2019年陕西省中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 36的算术平方根是（ ）
A. 6 B. C.
2. 将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的主视图可能是（ ）
D. A. B.
C. D.
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的
大小为（ ） A. B. C. D.
2
10. 如图，函数y=-x+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，
3），对称轴是x=-1，在下列结论中，正确的是（ ） A. 顶点坐标为
B. 抛物线与x轴的另一个交点是 C. 当 时，y随x的增大而增大 D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 比较大小 ______-2（填“＞”、“＜”或“=”）．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D. 4. 若点A（1-a，2-b）与点B（-3，2）关于x轴对称，则a-b的值是（ ）
A. B. 1 C. 0 D. 5. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若
∠B′MD=50°，则∠BEF的度数（ ）
12. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的直径是6，则正六边形的周长是______．
13. 如图，点E为矩形OABC的边BC的中点，反比例函数y= （x＞0）的图象经过
点E，交AB于点D，若△BDE的面积为2，则k=______．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点
E是边AB上一动点，B′D沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为______．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分） 15. 计算： + ． -|1- |+2cos30°
A. B. C. D.
D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，6. 如图，在边长为4的等边△ABC中，
G为EF的中点，连接DG，则DG的长为（ ） A. 2
B. C.
D. 1
7. 如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（-6，0），且过点A（-2，4），
则不等式0＜kx+b≤4的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BE、CF分别是AC、AB边上的高，连接EF，则
EF：BC的值为（ ） A. 1：2 B. 2：3 C. 1：4 D. 2：5
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16. 先化简再求值：
，其中m=-2．
有多少名？
四、解答题（本大题共9小题，共68.0分）
17. 尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形
花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B=∠AEB．求
证：AC=DE．
19. 网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学
习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题： 组别 A B C D E 学习时间x（h） 0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4 4小时以上 频数（人数） 8 24 32 n 4
20. 为纪念伟大人民音乐家国歌作曲人聂耳，云南省玉溪市在城区建立聂耳文化广场．广场山顶立有聂耳
演奏小提琴的铜像，张明同学想测量聂耳山上聂耳钢像的高度，于是他爸爸查阅资料后告诉他，聂耳山的高度是12米，铜像（图中AB）高度比底座（图中BD）高度多2米，张明随后用高度为1米的测角仪（图中EF）测得铜像顶端点A的仰角β=60°，底座顶端点B的仰角α=30°，请你帮助张明算出聂耳铜像AB的高度．（把聂耳钢像和底座近似看在一条直线上，它的抽象几何形如图）．
（1）表中的n=______中位数落在______组，扇形统计图中B组对应的圆心角为______． （2）请补全频数分布直方图
（3）该校共有2000名学生，请根据调查数据计算出利用网络自主学习时间不超过2小时的学生大约
21. “莓好莒南幸福家园” ---2018年莒南县第三届草莓旅游文化节期间，甲、
乙两家草莓采摘园草莓品质相同，销售价格也相同，均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠，优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系． （1）求y1，y2与x的函数表达式；
（2）若选择甲采摘园所需总费用较少，请求出草莓采摘量x的范围．
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22. 某超市在“双十二”期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动
共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向B区域时，所购买物品享受8折优惠指针，指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受6折优惠，其它情况无优惠，在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）．
（1）若顾客选择方式一，则享受8折优惠的概率为______．
（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受6折优惠的概率．
25. （1）如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为______．
（2）如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=6 ，求△ABC的最大面积． 问题解决
（3）如图3，有一块矩形铁皮ABCD，AB= ，BC=3，工人师傅想用它裁剪出两块全等且面积最大的△AMB和△CND，且∠AMB=∠CND=45°，请你在图中画出符合条件的点M、N，并求出此时△CND的面积．
