2022《创新设计》全国通用高考数学理科二轮专题复习 专题五 解析几何 第3讲 习题

一、选择题

1.(2021·广州模拟)已知椭圆x2y2

25＋16＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为( ) A.3

B.4

C.5

D.15

解析 在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，所以|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，由于||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15. 答案 D

在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22.2＋y2

＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为( ) A.2

－∞，－2

B.22，＋∞ C.22，＋∞ D.22

－∞，－2∪2，＋∞

解析 由已知可得直线l的方程为y＝kx＋2， 与椭圆的方程联立，整理得12＋k2



x2＋22kx＋1＝0，

由于直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4122＋k2

＝4k2－2＞0，解得k＜－2或k

＞2，即k的取值范围为－∞，－22

22∪2，＋∞.

答案 D

x2－y2

3.(2021·榆林模拟)若双曲线a2b2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围是( ) A.(1，2)

B.(1，2]

C.(1，5)

D.(1，5]

解析 由于双曲线的渐近线为y＝±b

ax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有b

a≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2. 答案 B

4.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点是( ) A.(0，1)

B.(0，2)

C.(2，0)

D.(1，0)

解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝11

4x2，则y′＝2x，则在点A处的切线方程为y－y1＝11－y1；同理，在点B处的切线方程为y＝1

2x1(x－x1)，化简得y＝2x1x2x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得－2＝11

2x1t－y1，－2＝2x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝1－2＝1

2xt－y，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过点(0，2). 答案 B

5.(2022·湖北卷)已知Fπ

1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433

B.233

C.3

D.2

解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，

由(2c)＝r22rπr1＋r2＝2a1，1＋r22－2r12cos 3，得4c2＝r21＋r2

2－r1r2.由

r1－r2＝2a2

得r1＝a1＋a2，2∴11a1＋a2r1r14r21

44r2r2＝a1－a2，e1＋e2＝c＝c.令m＝c2＝r22＝＝，当

1＋r2－r1r21＋r22r2r2123r1r1－r1r1－2＋4

＝1时，mmax＝16r1

43114323，∴cmax＝3，即e1＋e2的最大值为3.

答案 A 二、填空题

平顶山模拟)若双曲线x2

－y2

6.(2021·b2＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共

点，则双曲线离心率的取值范围是________. 解析 双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有|0－2|≥1，解得b2≤3，则e21＋b2

＝1＋b2≤4，得1

＜e≤2. 答案 (1，2]

已知椭圆x27.(2021·成都模拟)y26a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为3，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________. b2

6b2

解析 由e2

＝1－1y－ny＋na2＝9，得a2＝3，设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2＝x－m·x＋m

＝

y2－n2

x2－m2

，①

把y2

2

2＝b21－xa2，n2＝b2

m11－a2代入①式并化简，可得k1·k2＝－3. 答案 －1

3

8.抛物线y2＝8x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－2，0)，则|PA|

|PF|的最大值为________.

解析 由点P(x，y)在抛物线y2＝8x上，得y2＝8x(x≥0). 由抛物线的定义可得|PF|＝x＋2， 又|PA|＝

（x＋2）2＋y2＝

（x＋2）2＋8x，

所以|PA|

＋2）2＋8x

（x＋2）2＋8x|PF|＝（xx＋2

＝（x＋2）2

＝1＋8x

x2＋4x＋4

. 当x＝0时，|PA|

|PF|＝1； 当x≠0时，|PA|

|PF|＝1＋

8， x＋4x＋4

由于x＋444，当且仅当x＝4

x≥2x·x＝x，即x＝2时取等号，

故x＋48x＋4≥8，0＜44≤1，

x＋x＋所以

1＋

8

x＋4∈(1，2]. x＋4综上，|PA||PA|

|PF|∈[1，2].所以|PF|的最大值为2. 答案

2

三、解答题

9.(2021·南阳模拟)已知椭圆C：x2y2a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为2

a2＋b2＝1(2.过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程；

(2)求OA→·OB

→的取值范围； (3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过肯定点. (1)解 易知b＝1，e＝c＝2

a2得a2＝2c2＝2a2－2b2，

故a2

＝2.故方程为x22＋y2＝1.

(2)解 设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＞0得0≤k2＜1

2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1＋x2＝8k2

则8k2－21＋2k2，x1x2＝1＋2k2

.

∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2) ＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2 10k2＝－21＋2k2＝5－71＋2k2

∵0≤k2＜17

2，∴2＜7

1＋2k2≤7， 故所求范围是

－2，32

.

(3)证明 由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上. 直线AN：y－yy1＋y2

1＝x1－x2(x－x1)，令y＝0得：

x＝x1（x1－x2）x1y2＋x2y12x1x1－

yy1＋y2＝y1＋y2＝2－2（x1＋x2）

x1＋x2－4

16k2－416k2

1＋2k2－1＋2k2＝8k2＝1，

1＋2k2－4∴直线AN过定点(1，0).

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，2)，(0，－2)，又点A(1，2)在椭圆M上. (1)求椭圆M的方程；

(2)已知直线l的斜率为2，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值. 2

2

解 (1)由已知椭圆的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为yx

a2＋a2－2

＝1，

将点A(1，2)代入方程得21

a2＋a2－2＝1，

整理得a4－5a2＋4＝0， 解得a2＝4或a2＝1(舍)， y2x2

故所求椭圆方程为4＋2＝1. (2)设直线BC的方程为y＝2x＋m， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

代入椭圆方程并化简得4x2＋22mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2

－16(m2

－4)＝8(8－m2

)＞0，可得m2

＜8，① 由xm2－1＋x2＝－2

42m，x1x2＝4， x3·16－2m2

故|BC|＝3|1－x2|＝2 又点A到BC的距离为d＝|m|

3

. 故S1

m2（16－2m2）△ABC＝2|BC|·d＝4

≤12m2＋（16－2m2）42·2＝2.

当且仅当2m2＝16－2m2， 即m＝±2时取等号(满足①式)， 所以△ABC面积的最大值为2.

x2天津卷)已知椭圆y2aba＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为3

2＋2＝1(3

，点M在椭圆

2

上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b，|FM|＝434截得的线段的长为c3. (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程；

(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围. (1)由已知，有c2解1

a2＝3，

又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2. 设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)， 则直线FM的方程为y＝k(x＋c). 由已知，有kck＋12＋c2b22＝2

2，

解得k＝3

3.

x2y2(2)由(1)得椭圆方程为3

3c2＋2c2＝1，直线FM的方程为y＝3(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0， 解得x＝－5

3c，或x＝c.

由于点M在第一象限，可得M的坐标为c，

23c

3. 由|FM|＝

（c＋c）2

＋233c－0243



＝3. c＝1，所以椭圆的方程为x2y2

解得3＋2＝1.

11.(2021·10.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t， y

得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立.

x＋1y＝t（x＋1），

x2y2消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6， ＋＝1，32

又由已知，得t＝6－2x2

＞2，

3（x＋1）2

3

解得－2＜x＜－1，或－1＜x＜0. y

设直线OP的斜率为m，得m＝x，

22

即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝x2－3. 3

①当x∈－2，－1时，有y＝t(x＋1)＜0，

因此m＞0，于是m＝

22223

，3. 2－，得m∈x33

②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0. 因此m＜0，于是m＝－23

. 得m∈－∞，－

3

23223

∪. 综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－

33，3

22

x2－3，