高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂学案苏教版必修1

3．1．1 分数指数幂

1．理解分数指数幂的含义．

2．了解实数指数幂的意义，理解n次方根与n次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根．

3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．

1．根式

(1)方根的概念：

23

我们知道，如果x＝a，那么x称为a的平方根；如果x＝a，那么x称为a的立方根．

n*

一般地，如果一个实数x满足x＝a(n＞1，n∈N)，那么称x为a的n次实数方根． 当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数．此时，a的n次方根只有一个，记为x＝a．

当n是偶数时，正数的n次实数方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次实数方根用符号a表示，负的n次实数方根用符号－a表示．正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±a(a＞0)．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0＝0． (2)根式的概念：

式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：

①当n是奇数时，a＝a；

a，a≥0，nn②当n是偶数时，a＝|a|＝

－a，a<0.

nnnnnnnn

正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零． 【做一做1－1】在54，

13

，16，8ab中，属于最简根式的个数是__________． 3

1333

＝，16＝22，8ab＝22ab． 33

1

解析：根据最简根式的定义判断．54＝36，

答案：0

22

【做一做1－2】当8＜x＜9时，化简(x－8)－(x－9)＝__________． 答案：2x－17 2．分数指数幂

(1)正数a的正分数指数幂： 我们规定：amnmnnam(a＞0，m，n∈N*)．

1

(a＞0，m，n∈N)．

*

(2)正数a的负分数指数幂：

a＝

1amn＝

nam(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有分数指数幂又有分母的形式．如a23b、a都不是最简形式．应该注意，分数指数的分子和分母与根式b－2

的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒．

【做一做2－1】下列等式中，一定成立的是______．

①aa=a；②bb2313234134545=0；

2c=c；④(x)=x． ③c÷答案：④

3

【做一做2－2】将－22化成分数指数幂的形式为__________． 答案：2

3．有理数指数幂的运算性质

rsr＋s(1)a·a＝a(a＞0，r，s∈Q)；

rsrs(2)(a)＝a(a＞0，r，s∈Q)；

rrr(3)(ab)＝ab(a＞0，b＞0，r∈Q)． 【做一做3－1】答案：100 【做一做3－2】答案：128

(a)和a有什么区别？它们分别等于什么？

剖析：分析这两个式子的含义和成立的条件，多举例子来体会它们的区别． (a)是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性来决定： 357735

①当n为大于1的奇数时，a∈R．例如，(27)＝27，(－32)＝－32，(0)＝0； 46642

②当n为大于1的偶数时，a≥0．例如，(27)＝27，(3)＝3，(0)＝0；若a＜0，

376425－20

＋0．1＋－3x＋＝__________． 48279222

0.52313612()＝__________．

8

nnnnnnnn424

式子(a)无意义，例如，(－2)、(－54)均无意义，也就不能说它们的值了．

2

由此看只要(a)有意义，其值就恒等于a，即(a)＝a．

nnnnan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，a的取值不受n的奇偶性限制，a∈R．但是这个式子的值受n的奇偶性限制：

nn3535

①当n为大于1的奇数时，其值为a，即a＝a，例如，(－2)＝－2，6.1＝6．1； nn442

②当n为大于1的偶数时，其值为|a|，即a＝|a|，例如，3＝3，(－3)＝|－3|＝3．

由此看annna，n＝2k－1，k∈N，且k>1，＝*

|a|，n＝2k，k∈N，且k＞1.

*

题型一 分数指数幂的运算 【例1】计算： (1)125810.008；(2)；(3)；

272401123233453110(4)(2a＋1)a；(5)． 652分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如

(1)(2)(3)〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．

0

在幂的运算中，对于形如m的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m≠0

b0

时，m才有意义；而对于形如a－na的式子，我们一般是先变形为，然后再进行运算．

bn125解：(1)272323－22

55393＝－2＝2＝；

3525

332312

(2)0.008＝(0.2)＝0.2＝＝5＝25；

53－2

23281(3)240134－33

343373434＝47－3＝33＝27； 7(4)(2a＋1)＝1；

153155(5)

6563165－1

＝＝－．

5610

反思：在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题

的一条基本原则．熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键．

题型二 根式的化简

3

【例2】化简3621122

2－＋－－(102)－4的结果是__________． 2733

2

解析：先将式子中的根式逐个化简，后进行运算．

3

原式＝8311－＋－－216 2732211

＝－＋＋6＝9．

33答案：9

反思：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行33

根式运算．在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如a，若a＞0，则a＞0；3

若a＜0，则a＜0，但对根指数为偶数的根式，只有当a≥0时，对根式才有意义．

题型三 有理数幂的混合运算

a33ab9b817

【例3】已知a＝－，b＝，求÷412771

a327a3b2323a 的值．

33a3b13分析：化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值．

解：∵a≠0，

∴原式＝

a3ab(3b)a(a27b)13231313132×

a3ba131313．

又∵a－27b≠0， ∴原式＝

(a)(3b)23133133a(a27b)8392＝a＝＝＝＝． 27243232322反思：本题容易先直接将a，b的值代入，后化简，但因运算繁琐，不容易得出正确的结果．所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题．这样才能养成良好的思维习惯．

【例4】已知a+a1212=3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．

1212分析：本题主要考查分数指数幂及其应用．观察到aa可求解．

121212122=1，对已知等式两边平方即

解：∵a+a=3，∴(aa)=9．

－1

∴a＋2＋a＝9．

－1

∴a＋a＝7．

－12

又(a＋a)＝49， 2－2

∴a＋2＋a＝49． 2－2

∴a＋a＝47．

反思：本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，常从整体代入来求值．

1设x＝1＋2，y＝1＋2，则y等于__________．(用x表示)

p－p解析：由条件得2＝x－1,2＝y－1，

1x从而(x－1)(y－1)＝1，y＝＋1＝．

x－1x－1

4

p－p答案：

x23x－1

2如果x=4，则x的值是__________．

21解析：由条件得34，

x11所以43，x＝±．

8x1

答案：± 83化简解析：2aaa＝__________．

aaa＝aaa＝aa＝aa＝a．

7812323478答案：a

4454452n2n＋1在①(－4)；②(－4)；③a；④a(n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是__________．(填序号)

2n＋1

解析：在②中(－4)为负数，所以开偶次方无意义，故②错误；在④中因为a∈R，455

所以a∈R，故a可能没有意义，所以④错误．

答案：①③

［(ab)5(1)

2314322－1(ab)(b)］＝________；

1343131－3211732(2)(xyz)(xyz)＝______． 解析：(1)原式＝(a(2)原式＝x答案：(1)a213331221b137-2-－322)=a．

13y1144z11=xz2x． 2z13 (2)2 xz 5