Bootstrap方法在区间估计中的应用

第２８卷　第４期　江　西　科　学　Ｖ０１．２８　Ｎｏ．４　２０ｌ０年８月　ＪＩＡＮＧＸＩ　ＳＣＩＥＮＣＥ　Ａｕｇ．２０１０　文章编号：１００１—３６７９（２０１０）０４—０４２９—０３　Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法在区间估计中的应用　赵　慧　琴　（广东商学院华商学院，广东广州５１　１３００）　摘要：运用ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法对总体均值区间进行估计。在小样本下用常规方法和ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　４种方法对总体均值　进行区间估计，在Ｒ软件中实现。结果表明，用ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法估计出的区间宽度明显要比常规方法估计出的　窄。ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法可以提高小样本下总体均值区间估计的精度。　关键词：Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ；区间估计；总体均值　中图分类号：Ｏ２１２　文献标识码：Ａ　Ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　Ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｂｙ　Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　ＺＨＡＯ　Ｈｕｉ—ｑｉｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｈｕａｓｈａｎｇ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｓｔｕｄｉｅｓ，　Ｇｕａｎｇｄ０ｎｇ　Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１１３００　ＰＲＣ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｓｔｕｄｙ　ｗａｓ　ｔｏ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｏｆ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅａｎ　ｂｙ　ｂｏｏｔｓｔｒａｐ．Ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ　ｆｏｕｒ　ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　ｗａｙｓ　ａｎｄ　ｃｏｍｍｏｎ　ｗａｙ　ｔｏ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｏｆ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅａｎ，ａｎｄ　ｕｓｉｎｇ　Ｒ　ｔｏ　ｃａｒｒｙ　ｏｕｔ　ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅｄ　ｌｅｎｇｔｈｓ　ｏｆ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｉｎ－　ｔｅｒｖａｌｓ　ｂｙ　ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　ｗｅｒｅ　ｌｅｓｓ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｗａｙ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　ｃａｎ　ｍａｋｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｍｏｒｅ　ｐｒｅｃｉｓｅ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｗａｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ，Ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ，Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅａｎ　０前言　１　Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法的基本思想　在一般的统计学教材中，涉及到对总体均值　Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　Ｌ】’２　方法是一种再抽样统计方法，也　进行区间估计时，总是会根据抽得的样本一些分　叫自助法。该方法只依赖于给定的观测信息，不　布特征以及抽取的样本量大小来选择合适的统计　需要其它的假设和增加新的观测，它借助计算机　量，从而套用相应的公式来进行区问估计。通常　对原始样本资料进行重复抽样以产生一系列　情况下对总体均值进行区间估计时，总是把总体　“新”的样本，可用于研究一组数据的某统计量的　假设为正态分布，在此基础上利用相关理论和统　分布特征，特别适用于那些难以用常规方法导出　计表进行推断。然而这样得到的置信区间可信度　对参数的区间估计、假设检验等问题。Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　高吗？