图形的轴对称

图形的轴对称

知识导引

1、轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

2、轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴，一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条。

3、轴对称与轴对称图形的区别与联系： 联系 区别 轴对称 轴对称是指两个图形的对称关把轴对称的两个图形看成一个“整体”

系 （一个图形），则称为轴对称图形；把轴

轴对称图形 轴对称图形是指具有某种对称对称图形的互相对称的两个部分看成

特性的图形 “两个图形”，则它们成轴对称。

4、轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的，连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上。

典例精析

例1：下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A B C D

例2：张晓丽从平面镜中看到一个英语单词，如图所示，这个英语单词是 ，它的中文意思是 。

例3：现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑，如图中（1）、（2）所示，观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案，它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形，请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征。

例4：如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？

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‘

例5：（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，试探索∠1＋∠2与∠A的关

系（不必证明）。

（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1＋∠2＝130°，求∠BIC的度数。

（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF，CG交于点H，把△ABC折叠，使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1＋∠2的关系并证明你的结论。

探究活动

例：茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图中的OA，OB），OA的桌面上摆满了苹果，OB的桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿苹果再拿糖果，然后回到C处，请你在图中帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

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学力训练

A组 务实基础

1、下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（ ）

A B C D

2、如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是（ ）

A、150° B、300° C、210° D、330°

（第2题图） （第3题图）

3、如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点，若△ABC的内角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA等于（ ） A、180° B、270° C、360° D、480° 4、如图，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC相交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片展平，那么∠AFE的度数为（ ）

A、60° B、67.5° C、72° D、75°

5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高（即直线AD是△ABC的对称轴），点E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm，则图中阴影部分的面积是 cm。

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（第5题图） （第7题图）

6、有下面的图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆。从中任取一个图形是轴对称图形的概率为 。

7、如图，在直角坐标系内，线段AB垂直于y轴，垂足为点B，且AB＝2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是 。 8、从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是

，则该车车牌的后5位号

码实际是 。

9、如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形（至少提供两种补法）。

10、已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有黑白两球分别位于A，B两点，试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？

11、如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”。如图1中的四边形ABCD就是一个“格点四边形”。 （1）求图1中四边形ABCD的面积；

（2）再图2的方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形。

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12、如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC≌△AMB；③CD＝DN。其中正确的结论是 （填序号）。选一个你比较喜欢的结论加以证明。

B组 瞄准中考

1、（无锡中考）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（ ）

A B C D

2、（台湾中考）下列有一面国旗是轴对称图形，根据选项中的图形，判断此国旗为（ ）

A B C D

3、（济南中考）如图，△ABC与△ABC关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A、50° B、30° C、100° D、90°

'''

（第3题图） （第4题图） 4、（遵义中考）把一张正方形纸片按如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是（ ）

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A B C D

5、（内江中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处，则阴影部分图形的周长为（ ）

A、15 B、20 C、25 D、30

（第5题图） （第6题图）

6、（丽水中考）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（ ） A、① B、② C、③ D、④ 7、（烟台中考）通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线填写恰当的图形。

8、（新疆中考）如图，在3×3的正方形网格中，已知有两个小正方形被涂黑，再将图中其余的小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种。

（第8题图） （第9题图） （第10题图）

9、（重庆中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，CD＝5cm，则点D到斜边AB的距离是 cm。 10、（莆田中考）如图，一束光线从A（3，3）出发，经过y轴上的点C反射后经过点B（1，0），则光线从A点到B点经过的路线的长是 。 11、（宁波中考）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影（注：所画的三个图形不能重复）

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12、（烟台中考）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图（阴影部

分表示纸条的反面），如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：

（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围。

（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时七点M与点A的距离（用x表示）。

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13、（淮安中考）阅读理解：如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则认为∠BAC是△ABC的好角。小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形。情形一：如图2，沿等腰三角形ABC的顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合。

（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填“是”或“不是”）。

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系，根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 。 应用提升：

（3）小丽找到一个三角形，其三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角。

请你完成：如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角。

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C组 冲击金牌

1、如图，阴影部分由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（ ）

A B C D

2、小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（ ）

A B C D

3、如图1是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是 度。

4、长为20、宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），按如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形按如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止，当n＝3时，a的值为 。 5、如图，取一张正方形纸片（图1），将其第一次对折，得到一个长方形（图2）；再将其第二次对折，得到一个正方形（图3），其中A点是其一个顶点；再将∠A的两边沿其角平分线进行第三次对折，得到图4；以下每次都是沿∠A的角平分线对折，分别得到图5、图6……同时，把重叠后层数不同的部分剪掉（如图5，图6中左下角的阴影部分）。 对于上述每一种对折，任意剪一个图案（但图案必须保留折痕AB或其一部分），展开后观察并填空：对于你所剪的图案，图3的对称轴至少有 条；图4的对称轴至少有 条；图5的对称轴至少有 条；图6的对称轴至少有 条……如果第n次对折后，按上述方法剪一个图案后展开，请归纳其对称轴至少有 条。

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6、如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，问：（1）桥建在何处才能使甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与街道垂直） （2）桥建在何处才能使甲、乙两个单位到桥的距离相等？

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