ　０　一般的证明方法是利用广义的牛顿一一莱布尼茨公式，证明如下：　证明广义的牛顿一莱布尼茨公式有　ｒ＋ｏ。　ｒ＋ｏ。　广＋　Ｊ　０　Ｉ　ｆ　（ｘ）ｓｉｎ　ｘｄｘ＝ｆ　（ｘ）ｓｉｎ　ｚ　一ｌＪ　Ｕ　　ｆ（ｘ）ｓｉｎ　ｘｄｘ一一１　ｆ（ｘ）ｓｉｎ　ｘｄｘ，　ｒ士∞　由Ｄｒｉｅｈｌｅｔ判别法知积分ｌＪ　０　　ｆ（ｘ）ｓｉｎ　ｘｄｘ收敛，故原积分收敛．　若利用Ｃａｕｃｈｙ收敛准则，则条件可减弱为：　例５．２设，（ｚ）在［０，＋。。）上单调（不必下降），ｌｉ　，（ｚ）存在（不必为０）．若导函数ｆ　（ｚ）在［０，　维普资讯 http://www.cqvip.com

ｌ２８　曲阜师范大学学报（自然科学版）　２００８．篮　＋ｏｏ）上存在且在［ｏ，＋ｃｏ）的任一有限区间上可积，那么积分Ｉ　ｆ　（　）ｓｉｎ。ｘｄｘ收敛．　证明　不妨设，（　）在［Ｏ，＋。。）上单调上升，于是有ｆ　（　）≥Ｏ．因为ｌｉｍ，（　）存在，故由Ｃａｕｃｈｙ收敛　准则知，对任意的ｅ＞Ｏ，存在Ｘ＞Ｏ，当Ａ　，Ａ　＞Ｘ时，有Ｉｆ（Ａ　）－－ｆ（Ａ　）Ｉ＜ｅ．故当Ａ　，Ａ　＞Ｘ时有　ｌ　ｊｌ：，　（　）ｓｉｎ２　ｄ　ｌ≤ｊｌ：Ｉ，　（　）Ｉ　ｄ　—ｌ　ｊｌ　（　）ｄ　｛一Ｉ　ｆ（Ａ　）一ｆ（Ａ　）Ｉ＜ｅ，　由Ｃａｕｃｈｙ收敛准则可知积分Ｉ　ｆ　（　）ｓｉｎ　ｘｄｘ收敛．　注５．１　从例５．１的证明过程可见，利用通常的广义牛顿一莱布尼茨公式证法，例５．１中的条件：　，（　）在［Ｏ，＋ｏｏ）上单调下降及ｌｉｍ，（　）一０是本质的，不能去掉，利用非常规的思维方法减弱了该题目中　的条件．　注５．２从例５．２的证明过程可见，函数ｓｉｎ　在其中只起一个有界的作用，故我们可用一个有界函数　代替它，例５．２可以进一步推广为：　例５．３设函数ｇ（ｘ）在［Ｏ，＋。。）上有界，，（　）在［Ｏ，＋ｏｏ）上单调，ｌｉｍ，（　）存在．若导函数ｆ　（　）在　［ｏ，＋。。）上存在且在［ｏ，＋ｏｏ）的任一有限区间上可积，那么积分Ｉ　ｆ　（　）ｇ（　）ｄｘ收敛．　参考文献：　［１］蔡霖．辩证思想在微积分中的体现［Ｊ］．科技信息：博士・专家论坛，２００７，３３．　［２］陈翠芳．谈数学分析教学中哲学思想的渗透［Ｊ］．山西高等学校社会科学学报，２００１，１３（８）：９８—９９．　［３］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．第３版，北京：高等教育出版社，２００１．　［４］宋述刚，陈忠．微积分理论中的辩证法规律与辩证思维方法［Ｊ］．长江大学学报，２００５，２（１０）：３８５—３８６．　［５］刘一鸣，周家云，解际太．数学分析［Ｍ］．济南：山东大学出版社，１９９３．　［５］杨艳萍．微积分辩证思想探析［Ｊ］．曲阜师范大学学报（自然科学版），２００６，３２（２）：１２３—１２８．　Ｔｈｅ　Ｔｈｉｎｋｉｎｇ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｎ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ　ｉｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｋｅ—ｍｅｉ①，　ＺＨＡＮＧ　Ｓｈｕ—ｈｕａ②　（①Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｑｕｆｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２７３１６５，Ｑｕｆｕ；　②Ｎｏ．２　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　Ｍｉｄｄｌｅ　Ｓｃｈｏｏｌ，２７６８００，Ｒｉｚｈａｏ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，ＰＲＣ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｂｙ　ｃｏｎｃｒｅｔ　ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｗｅ　ｄｉｓｓｃｕｓ　ｈｏｗ　ｔｏ　ａｐｐｌｙ　ｄｉａｌｅｃｔｉｃ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｉａｌｅｃｔｉｃ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ；ｌｉｍｉｔ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