是否还存在更可靠的办法？尤其对于小样　方法的基本思想是：在原始数据的范围内作有放　本的情况来说。事实上是存在的，对于计算机高　回的再抽样进行，对参数０进行估计，样本含量仍　速发展的今天，完全可以借助计算机统计软件来　为ｎ，原始数据中每个观察单位每次被抽到的概　实现，即用Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法在Ｒ软件中实现。　收稿Ｅｔ期：２０１０—０６—３０；修订日期：２０１０一Ｏ７—２９　作者简介：赵慧琴（１９８２一），女，山西长治人，教师，研究方向为应用概率统计。　・４３０・　２０ｌＯ年第２８卷　率相等，为　，所得样本称为ｂｏｏｔｓｔｒａｐ样本，这样　，　点分别是在（１一　）置信水平下统计量　的置信　重复Ｂ次，就可以得到Ｂ个ｂｏｏｔｓｔｒａｐ样本，然后　区间的上下限，即［童　（詈　，　（（１＿詈）　］。　（３）ｔ百分位数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法是在对百分位　再进行统计分析。　２　Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法区间估计的４种类型　置信区间　ｌ４　可以采用标准Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ（ｓＢ）、　百分位数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ（ＰＢ）、ｔ百分位数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法改进的基础上得到的，通常情况　下可以得到比百分位数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法更为准确　的置信区间。假设Ｂ＝１　０００，那么针对每个Ｂｏｏｔ－　ｓｔｒａｐ样本计算ｔ统计量，即　。　一　（ＰＴＢ）和修正偏差后的百分位数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　（ＢＣＰＢ）等４种方法来估计。　（１）标准Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法是指假设从服从某分　布ｘ的过程中独立随机抽取样本容量为／７，的样　本　，　…　～　。对原始样本进行反复有放回的　ｔ　＝—　＝＝＝＝＝　￣／Ｖａｒ　（　）　将结果按由小到大的顺序依次排列，可以得到关　重抽样，共有　“种可能的Ｂ￣ｏｔｓｔｒａｐ随机样本。对　于每一个子样本　，都是　的一个估计值。同时　‘的分布应与　的分布相同。但是在实际中抽　取ｒｔ　个随机Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ样本对于计算机运行速度　来说是一个很大的挑战，Ｅｆｒｏｎ和Ｔｉｂｓｈｉｒａｎｉ指出　一于｛　，￡　，…，￡　０００｝的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ经验分布，ｆ０】（　１，２，…，ｒｔ）当显著性水平为ｏｔ时，第ａＪ２和第１　ａ／２分位点分别为　＝一（　）　（（１一詈）Ｂ）］　则　的置信区间为　［　一￡　（　）×　一　，　一￡’（（１一詈）　般抽取Ｂ＝１　０００个Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ随机样本就可以　据此进行分析计算。令引乍为　的估计值，　ｌ、表　示１　０００个Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ随机样本，则由这１　０００个　Ｂ×￣／Ｖａｒ　（　））］　（４）应用上述３种方法时，得到的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ估计值　工）计算出的样本均值为　．　经验分布常常发生与期望分布存在偏差的情况。　针对这种情况，Ｅｆｒｏｎ又提出修正偏差后的百分位　数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法对可能存在的潜在偏差进行修　正，具体方法如下。　１　０００　・一一　１　０００　＿ｆ　（ｉ）　样本方差为　１　１　０００　一　Ｖａｒ（ｘ　）＝　∑（　一　）　ｌ　Ｊ　．　首先，根据　的Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ经验分布，计算出　该分布中小于或等于　’的概率。　Ｐ０＝ｐ，（　≤圣）　其次，计算　　。当　的分布服从或近似服从正态分布时，公式中　计算出的统计量Ｖａｒ（　）实质上就是　的方差的　估计值。因此当显著性水平为ｏｔ时，　的（１一　）％的标准Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ置信区间分别为　Ｚｏ＝　（Ｐ０）　Ｐ￡＝　（２Ｚ０一Ｚｌ一睾）　［　一Ｚｌ一￣Ｖａｒ　（　），　＋Ｚ１一睾　ｒ　（　）］　其中，Ｚ　一譬为标准正态分布的１一ａ／２百分位数。　（２）百分位数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法利用Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ经　验分布的第ｔｒ．／２和１一ｏｒ／２第分位点分别是在（１　一Ｐ￡，＝　（２　＋Ｚｌ一睾）　、　则　的修正偏差后的百分位数Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ置信区　间为：　［　（ｐＬＢ），　’（ｐｖＢ）］。　