2020-2021高三数学上期中试卷(附答案)(20)

一、选择题

1．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a372a5，则S13（ ）

A．49

B．91

C．98

D．182

2．已知等比数列{an}中，a11，a3a56，则a5a7（ ） A．12

B．10

C．122 ，ABD．62 3．在VABC中，ABCA．42，BC3，则sinBAC（ ）

C．310 1010 102B．10 5D．5 54．关于x的不等式xa1xa0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）

A．3,24,5 B．3,24,5 C．4,5

D．（4,5）

3xy6xy205．x,y满足约束条件,若目标函数zaxby(a0,b0)的最大值为

x0y012，则A．

23的最小值为 ( ) abB．25

C．

25 325 6D．5

6．已知数列{an}的通项公式为an＝n()则数列{an}中的最大项为( ) A．C．

23n8 964 81B．D．

2 3125 2437．在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

(accosB)sinB(bccosA)sinA，则VABC的形状为（）

A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

8．在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为( ) A．9

B．27

C．54

D．81

9．已知等差数列an中，a10103，S20172017，则S2018（ ） A．2018

B．2018

C．4036

D．4036

10．已知等差数列an的前n项为Sn，且a1a514，S927，则使得Sn取最小值

时的n为（ ）． A．1

B．6

C．7

2D．6或7

11．在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c， cosA．直角三角形 C．等腰直角三角形

Abc，则ABC的形状为 22cB．等腰三角形或直角三角形 D．正三角形

12．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A60，a43，b4，则B（ ） A．B30或B150 C．B30 二、填空题

B．B150 D．B60

13．在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若

2sinBsinAsinC,cosB3，且SABC6，则b__________． 514．已知等比数列{an}的首项为2，公比为2，则

aan1aa1aa2Laan_______________．

15．已知等比数列an的首项为a1，前n项和为Sn，若数列Sn2a1为等比数列，则

a3____. a216．已知三角形__________．

17．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos______________．

中，

边上的高与

边长相等，则

的最大值是

x2y40，2218．已知实数x,y满足{2xy20，则xy的取值范围是 .

3xy30，219．（理）设函数f(x)x1，对任意x,，

32xf()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是______． m520．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11a9a122e，则

lna1lna2Llna20等于__________．

三、解答题

21．在平面四边形ABCD中，已知ABC3，ABAD，AB1． 4

（1）若AC5，求ABC的面积；

（2）若sinCAD25，AD4，求CD的长． 522．设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

acosB(2cb)cosA．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a4，BC边上的中线AM22，求ABC的面积．

2*23．已知数列an的前n项和Snpnqnp,qR,nN，且a13,S424.

（1）求数列an的通项公式；

（2）设bn2n，求数列bn的前n项和Tn．

a24．已知等比数列an的各项均为正数，a28，a3a448．

(Ⅰ)求数列an的通项公式；

(Ⅱ)设bnlog4an.证明：bn为等差数列，并求bn的前n项和Sn．

25．在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2Asin2Csin2BsinAsinC.

(1)求B的大小;

(2)设BAC的平分线AD交BC于D,AD23,BD1,求sinBAC的值.

26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某

单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本

y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y1x2200x80000，且每处

2理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

∵a372a5，∴a12d72(a14d)，即a16d7，∴

S1313a713(a16d)13791，故选B．

2．A

解析：A 【解析】

2422由已知a3a5qq6，∴q2，∴a5a7q(a3a5)2612，故选A.

3．C

解析：C 【解析】

试题分析：由余弦定理得b29223cos245,b5.由正弦定理得

35310. ，解得sinBACsinBACsin104考点：解三角形.

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

不等式等价转化为(x1)(xa)0，当a1时，得1xa，当a1时，得

ax1，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a的取值范围。

【详解】

关于x的不等式xa1xa0，

2不等式可变形为(x1)(xa)0，

当a1时，得1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则4a5； 当a1时，得ax1，，此时解集中的整数为-2，-1，0，则3a2 故a的取值范围是3,24,5，选：A。 【点睛】

本题难点在于分类讨论解含参的二次不等式，由于二次不等式对应的二次方程的根大小不确定，所以要对a和1的大小进行分类讨论。其次在观察a的范围的时候要注意范围的端点能否取到，防止选择错误的B选项。

5．A

解析：A 【解析】 【分析】

先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数zaxby(a0,b0)何时取最大值，进而找到a，b之间的关系式2a3b6,然后可得简变形用基本不等式即可求解。 【详解】

23123()(2a3b)，化ab6ab不等式组表示的平面区域如图，由3xy60得点B坐标为

xy20B（4,6）.由图可知当直线zaxby经过点B（4,6）时，Z取最大值。因为目标函数

zaxby(a0,b0)的最大值为12，所以4a6b12,即2a3b6,

所以

2312316a6b16a6b25。 ()(2a3b)(13)(132)ab6ab6ba6ba66a6b6当且仅当ba即ab时，上式取“=”号。

52a3b6所以当ab故选A。 【点睛】

62325时，取最小值。 5ab6利用基本不等式ab2ab可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当

a，b都取正值时，（1）若和ab取定值，则积ab有最大值；（2）若积ab取定值时，

则和 ab有最小值。

6．A

解析：A 【解析】

解法一 an＋1－an＝(n＋1)

n＋1

－n

n

＝·

n

，

当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×

，

<1，解得n>2.又an>0，

2

＝.故选A.