AB∥CD，23. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，cos∠BAC= ，求BD的长及⊙O的半径．
24. 如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴与M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】A 【解析】
解：36的算术平方根是6．
故a-b=0． 故选：C．
直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
故选：A．
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 2.【答案】A
【解析】
5.【答案】B
【解析】
解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，
， ∴∠C'FM=40°
设∠BEF=α，则∠EFC=180°-α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α， 由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，
-α=40°+α， ∴180°∴α=70°，
， ∴∠BEF=70°故选：B．
解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是A， 故选：A．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
设∠BEF=α，则∠EFC=180°-α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上
180°-α=40°+α，进而得出∠BEF的度数．
面看，所得到的图形． 3.【答案】C
【解析】
本题主要考查了平行线的性质以及折叠问题，解题时注意：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补． 6.【答案】B
【解析】
解：A.2a与b不是同类项，不能合并，故A错误； B．（a4）3=a12，故B错误；
C．（-a）2•（-a）3=．a2•（-a3）=-a5，故C正确； D．（-ab-1）2=（ab+1）2=a2b2+2ab+1，故D错误． 故选：C．
根据同底数幂相除法则、幂的乘方法则、完全平方公式进行计算判定即可．
本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂相除法则、幂的乘方法则、完全平方公式是解题的关键． 4.【答案】C
【解析】
解：连接DE，
∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，
， ∵EF⊥AC于点F，∠C=60°
，∠DEF=∠EFC=90°， ∴∠FEC=30°∴FC=EC=1， 故EF=
=
，
∵G为EF的中点， ∴EG=∴DG=
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解：∵点A（1-a，2-b）与点B（-3，2）关于x轴对称， ∴1-a=-3，2-b=-2，
解得：a=4，b=4，
，
=
．
故选：B．
直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．
此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质和三角形中位线定理，正确得出EG的长是解题关键． 7.【答案】D
【解析】
先利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=2AF，再证明△AEB∽△AFC得到则
=
，接着可判断△AEF∽△ABC，然后利用相似比得到
=
=．
=，
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形． 9.【答案】C
【解析】
解：当x＞-5时，y=kx+b＞0； 当x≤-2时，kx+b≤4，
所以不等式0＜kx+b≤4的解集为-6＜x≤-2． 故选：D．
利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+4的函数值不大于4对应的自变量的范围即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 8.【答案】A
【解析】
解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β； ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠ADC=α；而α+β=180°， ∴
，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°， 故选：C．
设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得
，求出β即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用． 10.【答案】D
【解析】
解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高， ， ∴∠AEB=∠AFC=90°
而∠A=60°， ∴AC=2AF，
∵∠AEC=∠AFC，∠EAB=∠FAC， ∴△AEB∽△AFC， ∴∴
==
，
解：A．抛物线经过点（0，3），且对称轴是x=-1，则顶点坐标不是（-1，3），即A项错误， B．抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=-1，则与x轴另一个交点的横坐标为：-1×2-1=-3，另一个交点是（-3，0），即B项错误，
C．由图可知，抛物线对称轴是x=-1，开口向下，则x＜-1时，y随x的增大而增大，x≥-1时，y随
，
x的增大而减小，即C项错误，
D．根据二次函数与系数的关系和函数图象可知：=-1，解得：b=-2，c=3，则b+c=1，即D项正确， 故选：D．
而∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC， ∴
=
=．
故选：A．
根据二次函数的性质，结合二次函数图象与系数的关系，依次分析各个选项，选出正确的选项
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即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，
∴BD=，
∵△BDE的面积为2，
正确掌握二次函数的性质，二次函数与系数的关系是解题的关键是解题的关键． 11.【答案】＞
【解析】
∴••=2，解得k=8． 故答案为8．
解：∵∴
＞0，-2＜0，
设E（a，），利用点E为矩形OABC的BC边的中点得到B（a，
＞-2．
三角形面积公式得到••=2，最后解方程即可．
