决策论练习题

例4 某企业由于生产能力过剩，拟开发新产品，有四种品种可供选择.市场销售有好、中、差三种情况，销售状态的概率和每一品种在不同状态下的收益表8.3所示.按照以下不同的准则，试问该厂应开发哪一种产品最好。

表 8.3

销路 概率 收益 万元 品种 好 中 差 0.3 0.5 0.2 14 14 12 22 14 10 18 16 10 20 12 8 a1a2a3a4

（1）最大可能准则； （2）期望收益准则； （3）期望损失准则； 解 收益矩阵如下：

s1s2s3

a114a222Qa318a42014121410 1610128j（1）由最大可能准则由(即由

*p(st)max{p(sj)}）知 p(s2)0.5,

d3max{qi2}max{14,14,16,12}16.

j故开发第三种产品最好。 （2）据期望收益准则有

d1q1jp(sj)140.3140.5120.213.6,jd2q2jp(sj)220.3140.5100.215.6,j

d3q3jp(sj)180.3160.5100.214.4,j

d4q4jp(sj)200.3120.580.213.6,j*d2max{d1,d2,d3,d4}max{13.6,15.6,14.4,13.6}15.6.i

故开发第二种产品最好。

（3）据期望损失准则，令bijmaxqijqij

i表示在状态sj下，采用方案ai的后悔值，则有后悔值矩阵 s1s2s3

a18a20 Ba34a42j2022 0244d1b1jp(sj)80.320.500.23.4,d2b2jp(sj)00.320.520.21.4,j d3bjj3jp(sj)40.300.520.21.6,

d4b4jp(sj)20.340.540.23.4,*d2min{d1,d2,d3,d4}max{3.4,1.4,1.6,3.4}3.4.i故开发第一种或第四种产品是最好的方案。

例 5 某制造公司加工某种机器零件，批量为150个。经验表明每一批零件的不合格率p不是0.05就是0.25，而所加工的各批量中p等于0.05的概率是0.8。每批零件最后将被用来组装一个部件。制造厂可以在组装前按每个零件10元的费用来检验一批中所有零件。发现不合格品立即更换，也可以不予检验就直接组装，但发现不合格品后返工的费用是每个100元。试问在下列三个准则下做出最优方案（是检验还是不检验）： （1）最大可能准则 （2）期望收益准则 （3）期望损失准则

解用s1表示状态{p0.05},s2表示状态{p0.25},a1表示方案“检验”，a2表示方案“不检验”，于是依题意有如下收益矩阵和p(s1)0.8,p(s2)0.2: s1s2

Q（1）据最大可能准则有

a115001500

a27503750p(s1)max{p(s1),p(s2)}p(s1)0.8,dmax{1500,750}750.

*2

故不检验为最佳方案。

（2）据期望收益准则有

d1q1jp(sj)15000.815000.21500(元)，j d2qj2j p(sj)7500.837500.21350(元)，*d2max{d1,d2}max{1500,1350}1350.故，不检验为最佳方案。

（3）据期望损失准则有后悔矩阵

s1s2

a17500 B

a202250于是

d1b1jp(sj)7500.800.2600(元),j d2bj2j p(sj)00.822500.2450(元)，*d2min{d1,d2}450.故，不检验为最优方案。

例 6 在例5种，工厂为慎重起见，在进行决策前，从一批中抽出一个产品进行初检，然后据此产品是否合格来决定是否对该批产品进行检验，试问：

（1）在初检合格时，据后验准则，最优方案为何？ （2）在初检为不合格时，据后验准则，最优方案为何？

解延续上题的记号并用x1表示“初检合格”，x2表示“初检不合格”，于是p(x1|s1)p(x1)p(x1|s1)p(s1)p(x1|s2)p(s2)0.95,p(x2|s1)0.05,p(x1|s2)0.75,p(x2|s2)0.25,以及

0.950.80.750.20.91,p(x2)1p(x1)10.910.09.

