一.类似三角形中的动点问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A动身沿射线AC偏向以每秒5个单位的速度活动,同时动点E从点C沿射线AC偏向以每秒3个单位的速度活动．过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,衔接DG．设点D活动的时光为t秒．（1）当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;（2）当△DEG与△ACB类似时,求t的值．
2.如图,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点动身,沿AC向点C移动．同时,动点Q以1m/s的速度从C点动身,沿CB向点B移动．当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动．设移动的时光为t秒．（1）①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S（平方米）关于时光t（秒）的函数解析式;（2）在P,Q移动的进程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值．
3.如图1,在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点D在边AB上活动,DE等分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N．（1）当AD＝CD时,求证：DE∥AC;（2）探讨：AD为何值时,△BME与△CNE类似？
4.如图所示,在△ABC中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点P从A点动身,沿着AB以每秒4cm的速度向B点活动;同时点Q从C点动身,沿CA以每秒3cm的速度向A点活动,当P点到达B点时,Q点随之停滞活动．设活动的时光为x．（1）当x为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB可否类似？若能,求出AP的长;若不克不及解释来由．
5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开端向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动．假如P.Q同时动身,用t（s）暗示移动的时光（0＜t＜6）.
（1）当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似？ 二.结构类似帮助线——双垂直模子
6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式．
7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长．
8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C正好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x
轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的地位,且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A.B.C.D. 10..已知,如图,直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A.B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的双方之比为1﹕2.求C.D两点的坐标.
三.结构类似帮助线——A.X字型
11.如图：△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F.求
证：12.四边形ABCD中,AC为AB.AD的比例中项,且AC等分∠DAB.求证：
13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E为AD边上的随意率性一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实：(1)当时,EF=．当时,EF=;(2)当时,EF=;(3)当
时,参照上述研讨结论,请你猜测用
a.b和k暗示EF的一般结论,并给出证实．
14.已知：如图,在△ABC中,M是AC的中点,E.F是BC上的两点,且BE＝EF＝FC.求BN：NQ：QM．
15.证实：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角等分线定理：三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．
四.类似类定值问题
16.如图,在等边△ABC中,M.N分离是边AB,AC的中点,D为MN上随意率性一点,BD.CD的延伸线分离交AC.AB于点E.F．求证：分离交AD.BC于E.F.求证：极点分离在△ABC上.求证：． ．
．
17.已知：如图,梯形ABCD中,AB//DC,对角线AC.BD交于O,过O作EF//AB18.如图,在△ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个19.已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a．求证：． 五.类似之共线线段的比例问题 20.（1）
如图1,点在平行四边形ABCD的对角线BD上,一向线过点P分离交BA,BC的延伸线于点Q,S,交于点．求证：（2）如图2,图3,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延伸线上时,是否仍然成立？若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由（请求仅以图2为例进行证实或解释）;
21.已知：如图,△ABC中,AB＝AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作
2
CF∥AB,延伸BP交AC于E,交CF于F．求证：BP＝PE·PF ．
22.如图,已知△ABC中,AD,BF分离为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交
2
AB于E,交BF于G,交AC延伸线于H.求证：DE=EG•EH
23.已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD.BC.CD的延伸线.AB的延伸线分离订交于点E.F.G.H.求证：24.已知,如图,锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心（三角形三条高线2
的交点）;在AD上有一点P,且∠BPC为直角．求证：PD＝AD·DH. 六.类似之等积式类型分解
25.已知如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延
伸线交CA于F.求证：26如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延伸线交于点E.求证：（1）△AED∽△CBM;（2）
27.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延伸线与CB的延伸线交于点F.（1）求证：.（2）若G是BC的中点,衔接GD,GD与EF垂直吗？并解释来由.