解法二 令

＝＝

>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令

故a1a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×

2

＝.故选A.

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

由正弦定理化简(accosB)sinB(bccosA)sinA，得到sin2Bsin2A0，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】

由题意知，(accosB)sinB(bccosA)sinA， 结合正弦定理，化简可得(accosB)b(bccosA)a， 所以acosAbcosB0，则sinBcosBsinAcosA0， 所以sin2Bsin2A0，得2B2A或2B2A180o， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D． 【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．

8．B

解析：B

【解析】 【分析】

根据题意，设等比数列an的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得

22a23a1a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q24q30，解得q，又a2a12，即a1q12，q1，分析可得a1、q的值，可得数列an的通项公

式，将n4代入计算可得答案． 【详解】

解：根据题意，设等比数列an的公比为q，

2若2a2为3a1和a3的等差中项，则有22a23a1a3，变形可得4a1q3a1a1q，即

q24q30，

解得q1或3；

又a2a12，即a1q12，则q3，a11，

3n1则an3，则有a4327；

故选：B． 【点睛】

本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．

9．D

解析：D 【解析】

分析：由题意首先求得a10091，然后结合等差数列前n项和公式求解前n项和即可求得最终结果.

详解：由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：

S2017a1a20172a2017100920172017a10092017， 22则a10091，据此可得：

a1a201820181009a1009a1010100944036. 2本题选择D选项. S2017点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．B

解析：B 【解析】

试题分析：由等差数列

的性质，可得

，又

，所以

的通项公式为

，解得

所以使得

取最小值时的为

，令

，所以数列

，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，，故选B．

考点：等差数列的性质.

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为cos2Abc，所以22c1cosAbcccosAb,sinCcosAsinBsinAC,sinAcosC0,因此, 22ccosC0，C【点睛】

本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.

2,选A.

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

将已知代入正弦定理可得sinB1，根据ab，由三角形中大边对大角可得：2B60，即可求得B30. 【详解】

解：QA60，a43，b4

bsinA4sin601 a243由正弦定理得：sinBQab

B60 B30

故选C. 【点睛】

本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.

二、填空题

13．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为

解析：4 【解析】

已知等式2sinBsinAsinC，利用正弦定理化简得：2bac，QcosB得sinB1cosB弦定理可得，

23,可54114，SABCacsinBac6，可解得ac15，余52252324b215bac2accosBac2ac1cosB1，可解得

5222b4，故答案为4.

14．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简

解析：【解析】 【分析】

根据等比数列通项公式，求出aa1a2Lan2n1n1212n122，计算

2an1an1a1a2Lana1a22即可得解.

aa1aa2Laan22L2an【详解】

由题an2， aa1a2Lan2n1naan1n1212n122

2an1an1a1a2Lana1a22 anaa1aa2Laan22L2aan12n1aa1a2Lan224.

故答案为：4 【点睛】

此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.

15．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得

解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：

1 2【解析】 【分析】

设等比数列an的公比为q，由数列Sn2a1为等比数列，得出

S22a1S12a1S32a1，求出q的值，即可得出a322a的值.

【详解】

设等比数列an的公比为q，

由于数列Sn2a1为等比数列，S22a1S12a1S32a1，

2整理得a2a1a1a3a2a1，即q1qq1，化简得

2222q2q0，

Qq0，解得q故答案为：【点睛】

a311q. ，因此，a2221. 2本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

16．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：

【解析】

试题分析：由题意得

，因此

,

从而所求最大值是

考点：正余弦定理、面积公式

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件

即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具

即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.

17．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际 解析：

21 14【解析】 【分析】

在ABC中，由余弦定理，求得BC，再由正弦定理，求得sinACB,sinBAC，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos的值． 【详解】

在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120o， 由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos120o2800， 所以BC207海里, 由正弦定理可得sinACBAB21， sinBACBC727 ，721． 14因为BAC120o，可知ACB为锐角，所以cosACB所以coscos(ACB30o)cosACBcos30osinACBsin30o【点睛】

本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．

18．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：[,13]

【解析】 【分析】 【详解】

画出不等式组表示的平面区域，

45

2由图可知原点到直线2xy20距离的平方为xy2的最小值，为|2224|，原点

55到直线x2y4=0与3xy3=0的交点(2,3)距离的平方为x此x2y2的最大值为13，因

y2的取值范围为[,13].

45【考点】 线性规划 【名师点睛】

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.