），则D（，
），然后利用
故答案为：＞．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 12.【答案】18
【解析】
点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 14.【答案】3或
【解析】
解：∵∠C=90°，BC=2∴tanB=
=
=
，AC=2， ，
解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的直径是6， ∴⊙O的半径为3，
∴正六边形ABCDEF的边长为3， 6=18； ∴正六边形ABCDEF的周长是：3×故答案为：18．
由正六边形ABCDEF内接于⊙O，由⊙O的直径得出⊙O的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果．
本题考查了正多边形和圆的位置关系、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径． 13.【答案】8
【解析】
， ∴∠B=30°
∴AB=2AC=4，
∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F
， ∴DB=DC=，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°设AE=x，则BE=4-x，EB′=4-x， 当∠AFB′=90°时， 在Rt△BDF中，cosB=∴BF=
cos30°=，
，
∴EF=-（4-x）=x-， 在Rt△B′EF中，∵∠EB′F=30°，
∴EB′=2EF，
即4-x=2（x-），解得x=3，此时AE为3；
若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图， ∵DC=DB′，AD=AD， ∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
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解：设E（a，）， ∴B（a，∴D（，
）， ），
∴AB′=AC=2，
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°， ∴∠EB′H=60°，
在Rt△EHB′中，B′H=B′E=（4-x），EH=
222
在Rt△AEH中，∵EH+AH=AE，
当m=-2代入∴原式=
，
=B′H=（4-x），
= ；
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
，此时AE为
．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 17.【答案】解：如图所示：点P即为所求．
∴（4-x）+[（4-x）+2]=x，解得x=综上所述，AE的长为3或故答案为3或
．
．
222
利用三角函数的定义得到∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得DB=DC=，EB′=EB，
cos30°=，
【解析】
，设AE=x，则BE=4-x，EB′=4-x，讨论：当∠AFB′=90°时，则∴BF=∠DB′E=∠B=30°
则EF=-（4-x）=x-，于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4-x=2（x-），解方程求出x得到此时AE的长；若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2，再计算出∠EB′H=60°，则B′H=（4-x），EH=
222
（4-x）+[（4-x）+2]=x，方程求出x得到此时AE的长．
到AB、BC距离相等的点在∠ABC的平分线上，到点A、D的距离相等的点在线段AD的垂直平
（4-x），接着利用勾股定理得到
分线上，AD的中垂线与∠B的平分线的交点即为点P的位置．
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．
=-1． 15.【答案】解：原式=1-3- +1+2×
18.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵∠AEB=∠B， ∴AB=AE， ∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
， ∴△ABC≌△EAD， ∴AC=DE． 【解析】
【解析】
本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、立方根化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、立方根等考点的运算． 16.【答案】解：原式=（ + ）÷
==
欲证明AC=DE，只要证明△ABC≌△EAD即可解决问题．
主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19.【答案】12 B 108°
【解析】
•
，
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10%=80，n=15%×80=12， 解：（1）8÷∵总人数为80人，
∴中位数落在第40、41个学生学习时间的平均数，8+24=32＜40，32+32=64＞40， ∴中位数落在C组，
扇形统计图中B组对应的圆心角为故答案为12，C，108°．
（2）补全频数分布直方图如下图所示．
×360°=108°，
在Rt△ACF中， ∵tanβ=∴FC=
，
= （x-3），
解得：x=6．
答：聂耳铜像AB的高度为6m． 【解析】
首先设聂耳铜像AB的高度为xm，则可得BC=（x-3）m，然后分别在Rt△BCF中与在Rt△ACF中，利用正切函数的性质求得FC的值，即可得方程，解此方程即可求得答案．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的应用．
21.【答案】解：（1）由题意y1=30×0.6x+60=18x+60，
由图可得，当0≤x≤10时，y2=30x； 当x＞10时，设y2=kx+b，
将（10，300）和（20，450）代入y2=kx+b， 解得y2=15x+150，
所以y2= ．
＞
（2）当0＜x≤10时，18x+60＜30x， x＞5，
∴5＜x≤10，
当x＞10时，18x+60＜15x+150 x＜30，
∴10＜x＜30，
综上所述，5＜x＜30时，满足条件，
答：甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围5＜x＜30． 【解析】
（3）利用网络自主学习时间不超过2小时的学生大约有2000×
=800（人）．
D组的（1）根据A组的频数和百分比求出总人数，再利用D组的百分比求出n的值，n=总人数×百分比；根据中位数的定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中位数；圆心角=百分比×360°；