28.如图,四边形ABCD.DEFG都是正方形,衔接AE.CG,AE与CG订交于点M,CG与AD订交于点N．求证：．
29.如图,BD.CE分离是△ABC的双方上的高,过D作DG⊥BC于G,分离交CE及BA的延伸线于
2
F.H.求证：（1）DG＝BG·CG;（2）BG·CG＝GF·GH 七. 类似根本模子运用
30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的
极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论． 31.如图,四边形
ABCD和四边形ACED都是平行四边
形,点R为DE的中点,BR分离交AC.CD于点P.Q．（1）请写出图中各对类似三角形（类似比为1除外）;（2）求BP：PQ：QR．
32.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证： 答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时CE=3,∴DE=3+3-5=1（2）如图当点D在点E左侧,即：0≦t≦时,DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG与△ACB类似,有两种情况：①△DEG∽△ACB,此时t=;②△DEG∽△BCA,此时
,即：,即：
,求得：,求得：
t=;如图,当点D在点E右侧,即：t>时,DE=5t-
(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB类似,有两种情况：③△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t=,求得：t=;④△DEG∽△BCA,此时．综上,t的值为或或或．
,即：
3.答案：解：（1）证实：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE等分CDB交边BC于点E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB为△CDB的一个外角∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE∴DE∥AC（2）①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE,如图
∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又
∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD=AB∵在
Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC,如图
∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵在Rt△ABC
中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝∴
8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴
综上：AD=5或时,△BME与△CNE类似．
4.答案：解（1）由题意：AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,时,
,即：
解得：
,即当PQ∥BCcm或或解得：（2）能,AP=
解得：,即AP=20cm①△APQ∽△CBQ,则（舍）此时：AP=cm②△APQ∽△CQB,则（相符题意）此时：AP=cm故AP=cm或20cm时,△APQ与△CQB能类似．
5.答案：解：设活动时光为t,则DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．（1）若△QAP为等腰直角三角形,则AQ=AP,即：6-t=2t,t=2（相符题意）∴t=2时,△QAP为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即：,解得：（相符题意）;②当△PAQ∽△ABC时,,即：,解得：（相符题意）．∴ 当或时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．
6.答案：解：分两种情况第一种情况,图象经由第一.三象限
过点A作AB⊥OA,交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝2,AC＝1,AO＝AB∴AD＝OC＝2,BD＝AC＝1∴D点坐标为（2,3）∴B点坐标为（1,3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x第二种
情况,图象经由第二.四象限过点A作AB⊥OA,交待求直线于点B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2∴D点坐标为（3,1）∴B点坐标为（3,﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝x 7.答案：解：情况一：
情况二：
情况三：
8.答案：证实：办法一：衔接PC,过点P作PD⊥AC于
D,则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC：CN=PD：DC∵PD=DA∴MC：CN=DA：DC∵PD//BC∴DA：DC=PA：PB∴MC：CN=PA：PB办法二：如
图,过M作MD⊥AB于D,过N作NE⊥AB于E由双垂
直模子,可以推知△PMD∽NPE,则,依据等比性质可知
,而MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC：CN=PA：PB
9.答案：A
解题思绪：如图过点D作AB的平行线交BC的延伸线于
点M,交x轴于点N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由B（1,3）∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵ ∠DNA=90°∴ ∠3+∠2=90°∴ ∠1=∠3∴ △DMC∽△AND,∴∴3x＋＝3∴x＝∴设CM=x,则DN=3x,AN=1＋x,DM＝,则. 答案为A
10.答案：解：过点C作x轴的平行线交y轴于G,
过点D作y轴的平行线交x轴于F,交GC的延伸线于E.∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A.B两点∴A（1,0）,B（0,2）∴OA=1,OB=2,AB=∵AB：BC=1:2∴BC=AD=∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴（4,4）同理可得△ADF∽△BAO,得（5,2）
∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案：证实：（办法一）如图衔接延伸AE到M使得EM=AE,
CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴
△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴
（办法二）
过D作DG∥BC,
交AE于G则
△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴ ∵AD=AC,BE=CE∴
12.答案：证实：过点D作DF∥AB交AC的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴即
∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴ ∵AD=DF∴∵AC为AB.AD的比例中项∴又