（1）由Bayes公式可求得：

p(s1|x1)p(x1|s1)p(s1)0.950.80.835,p(x1)0.91

p(s2|x1)1p(s1|x1)10.8350.165.于是据后验准则有

d1q1jp(sj|x1)15000.835(15000.165)1500,j d2qj2jp(sj|x1)7500.83537500.1651245,

*d2max{d1,d2}max{1500,1245}1245.故，不检验为最优方案。

（2）由Bayes公式可求得：

p(s1|x2)p(x2|s1)0.050.80.444,p(x2)0.09

p(s2|x2)1p(s1|x2)10.4440.556.于是据后验准则有

d1q1jp(sj|x2)15000.444(1500)0.5561500, d2q2jp(sj|x2)7500.444(37500.556)2418,

d1*max{d1,d2}max{1500,2418}1500.故，检验为最优方案。

例7某石油公司考虑在某地钻井，结果可能出现三种情况：无油(s1)；油量少(s2)；油丰富(s3).石油公司估计，三种状态出现的概率为p(s1)0.5,p(s2)0.3,p(s3)0.2.钻井费用为7万元，如果少量出油可收入12万元，如果大量出油可收入27万元。为了进一步了解地质构造情况，可进行勘探，勘探结果可能是构造较差(x1),构造一般(x2)和构造良好(x3).根据过去的经验，地质构造与油井出油的关系如表8.4所列.表 8.4

p(xj|Qi) 构造较差x1 0.60.3 0.1构造一般x2 0.30.4 0.4构造良好x3 无油s1油少量s2 油丰富s30.10.3 0.5如果勘探费用需1万元，问（1）应先勘探还是直接钻井，（2）应该怎样根据勘探结果来决定是否钻井？

解 用a1表示“钻井”，a2表示“不钻井”，则收益矩阵为

s1 Q并求得：

s2s3

a17520 a2000

p(x1)p(x1|sj)p(sj)0.60.50.30.30.10.20.41,j133p(x2)p(x2|sj)p(sj)0.30.50.40.30.40.20.35,j1p(x3)10.410.350.24,p(s1|x1)p(s2|x1)p(x1|s1)p(s1)0.60.50.7317,p(x1)0.41p(x1|s2)p(s2)0.30.30.2195,p(x1)0.41

p(s3|x1)10.73170.21950.0488.同理有

p(s1|x2)0.4286,p(s2|x2)0.3428,p(s3|x2)0.2286,p(s1|x3)0.2083,p(s2|x3)0.375,p(s3|x3)0.4167.

于是勘探结果为x1时：

d1q1jp(sj|x1)70.731750.2195200.04883.0484, d20,*d2max{d1,d2}max{3.0484,0}0.

故，不钻井为最优选择 勘探结果为x2时：

d1q1jp(sj|x2)70.428650.3428200.22863.2858, d2q2jp(sj|x2)0,

d1*max{d1,d2}max{3.2858,0}3.2858.故，钻井为最优选择。 勘探结果为x3时： d1q1jp(sj|x3)70.208350.375200.41678.7509,

　　　　　　　　　　d2q2jp(sj|x3)0,　　　　　　　　　　d1*max{d1,d2}max{8.7509,0}8.7509.故，钻井为最优选择。　　　(1)据样本信息期望值EVSI的定义有：　　　　　　EVSIp(xk)•(max(qijp(sj|xk)))max{qijp(sj)}jij　　　　　　　　　00.413.28580.358.75090.24(70.550.3200.2)　　　　　　　　　3.250221.2502.　　因此,样本信息价值为1.2502万元.该公司为获取这些新信息进行的勘探费用为一万元,并没有超过样本信息价值,应先行勘探。　　　(2)据勘探结果对钻井与否的回答在(1)的前段。　　例８　一个工厂生产某种时令产品，每销售一件可获利十元，如果不能售出，每积压一件要损失四元，预测到每月各种销售量的概率如表８５所示。　　　表　８５.　日销售量（件） 销售概率 10000（s1） 0.15 20000(s2) 0.30 30000(s3) 0.35 40000(s4) 0.20

又企业的月最大生产能力为40000件，且通过调查知各种销售量状态下销路好与不好的概率如表8.6所示。 X s 销路好 销路不好 10000(s1) 0.3 0.7 20000(s2) 0.5 0.5 30000(s3) 0.7 0.3 40000(s4) 0.8 0.2 X为销路，s为销量。 (1)试求EVPI.