19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析

解析：m【解析】 【分析】

先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】

33或m 22xQf()4m2f(x)f(x1)4f(m)

mx()214m2(x21)(x1)214(m21) m即(4m1即4m12212)x2x30 2m1233,(x) 22mxx23因为当x时xx2393

224所以4m1223238183332mm或m 2m342233或m 22故答案为：m【点睛】

本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

20．50【解析】由题意可得=填50

解析：50 【解析】

5由题意可得a10a11a9a12e，

lna1lna2lna20=ln(a1a2La19a20)ln(a1a10)10lne5050，填50.

三、解答题

21．（1）【解析】 【分析】

（1）在ΔABC中，由余弦定理，求得BC解；

（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sinBCA1；（2）13. 22,进而利用三角形的面积公式，即可求

10，再在10ΔABC中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】

（1）在ΔABC中，AC2AB2BC22ABBCCOSABC 即51BC22BC BC22BC40,解得BC所以SΔABC2.

1121ABBCsinABC12. 22222525,所以cosBAC ，55（2）因为BAD900,sinCADsinBAC5, 5π所以sinBCAsinBAC 2cosBACsinBAC

42225510. 25510在ΔABC中，

ACABABsinABC5. , ACsinABCsinBCAsinBCA513 5所以CD2AC2AD22ACADcosCAD 516254所以CD13. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 22．（Ⅰ）A【解析】 【分析】

（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.

3（Ⅱ）S23

uuuur1uuuruuur（Ⅱ）AM(ABAC)，平方，代入公式利用余弦定理得到答案.

2【详解】

（Ⅰ）因为acosB2cbcosA，

由正弦定理得sinAcosBcosA2sinCsinB，

即sinAcosBcosAsinB2sinCcosA，所以sinAB2sinccosA， 因为sinABsinC0，所以cosA又因为A(0,)，所以A1， 23uuuur1uuuruuur（Ⅱ）由M是BC中点，得AM(ABAC)，

2uuuur21uuur2uuur2uuuruuur即AM(ABAC2ABAC)，

4所以c2b2bc32，①

又根据余弦定理，有a2b2c22bccosAb2c2bc4216，② 联立①②，得bc8． 所以ABC的面积S【点睛】

．

1bcsinA23． 2本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.

8(4n1). 23．（Ⅰ）an2n1,；（Ⅱ）Tn3【解析】 【分析】

2（Ⅰ）由题意可得p1,q2.则Snn2n，利用通项公式与前n项和的关系可得

an2n1,

2n1（Ⅱ） 由（1）可知bn2，结合等比数列前n项和公式计算可得数列bn的前n项和

3【详解】

（Ⅰ）由Tn84n1.

S1pq32 得p1,q2.Snn2n.

S416p4q242所以当n1时，a13.

当n2时，Sn1n12n1,

所以anSnSn1n2nn12n12n1,

22检验a13.符合an2n1, （Ⅱ） 由（1）可知an2n1, 所以bn2an22n1.设数列bn的前n项和为Tn，则：

Tn241242L24n124n24142L4n14n2414n

1484n13.?84n13所以数列bn的前n项和为Tn【点睛】

.

本题主要考查数列通项公式与前n项和公式的关系，等比数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 24．（Ⅰ） an2【解析】

n1n23n （Ⅱ）见解析，

4【分析】

2（1）利用a3a4a2qa2q48及a28求得q，从而得到通项公式．

（2）利用定义证明bn等差数列，并利用公式求和． 【详解】

（Ⅰ）设等比数列an的公比为q，依题意q0．

2由a28,a3a448得8q8q48，解得q=2． n22n1 ． 故an82（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得bnlog4anlog42故bnbn1n1n1． 211，所以bn是首项为1，公差为的等差数列， 22nn11n23n所以Snn1． 224【点睛】

一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明anan1d；（2）证明：2anan1an1.

B25．(1) 【解析】

215π；（2）. 38【试题分析】（1）先正弦定理将已知sin2Asin2Csin2BsinAsinC化为边的关系,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出sinBAD求出cosBAC1，然后运用余弦二倍角47，进而运用平方关系求出sinBAC. 8解：(1) sin2Asin2Csin2BsinAsinC, a2c2b2ac,

a2c2b2ac1 cosB,

2ac2ac2 QB0,π, B2π. 33ADBD1BDsinB,得 (2) 在VABD中,由正弦定理:21, sinBADsinBsinBADAD234 cosBACcos2BAD12sinBAD12217, 168715 sinBAC1cos2BAC1. 8826．（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损． 【解析】 【分析】

（1）根据已知得平均处理成本为

2y，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的x最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利

S100xy12x30035000，根据二次函数图象可求得2S80000,40000，可知不获利，同时求得国家至少补贴40000元.

【详解】

（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：

y180000180000x2002x200200 x2x2x180000x，即x400时取等号 2x月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨

当且仅当（2）不获利

设该单位每月获利为S元

1121S100xy100xx2200x80000x2300x80000x30035000222Qx400,600 S80000,40000

故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损 【点睛】

本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.