∴
∴
13.答案：解：证实：过点E作PQ∥BC分
离交BA延伸线和DC于点P和点Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形∴PB＝EF＝CQ,PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴又∵AB＝b,CD＝a∴AP＝
14.答案：解：衔接MF∵M是AC的中点,EF＝
FC∴MF∥AE且MF＝AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF ∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设NE＝x,则MF＝2x,AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2 ∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:2
15.答案：证实：（1）如图1,AD.BE为△ABC的中线,且AD.BE交于点O过点C作CF∥BE,交AD的延伸线于点F∵CF∥BE且E为AC中点∴∠AEO＝∠ACF,∠OBD＝∠FCD,AC＝2AE∵∠EAO＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴
∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∵D∴为BC的中点,∠ODB＝
同理,可证别的两条中线（2）
∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的
如图2,AD为△ABC的角等分线过点C作AB的平行线CE交AD
的延伸线于E则∠BAD=∠E∵AD为△ABC的角等分线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴ 16.答案：证实：如图,作DP∥AB,DQ∥AC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形∴BP+CQ＝MN,DP＝DQ＝PQ∵M.N分离是边AB,AC的中点∴MN＝PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴∵DP＝DQ＝PQ＝
（17.
）＝∴答
BC＝∴,BC＝
AB∴
AB
案：证实：,
∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴∴18.答∵EF∥CD,EH∥AB∴案,∴：∵,∴：,,∴ 证
,实：∴△A∵EF
＝
FE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴EH∴19.答∵EF∥AC,DE∥BC∴案证∵实,：∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴∵EF＝DE＝a∴ 20.答案：（1）证实：在平行四边形中,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴ABCD
同来由
AB∥CD可证△PTD∽△PQB∴∴∴（2）证实：成立,来由如下：在平行四边形ABCD
中,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD可证△PTD∽△PQB∴∴∴ 同来由
21.答案：证实:∵AB＝AC,AD线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴22.答案：证实：∵DE⊥AB∴90°∴∵BF⊥AC∴
∴＝∵＝
∴BP＝PE·PF即证所求
＝90°∵2是中又又
＝
∴△ADE∽△DBE∴90°∵∴DE2=＝90°且∴
∵
∴DE2=EG•EH ∴△BEG∽△HEA∴
23.答案：证实：形
∵四边形ABCD为平行四边
∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴ 24.答案：证实：如图,衔接BH交AC于点E,为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BCD∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC∵H于又
∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即
∵∠BPC为直角,AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2
＝AD·DH
25.答案：证实：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即 26.答案：证实：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH∴∠ADE＝∠CMB∴△AED∽△CBM（2）由上问可知：,即需证实即可∵∠A＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴故只∠A,∠ACD＝
27.答案：（1）将结论写成比例的情势,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD（已经有一个公共角∠F）Rt△ACD中,E是AC的中点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴（2）断定：GD与EF垂直 Rt△CDB中,G是BC的中点, ∴GD＝GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90° ∴GD⊥EF
28.答案：证实：由四边形ABCD.DEFG都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则∠CDG=∠ADE=∠ADG+90°在和中
∴≌则∠DAM=∠DCN又
∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND则∴ 29.答案：证实：找模子.（1）△BCD.△BDG,△CDG组成母子型类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2＝BG·CG（2）剖析：将等积式转化为比例式.BG·CG＝GF·GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG·CG＝GF·GH．
30.答案：（1）证实：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC＝∠EMB 又∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （2）△COE∽△EON 证实：∵∠OEN=∠C＝45°,∠COE＝∠EON ∴△COE∽△EON 31. 答案：解：（1）△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP（2）∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点C为BE的中点∴又∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∴DR=RE∴∵点
R
为
DE
的中点
综上：BP：PQ：QR＝3：1：2
∴AD²＝
32.答案：证实：∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴AEAB同理可证：AD²＝AFAC∴AEAB＝AFAC
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