(2)求在调查结果销路好与不好的生产方案。 (3)试求EVSI.

解用ai表示生产i10000(i1,2,3,4)件，x1表示销路好，x2表示销路不好，si表示销售量i10000(i1,2,3,4),则p(s1)0.15,p(s2)0.30,p(s3)0.35,p(s4)0.20.收益矩阵为10 10 1010 6  20 20 20 Q2 16 30 302 12 26 40其中收益矩阵中qij的单位为万元。

　　　(1)据完全信息期望值　　　　　　　　　EVPImax{qijp(sj)}max{qijp(sj)}jiij有　　　　max{qijp(sj)}100.15200.30300.35400.20ji　　　　　　　　　　　26(万元)，　　　　max{qijp(sj)}max{d1,d2,d3,d4}ij　　　　　　　　　　　max{10,17.9,21.6,20.4}21.6.故EVPI2621.64.4.　　这意味着工厂为了获得完全信息，可以支付4.4万元。　　　(2)由已知有：p(x1)p(x1|sj)•p(sj)0.30.150.50.300.70.350.80.2　　　0.6,p(x2)p(x2|sj)•p(sj)0.70.150.50.300.30.350.20.2　　　0.4.于是　　　　　　　　　　p(s1|x1)　　　　　　　　　　p(s2|x1)p(x1|s1)p(s1)0.30.150.075,p(x1)0.6p(x1|s2)p(s2)0.50.30.25.p(x1)0.6同理有：　　　　　　　　　　　　p(s3|x1)0.408,p(s4|x1)0.267,　　　　　　　　　　　　p(s1|x2)0.2625,p(s2|x2)0.375,　　　　　　　　　　　　p(s3|x2)0.2625,p(s4|x2)0.1.　　在信息为销路好时：　　d1|x1q1jp(sj|x1)100.075100.25100.408100.267j　　　　　10,　　d2|x1q2jp(sj|x1)60.075200.25200.408200.267j　　　　　18.95,　　d3|x120.075160.25300.408300.26724.4,　　d4|x120.075120.25260.408400.26724.138,　　d3|x1max{10,18.95,24.4,24.138}24.4.

故，生产3万件为最优方案。　　在信息为销路不好时：d1|x2qijp(sj|x2)100.2625100.375100.2625100.110.

同理可求 d2|x216.325,d3|x217.4,d4|x218.573.于是 d4|x2max{d1|x2,d2|x2,d3|x2,d4|x2} max{10,16.325,17.4.18.573}18.573.故，生产4万件为最优方案。 (3)据样本信息期望值有 EVSIp(xk)[max{qijp(sj|xk)}]maxqijp(sj)kji

24.40.618.5730.421.60.4692(万元) 这说明样本信息的价值为0.4692(万元)，如果工厂进行销路调查费用不少于0.4692万元，则此项调查是不值得的。

【例1】 某书店希望订购最新出版的好图书出售。根据以往经验，新书的销售量可能为50、100、150或120本。假定每本书的定价为4元，销售价为6元，剩书处理价为每本2元。要求：（a）建立条件收益矩；（b）分别依据悲观主义、乐观主义及等可能性决策准则，决定该书店应订购新书的数量；（c）建立机会损失矩阵，并依据最小机会损失的决策准则决定订购数量。 解：（a）条件收益矩阵如表11.2所示