ａ）置信水平下统计量Ｔ的置信区问的上、下　限。具体如下：当取Ｂ＝１　０００时，共可得到１　０００　个Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ随机样本，将每个样本的均值按由小　到大的顺序依次排列，可以得到顺序统计量　、，　其中（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ），则第０６／２和１一ａ／２第分位　３　实例验证　数据来自某厂某种灯泡的寿命，已知服从正　态分布，现从一批灯泡中随机抽取ｌ６个，测得其　寿命如表１。　表１　某厂某种灯泡的寿命　第４期　赵慧琴：Ｂｏｏｌｓｔｔ　ａｌ，方法在区问估计巾的应川　・４３１・　用常规的教材上的方法（　±￡　（１６—１）｛，√　　参考文献：　，　＝０．０５）和Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ的４种方法分别对灯泡的　［１］　谢益辉，朱钰．Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法的历史发展和前沿　寿命进行区间估计，得到的结果如表２。　研究［Ｊ］．统计与信息论坛，２００８，２３（２）：９０—９６．　［２］　施锡铨．关于Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ的回顾［Ｊ］．应用概率统计，　４　结论　１９８７，３（－２）：１６７—１７７．　从表２中可以看出在小样本情况下，用Ｂｏｏｔ—　［３］　Ｅｆｒｏｎ　Ｂ．Ｂｅｔｔｅｒ　ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｗａｌｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓ．　ｓｔｒａｏ　４种方法估计出的所有灯泡的平均寿命的置　ｃｕｓｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　Ａｓｓｏｃｉ—　ａｔｉｏｎ，＇－９８７，８２：１７１—２００．　信区问宽度明显要比常规方法估计的区问宽度　短，从而说明Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　４种方法估计的精度要明　［４］　Ｍｕｄｅｌｓｅｅ　Ｍ，Ａｌｋｉｏ　Ｍ．Ｑｕａｎｔｉｆｙｉｎｇ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｉｎ　ｔｗｏ．ｓａｍ—　ｐｌｅ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｌａ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ　ｕｓｉｎｇ　ｂｏｏｔｓｔｒａｐ　ｃｏｎｆｉ－　显高于常规方法的。这也在一定程度上为统计工　ｄｅｎｃｅ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ［Ｊ］．Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ　Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ＆Ｓｏｆｔ－　作提供了很大方便，同时也是把参数估计向非参　ｗａｒｅ，２００７，２２（１）：８４—９６．　数估计的一种转变。　（上接第４２４页）　由此可知　为左Ｒ一半模同构，则Ｋ　ｏ　兰Ｋ２　证明：若　（ｉ∈Ａ）是有限表示的，则有真正　０　。　合列　—　一　一０，其中　，　均为有限生成　命题１：设Ｒ为半环，若左Ｒ．半模　是有限　的，由于直和保真正合性，所以有真正合列Ｕ　Ｆ　表示的，且Ｏ—　Ｆ＿　是真正合列，其中　一　一　—　，而ｕｌ４　，　仍为有限生成　ｉ为七一正则的，Ｆ　Ｅｆ．ｇ．Ｆｒｅｅ　Ｍ，则Ｋ是有限生成　自由半模，所以Ｉ＿Ｉ　是有限表示的。　的。　证明：因为Ｍ是有限表示的，则存在真正合　参考文献：　［１］ＤＯＮＧ　Ｗｅｎ—ｔｉｎｇ．Ｈｏｍｏｌｏｇｙ　ａｌｇｅｂｒａ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｂｅｉ—　列０一　一，　—　—０，其中　一为　一正则的，Ｆ　ｊｉｎｇ　Ｇａｏ　ｄｅｎｇ　ｐｒｅｓｓ，１９９８．　Ｅｆ．ｇ．Ｆｒｅｅ　Ｍ，Ｋ　ｏｆ．ｇ．　Ｍ，由定理２知，Ｋｏ，　［２］　Ｇｏｌａｎ　Ｊ　Ｓ．Ｔｈｅ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｓｅｍｉｒｉｎｇｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　兰　①Ｆ，而　和Ｆ都是有限生成的，所以Ｋ　ｏＦ　ｉｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　也是有限生成的，从而Ｋ＠Ｆ　也是有限生成的，而　［Ｍ］．Ｅｘｘｅｓ，Ｅｎｇｌａｎｄ：Ｌｏｎｇｍａｎ　ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ＆ｔｅｅｈｅｉｅａｌ，　其直和项Ｋ是　Ｆ　的同态像，因此　是有限生　１９９９．　成的。　［３］　Ａ１－Ｔｈａｎｉ　Ｈ　Ｍ　Ｊ．ｋ－－ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｍｏｄｕｌｅｓ［Ｊ］．Ｋｏｂｅ　定理３：设Ｒ为半环，｛　｝　是一簇左　一半　Ｊ．Ｍａｔｈ．１９９６，１３（１）：４９—５９．　模，　是有限集，若对Ｙｉ　ｃＡ，Ｍ　是有限表示的，则　［４］　程福长，易　忠．环的同调维数［Ｍ］．桂林：广西师　Ｕ　是有限表示的。　范大学出版社，２０００．