（2）根据所求结果可补全图形；
（3）用总人数乘以A、B人数和所占比例．
此题考查出利用画树状图法或列表法求概率，还考查了扇形统计图以及频数分布直方图；熟练总360°掌握运算公式（①各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×，②百分比=频数÷人数是）解本题的关键．
20.【答案】解：设聂耳铜像AB的高度为xm，
则BD=（x-2）m，
∵EF=1m，
又∵EF=CD=1m，
∴BC=BD-CD=（x-3）m， 在Rt△BCF中，tanα= ， ∴FC=
（1）y1函数表达式=60+单价×数量，y2与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决． （2）分两种情形构建不等式即可解决问题；
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型． 22.【答案】 【解析】
= （x-3），
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解：（1）若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向B区域只有1种情况，
∴享受8折优惠的概率为； 故答案为：；
（2）画树状图如下：
（2）如图2，∵cos∠BAC=cos∠E= ， 设EC=3x，EB=5x，则BC=4x， ∵AB=BC=10=4x， x=，
∴EB=5x= ， ∴⊙O的半径为 ， 过C作CG⊥BD于G， ∵BC=CD=10， ∴BG=DG，
Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC= ，
∴ ， ∴DG=6，
∴BD=12． 【解析】
由树状图可知共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果， 所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受6折优惠的概率为
=．
（1）由转动转盘甲共有四种等可能结果，其中指针指向B区域只有1种情况，利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC，
则∠BCE=90°， ∴∠OCE+∠OCB=90°， ∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形， ∴∠A=∠D， ∵OE=OC， ∴∠E=∠OCE， ∵BC=CD， ∴∠CBD=∠D， ∵∠A=∠E，
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE， ∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC+∠CBD=90°， 即∠EBD=90°，
∴BD是⊙O的切线；
（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切线；
（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O的半径为
，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可得结论．
本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，在圆的有关计算中，常根据三角函数的比设未知数，列方程解决问题．
24.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x-1），
∵点C（0，2）在抛物线上， ∴-4×（-1）a=2， ∴a= ，
2
∴抛物线的解析式为y= （x-4）（x-1）或y= x- x+2；
（2）如图，
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解：（1）如图1：过A点作AH⊥BC于H点，
过点P作PM⊥OA，连接AC． A（4，0），C（0，2）， ∴OA=4，OC=2， ∴ =2， 设点P（p，h）
2
∴AM=|4-p|．PM=|h|，h= x- x+2③，
∵AB=BC=AC=2， ∴BH=1，AH=， ∴故填：
的中点时，三角形的高最大，即面积最大，此时三角
，
∵∠APM=∠AOB=90°，
∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似， ∴① = =2， ∴ =2④，
联立③④解得 （舍）或或
（2）如图2：作△ABC外接圆，当点A在形为等腰三角形，
∴P（3，14）或（5，2）． ② = = ， ∴ = ⑤
联立③⑤解得， （舍）或 或 ．
∴P（2，-1）或（0，2）（此时，点C与点P重合，舍去）
综上，得到点P（3，14）或（5，2）或（2，-1）． 【解析】
，∴∠ABD=30°， ∵∠BAC=120°
又∵BC=， tan30°=∴AD=BD×故，
=3， ．
（3）如图3．因为矩形是中心对称图形，连接AC，在△ACD中以CD为斜边作等腰直角三角形，再以O为圆心以OC为半径作圆，交AC于⊙O的半径N，在CA上截取CM=AN，即点M，N． 为所求．
（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论，结合相似三角形的对应边成比例计算即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，相似三角形的性质，解本题的
关键是求出点D的坐标，分类讨论是解本题的难点． 25.【答案】
【解析】
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过D点作DQ⊥AC， 在Rt△ABC中，AC=又∵
∵在Rt△DQC中，CQ=， ∵∠CND=45°∴NQ=DQ=∴CN=CQ+NQ=∴△CND的面积=
，
，
=
=
．
，
，解得DQ=
=，
，
（1）作等边三角形的高，利用等边三角形性质即可求出△ABC的面积． （2）作△ABC外接圆，易得当点A在
的中点时，三角形的高最大，即面积最大，此时三角形
为等腰三角形，顶角为120°，底角30°，利用解三角形即可求出，此时△ABC的最大面积． （3）因为矩形是中心对称图形，故可先在其内部△ADC中作出△CND即可，而
则可通过构造90°圆周角，再通过图形可知N在对角线的圆心角来得到45°∠AMB=∠CND=45°
上时高最大，即面积最大．△CND的面积通过作DQ⊥AC，用勾股定理和等腰直角三角形性质即可求解．
本题考查了轨迹、三角形的外接圆、勾股定理、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形．
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