表 11.2 单位：元 销售 订购 E1 150 100 0 -100 -200 E2 100 100 200 100 0 E3 150 100 200 300 200 E4 200 100 200 300 400 悲观主义 （min） 100max 0 -100 -299 乐观主义 （max） 100 200 300 400max 等可能性（期望值） 100 150max 150max 100 S1 50 S2 100 S3 150 S4 200 (b)在不同决策准则下选择的策略为 悲观主义：S1 乐观主义：S4

等可能性：S2或S3

解题步骤见表 11.2

（c）机会损失矩阵表如表 11.3所示。

表11.3 单位:元 E1 0 100 200 300 E2 100 0 100 200 E3 200 100 0 100 E4 300 200 100 0 最大集会损失 300 200min 200min 300 S1S2 S3S4故最小机会损失决策准则选择的策略为S2或S3.

【例3】 本章例1中如果书店统计过去销售新书数量的规律如表11.6所示。 表11.6 销售量 占的比率/% 50 20 100 40 150 30 200 10 要求：（a）分别用EMV和EOL准则决定订购数量；（b）假如书店负责人能确切掌握新书销售量的情况，试求EPPI和EVPI。

解:（a）分别用EMV准则决定订购数量的计算过程如表11.7所示。

表11.7 销售 订购 E1 E2 E3 E4 EMVPjaij Pj 0.2 0.4 100 40 200 80 100 40 0 0 0.3 100 30 200 60 300 90 200 60 0.1 100 10 200 20 300 30 400 40 100 S1Pja1jS2Pja2j 100 20 0 0 -100 -20 -200 -40 160max S3Pja3jS4Pja4j140 60 故用EMV准则确定的订购数量为100本。

用EOL准则确定订购数量的计算过程如表11.8所示。

表11.8 销售 订购 E1 E2 E3 E4 EMVPjaij Pj 0.2 0.4 100 40 0 0 100 40 200 80 0.3 200 30 100 30 0 0 100 30 0.1 300 10 200 20 100 10 0 0 80 S1Pja1jS2Pja2j 0 0 100 20 200 40 300 60 70min S3Pja3jS4Pja4j90 170 故用ELO准则确定的订购数量为100本。

（b）如果书店能知道确切销售数字，则可能获取的最大利润为 100×0.2+200×0.4+300×0.3+400×0.1=230元

由于不确切知道每种新书销售数，期望可获取利润为160元，230-160=70元就是该书店愿意付出的最大的调查费用。

【例2】某钟表公司计划通过它的销售网销售一种低价钟表，计划每块售价10元。生产这种钟表有三种设计方案：方案1需一次投资10万元，以后生产一个的费用为5元；方案2需一次投资16万元，以后生产一个的费用为4元；方案3需一次投资25万元，以后生产一个的费用为3元。对该种钟表的需求为未知，但估计有三种可能：E1—30000；E2—120000；E3—20000要求：(a)建立这个问题的收益矩阵；(b)分别用悲观主义、乐观主义、等可能性的决策准则来决定该公司应采取那一个设计方案；(c)建立机会损失矩阵，并用最小机会损失决策准则决定采用哪一设计方案。

解 （a）收益矩阵如表11.4所示

表11.4 单位：万元

事件 方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ E1 5 2 -4 50 56 59 90 104 115 E2 E3 悲观主义 （min） 5max 2 -4 乐观主义 （max） 90 104 115max 等可能性（期望值） 48.3 54 56.7max

(b) 在不同决策准则下选择的方案为 悲观主义：方案I 乐观主义：方案II 等可能性：方案III

（c）机会损失矩阵如表11.5所示。

表11.5 单位：万元 I II III E1 0 3 9 E2 9 3 0 E3 25 11 0 最大集会损失 25 11 9min 故按最小机会损失决策准则确定的方案为：方案III 。

【例4】本章例2中如果该钟表公司负责人预测三种需求量的概率如表11.9所示。 表11.9 事件 概率 E1 0.15 E2 0.75 E3 0.10 要求（a）分别用EMV和EOL准则决定该公司的最佳设计方案；（b）如该公司能确切掌握市场需求信息，求EPPI值；（c）若有一单位愿意帮助该公司调查市场的确切需求量，该公司最多愿意付的调查费是多少？

