实验六IIR滤波器设计

一．知识准备 在实验前复习数字信号处理理论课中有关滤波器设计的知识，认真阅读本实验的原理部分。 二．实验内容 1、用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字低通滤波器。要求： p0.25,Rp1dB;s0.4,As15dB，滤波器的采样频率为Fs=100Hz。最后要求验证是否满足。 2、用双线性变换法设计一个切比雪夫I型数字高通滤波器。要求： fp250Hz,Rp1dB;fs150Hz,As20dB，滤波器的采样频率为Fs=1000Hz。最后要求验证是否满足。 3、用冲激响应不变换法设计一个切比雪夫I型数字带通滤波器。要求： p10.3,p20.7,Rp1dB;s10.2,s20.8,As20dB，滤波器的采样周期为Ts=0.001s。最后要求验证是否满足。 4、用双线性变换法设计一个切比雪夫I型数字带阻滤波器。要求： 1

下通带p10.2,上通带p20.8,Rp1dB; 阻带下限s10.3,，阻带上限s20.7,As20dB，滤波器的采样频率为Fs=1000Hz。最后要求验证是否满足。 按实验内容的步骤，编写对应程序，记录所看到的实验内容。有数值的要记录数值，有图像的要截图显示。并按题目的要求，回答问题。 注意每一题要记录对应的程序和图形 实 验 步 骤 及 过 程 记 录 实验思考题 1．能否用脉冲响应不变法的数字带阻滤波器？为什么？ 2. 使用双线性变换法，模拟频率和数字频率之间有何关系？会带来什么影响？如何解决？ 实验心得与问题分析 2

教师评阅： 成绩

教师签字 请同学们做好实验后，以格式为“实验六+学号+姓名”的形式命名文档（例如：实验六120602008001蔡和颜.doc）。

实验报告提交方式：实验报告以电子文档的形式提交给学习委员，由学习委员统一交给老师。

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【参考资料一】

1．利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器方法

（1）根据所给出的数字滤波器性能指标计算出相应的模拟滤波器的设计指标。 （2）根据得出的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数H(S)。 （3）根据得出的模拟滤波器的系统函数H(S)，经某种变换得到对该模拟滤波器相应的数字仿真系统——数字滤波器。

将模拟滤波器转换成数字滤波器的实质是，用一种从s平面到z平面的映射函数将Ha(s)转换成H(z)。对这种映射函数的要求是：(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。脉冲响应不变法和双线性变换法都满足如上要求。

2．脉冲响应不变法的基本知识

脉冲响应不变法又称为冲激响应不变法，是将系统从s平面到z平面的一种映射方法， 使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(n) ,其变换公式为z=e。

由于e是一个周期函数，因而s平面虚轴上每一段2π/T的线段都映射到z平面单位圆上一周。由于重叠映射，因而冲激响应不变法是一种多值映射关系。数字滤波器的频率响应是原模拟滤波器的频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是有限带宽的，且频带宽度st

st

Ts,才能避免数字滤波器的频率响应发生混叠的现象。由于脉冲响应不2变法只适用于限带的模拟滤波器 ，因此，在高频区幅频特性不等于零的高通和带阻滤波器不能采用脉冲响应不变法。

用MATLAB冲激响应不变法进行IIR数字滤波器设计的步骤如下： （1） 输入给定的数字滤波器指标； （2） 根据公式T，将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计指标；

（3） 确定模拟滤波器的最小阶数和截止频率； （4） 计算模拟低通原型滤波器的系统传递函数；

（5） 利用模拟域频率变换法，求解实际模拟滤波器的系统传递函数； （6） 用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器。

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3．双线性变换法

s平面与z平面之间满足以下映射关系：

1z1s 11zs平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内。双线性变换不存在混叠问题。

双线性变换时一种非线性变换tg(/2)，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。

以低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：

(1)确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率fp、阻带临界频率fs；通带内的最大衰

减Ap；阻带内的最小衰减As；

(2)确定相应的数字角频率，ωp=2πfp；ωs=2πfs；

(3)计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率，tg(/2)；

(4)根据Ωp和Ωs计算模拟低通原型滤波器的阶数N，并求得低通原型的传递函数Ha(s)； (5)用上面的双线性变换公式代入Ha(s)，求出所设计的传递函数H(z)； (6)分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。

【参考资料二】

1、 buttord

功能：确定巴特沃斯（Butterworth）滤波器的阶数和3dB截止频率 调用格式：

a、[n,wn]=buttord(wp,ws,Rp,As)：计算巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率。其中，0≤wp(或ws)≤1,其值为1时表示0.5Fs。Rp为通带最大衰减指标,As为阻带最小衰减指标。 b、[n,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s')：计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率。wp,ws可以使实际的频率值或角频率值，wc将取相同的量纲。Rp为通带最大衰减指标,As为阻带最小衰减指标。

c、当wp > ws是为高通滤波器；当wp,ws为二元向量时为带通货带阻滤波器，此时wn也为二元向量

2、 buttap

功能：巴特沃斯模拟低通滤波器原型 调用格式：

[z,p,k]=buttap(n);设计巴特沃斯模拟低通滤波器原型，其传递函数为：

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Ha(s)k

(sp(1))(sp(2))(sp(n))此时，z为空阵。巴特沃斯滤波器由通带内最平坦、总体上单调的幅度特性来表征。

3、 poly

功能：求某向量指定根所对应的特征多项式 调用格式：

P=ploy(x);求向量x的特征多项式，产生多项式系数向量。

4、 lp2lp

功能：低通到低通模拟滤波器变换。 调用格式：

[bt,at]=lp2lp(b,a,w0);将传递函数表示的截止频率为1rad/s的模拟低通滤波器原型变换成截止频率为w0的低通滤波器。

5、 bilinear

功能：双线性变换----将s域（模拟域）映射到z域（数字域）的标准方法，将模拟滤波器变换成离散等效滤波器 调用格式：

[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs);将模拟域传递函数变换为数字域传递函数，Fs为采样频率。 6、 freqz

功能：用于求解离散时间系统的频率响应函数H(e)

调用格式：

[h,w]=freqz(b,a,n);可得到数字滤波器的n点复频响应值，这n个点均匀分布在[0,π]上，并将这n个频点的频率记录在w中，相应的频响值记录在h中，缺省时n=512 7、zplane

功能：显示离散系统的零极点分布图 调用格式：

zplane(b,a);绘制有行向量b和a构成的系统函数确定的零极点分布图

8、[n,Omgc]=cheb1ord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s')

功能：确定切比雪夫I型滤波器的阶数和通带截止频率 调用格式： a、[n,wn]= cheb1ord (wp,ws,Rp,As)：计算切比雪夫I型数字滤波器的阶数和3dB截止频率。其中，0≤wp(或ws)≤1,其值为1时表示0.5Fs。Rp为通带最大衰减指标,As为阻带最小衰减指标。

b、[n,wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s') ：计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率。wp,ws可以使实际的频率值或角频率值，wc将取相同的量纲。Rp为通带最大衰减指标,As为阻带最小衰减指标。

c、当wp > ws是为高通滤波器；当wp,ws为二元向量时为带通货带阻滤波器，此时wn也为二元向量

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