解（a）条件收益矩阵和机会损失矩阵如表11.10、11.11所示。

表11.10 单位：万元 E1 E2 E3

P（E） I II III 0.15 0.75 0.3 -0.6 0.75 37.5 42 44.25 0.10 9 10．4 11.5 EMV 47.25 52.7 55.15max

表11.11 单位：万元 P（E） I II III EMV E1 0.15 0 0.45 1.35 E2 0.75 6.75 2.25 0 E3 0.10 0.25 1.1 0 7 3.8 1.35min 故按EMV和EOL决策准则，都应该选方案III。 （b）求EPPI的方法如表11.2所示

表11.12 单位：万元 P（E） 完备信息时的最优策略 E1 0.15 Ⅰ E2 0.75 Ⅱ 59 E3 0.10 Ⅲ 11.5 EPPI 完备信息时的5 收入ajpjaj 0.75 44.25 11.5 56.5

故EPPI为56.5万元。 （cEVPIEPPIEMV56.555.151.35(万元)）

故该公司最多可愿意支付的调查费为1.35万元。

【例5】在一台机器上加工制造一批零件共10 000个，如果加工完后逐个进行修整，则可以全部合格，但需修整费300元。如果不进行修整，则据以往资料统计，次品率情况见表11.13.

表11.13 单位：万元 次品率（p） 0.02 概率P（p） 0.20 0.04 0.40 0.06 0.25 0.08 0.10 0.10 0.05 一旦装配中发现次品时，需返工修理费为每个零件0.05元。要求：（a）分别用EMV和EOL决策准则决定这批零件要不要整修；（b）为了获得这批零件中次品率的正确资料，在钢加工完成的一批10 000件中随机抽取130个样品，发现其中有9件次品，试修正先验概率，并重新按EMV和EOL决策准则决定这批零件要不要修整。 解 （a）先列出来条件收益矩阵，如表11.14

表11.14 单位：万元 E P（E） 0.02 0.2 0.04 0.4 -300 -200 0.06 0.25 -300 -300 0.08 0.10 -300 -400 0.10 0.05 -300 -500 -300 -240min EMY S2：不修正-100 S1:零件修正-300

故按EMV决策准则，零件不需修正。 再列出机会损失矩阵，如表11.15.

表11.15 单位：万元 E P（E） 0.02 0.2 0.04 0.4 100 0 0.06 0.25 0 0 0.08 0.10 0 100 0.10 0.05 0 200 80 20min EOL S2：不修正0 S1:零件修正200 故按EOL决策准则，零件业不需修正。 （b）修正先验概率，见表11.16

表11.16 E 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

mmnm9P(T|E)CnPqC130P9q121。

P（E） 0.2 0.4 0.25 0.1 0.05 P(T|E) 0.001 0.042 0.121 0.119 0.066 P（T，E） 0.000 20 0.016 80 0.302 5 0.011 90 0.003 30 P（E|T） 0.003 2 0.269 0 0.484 4 0.190 6 0.052 8 P（T）=0.06245 1.000 分别将P=0.02 q=0.98 代入求得

0.04

0.96

0.06 0.08 0.10

0.94 0.92 0.90

根据修正后的概率再分别列出条件收益矩阵和机会损失矩阵，如表11.17、11.18所示。

表11.17 E P(E) 0.02 0.0032 -300 -100 0.04 0.2690 -300 -100 0.06 0.4844 -300 -100 表11.18

E P(E) 0.02 0.0032 200 0 0.04 0.2690 100 0 0.06 0.4844 0 0 0.08 0.1906 0 100 0.10 0.0528 0 200 29.62 EOL 0.08 0.1906 -300 -400 0.10 0.0528 -300 -500 EMV -302.08 S1：修正 S2：不修正

S1：修正 S2：不修正 故按EMV或EOL决策准则，均采用修正零件的方案。